人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性教案，共9页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的课时安排
本节课是研究事件的相互独立性，是在上一节课学习概率的基本性质的基础上进行学习的，通过复习相关知识与方法，巩固已学内容，为本节课的学习奠定基础。
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念，培养学生数学抽象的核心素养；
2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。
1.重点：相互独立事件的判断、同时发生的概率。
2.难点：有关独立事件发生的概率计算。
（一）新知导入
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
【问题】 上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
【提示】 因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立.
（二）相互独立事件
知识点一 相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
知识点二 相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立．
【思考1】不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
【提示】 事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
【思考2】必然事件与任何一个事件相互独立吗？
【提示】相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.
【拓展】互斥事件与相互独立事件是不同的概念：
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响.
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
【做一做】甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
【答案】0.56
（三）典型例题
1.相互独立事件的判断
例1. 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，判断A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩．
(2)家庭中有三个小孩．
【解】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个样本点，由等可能性知概率都为eq \f(1,4).
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).此时P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A与事件B不独立．
(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个样本点的概率均为eq \f(1,8)，这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，显然有P(AB)＝eq \f(3,8)＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与事件B相互独立．
【类题通法】两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【巩固练习1】掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥
【解析】事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
【答案】B
2.相互独立事件同时发生的概率
例2.王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up10(－)))＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＝
P(eq \(A,\s\up10(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up10(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
【类题通法】1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．概率问题中的数学思想：
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
【巩固练习2】甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
【解】设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，eq \(A,\s\up6(－))与B，A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq \(A,\s\up6(－))B发生).根据题意，事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p＝P(AB)＋[P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为p＝P(eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
（四）操作演练 素养提升
1.下列事件A,B是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”
2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A．0.42B．0.28C．0.18D．0.12
3.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )
A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3
4.甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是 ．
【答案】1.A 2.D 3.D 4.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第249页 练习 第1，2,3题
第250页 习题10.2 第12,3,4,5,6题










第十章 概率
课时内容
10.1 随机事件与概率
10.2 事件的相互独立性
10.3 频率与概率
所在位置
教材第226页
教材第246页
教材第251页
新教材内容分析
教材首先在认识随机现象和随机试验的特点的基础上，利用集合论的知识，抽象出样本点、样本空间；类比集合的关系与运算，理解事件的关系与运算；通过古典概型的学习，进一步理解规律的意义，掌握建立规律模型的一般方法。
事件的独立性是事件之间的一种重要的关系，它不同于事件的包含、相等、互斥和对立关系，需要用概率来定义，在实际问题中，可以利用乘法公式，求积事件AB的概率。
频率的稳定性是概率论的基础，说明随机现象的规律性是客观存在的，事件发生的可能性的大小是可以度量的。我们结合具体的随机试验，通过具体的试验或借助计算机模拟试验来认识频率与概率的关系。
核心素养培养
通过样本点、样本空间的学习，体会数学抽象的核心素养；通过事件的关系与运算，培养逻辑推理的核心素养；通过古典概型的计算，提升数学建模和数学运算的核心素养。
通过相互独立事件的判断，体会数学抽象的核心素养；通过相互独立事件同时发生的概率的计算，提升数学建模和数学运算的核心素养。
通过理解频率与概率的关系，培养数据分析的核心素养。
教学主线
随机事件的概率