专题02运算能力课之实数的综合运算高频题型专练- 2022-2023学年七年级数学专题训练（浙教版）

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一、单选题
1．定义a*b=ab+a+b，若3*x=27，则x的值是（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】
根据运算规则转化为一元一次方程，然后解即可．
【详解】
解：根据运算规则可知：3*x=27可化为3x+3+x=27，
移项可得：4x=24，
即x=6．
故选C．
【点睛】
本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等．
2．四则运算符号有+，-，×，÷，现引入两个新运算符号∨，∧，合称“六则运算”．的运算结果是和中较大的数，的运算结果是和中较小的数．下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分和两种情况逐一判断各个选项即可．
【详解】
解：A.
当时，原式；当时，原式，此选项成立，不符合题意；
B.
当时，，原式；
当时，，原式，此选项成立，不符合题意；
C.反例，当，时，即
，此选项不成立，符合题意；
D.
当时，，此时；
当时，，此时，此选项成立，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题是新定义题，掌握四则运算法则是解题的关键．
3．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②④C．②④D．②
【答案】D
【分析】
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】
①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误；
④是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
4．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）
A．﹣40B．﹣32C．18D．10
【答案】D
【分析】
直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．
【详解】
解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．
5．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
【详解】
解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
6．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（ ）
A．越来越接近4B．越来越接近于－2
C．越来越接近2D．不会越来越接近于一个固定的数
【答案】C
【分析】
先根据算法得出，再分别求出的运算式子，然后归纳类推出一般规律，最后利用有理数乘方的性质即可得．
【详解】
根据算法得：（且为整数）
变形为
则
归纳类推得：
由题意得：
则
即
当n无限大时，无限趋近于0
则
即当运算次数不断增加时，运算结果越来越接近2
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、与实数运算相关的规律型问题，理解新算法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n时奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若，则第449次运算结果是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【答案】D
【分析】
设449经过n次运算结果为an，根据运算规则求出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)”，依此规律即可得出结论．
【详解】
设449经过n次运算结果为an，
通过计算发现规律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，
∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)，
∵449=2×224+1，
∴a449=8．
故选D．
【点睛】
本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．


二、填空题
8．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…依此类推，那么的值是______．
【答案】．
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
∵，
∴，，，，
……
∴，每三个数一个循环，
∵，
∴，
则
+--3 -3-++3
=-3-++3
．
故答案为：．
【点晴】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
9．材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．
【答案】3； ．
【分析】
由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果．
【详解】
解：（1）由题意可知：，
则，
（2）由题意可知：
，，
则，，
∴，
故答案为：3；．
【点睛】
本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．
10．将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【答案】2
【分析】
所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
【详解】
解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．
11．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对50进行如下操作：50，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对72只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
【答案】255
【分析】
根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】
解：设这个数是p，
∵[x]=1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键．
12．如图，，，在数轴上对应的点分别为，，，其中，且，则_______．
【答案】
【分析】
根据题意，先求出BC的长度，然后求出a的值，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴的定义，正确的求出a的值．
13．有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为64时，输出y的值是_____．
【答案】
【分析】
直接将x=64代入流程图进行运算即可．
【详解】
解：当输入x的值为64时，＝8是有理数，则＝2是有理数；由2的算术平方根为是无理数．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．
14．在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a△b=，根据这一规则，方程x△（x+1）=的解是______．
【答案】x＝1
【分析】
根据题中已知条件找出规则，代入要求的式子求解即可．
【详解】
∵x☆(x＋1)＝，
∴ ，
，
即 ，
(x-1)(3x+2)=0，
X1=1，x2=-（舍去），
故答案为x=1
【点睛】
本题考查解分式方程，根据题意列出分式方程并熟练掌握分式方程的解法是解题关键.

三、解答题
15．计算．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．（结果保留根号形式）
【答案】（1）7．（2）．（3）4．（4）．
【分析】
（1）先把减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律计算即可；
（2）利用乘法的分配律计算即可；
（3）根据有理数混合运算的顺序计算即可；
（4）先化简绝对值，再根据实数的性质化简即可．
【详解】
（1）
=
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．计算．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）-1；（3）；（4）9．
【分析】
（1）运用乘法分配律去括号，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案；
（2）原式首先计算乘除法选辑减去息怒可；
（3）原式首先化简算术平方根和立方根，再进行加减运算即可得到答案；
（4）首先计算乘方运算，再计算括号内，最后算乘法即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
=17+2-20
=-1；
（3）
=
=5+0-6
=-1；
（4）
=
=
=
=9．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
17．计算题．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-3（2）-1（3）2（4）-20
【分析】
（1）先去括号在进行加减运算．
（2）先进行平方和开方，在进行乘法和减法的运算．
（3）先进行开方和平方，在由左至右进行除法和乘法的运算．
（4）首先去括号内的绝对值，在进行括号内的分式加减，最后相乘．
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
考察有理数的混合运算，掌握运算法则的顺序是解答本题的关键．
18．计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）4；（2）．
【分析】
（1）变减号为加号同时省略括号和加号，先两个分数相加，再和最后一个数相加；
（2）先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
此题考查有理数混合运算，其关键是熟练掌握每种运算和按运算顺序运算，注意用运算律改变运算顺序以使运算简便．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）22；（3）-1
【分析】
（1）先去括号，同时将小数化为分数，再计算加减法；
（2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法；
（3）先计算乘方和绝对值，再计算加减法.
【详解】
（1）
=
=；
（2）
=
=20+2
=22；
（3）
=4-（5-）
=4-5+
=-1.
【点睛】
此题考查运算能力，掌握有理数的加减法计算法则，乘方的计算法则，实数的绝对值化简，有理数的混合运算法则是解题的关键.
20．计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）-7+．
【分析】
（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；
（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，进而算加减运算即可求出值．
【详解】
（1）原式=6-3×=6-=；
（2）原式＝-1+-1-×=-1+-1-5=-7+．
【点睛】
本题主要考查了有理数和实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
21．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；
【详解】
（1）
=
＝；
（2）
=
=
【点睛】
考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．
22．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-12，（2）-12．
【分析】
（1）、（2）两小题都属于实数的混合运算，先计算乘方和开方，再计算乘除，最后再算加减即可得出结果．
【详解】
解：（1）
，
（2）
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键．
23．计算（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-2；（2）360；（3）4；（4）．
【分析】
（1）先去括号和绝对值，再进行混合运算即可．
（2）先将括号内通分运算，再将除法改为乘法，最后计算即可．
（3）先去括号，再将除法改为乘法，最后计算即可．
（4）分别计算出根式的值，在进行加法运算即可．
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
本题考查实数的混合运算．掌握其运算法则是解答本题的关键．
24．计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）11．（2）-44．
【分析】
（1）根据去括号法则先去括号，再按照从左到右的顺序进行加减运算．
（2）先算乘方、开方，再按从左往右顺序算乘除，最后算加减．
【详解】
解：（1）
．
（2）
．
【点睛】
本题考查了去括号，有理数的加减混合运算，实数混合运算，掌握相应的运算法则是解题关键．
25．规定：表示不超过实数a的最大整数，表示实数a的小数部分，（其中），例如：，；，，，．
请回答下列问题：
（1）_______，_______，_________；
（2）设，，求的值．
【答案】（1）0.5，，994；（2）47
【分析】
（1）先估算和的大小，再根据规定求解即可；
（2）根据规定求出，的值，再求的值即可．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
根据题意得，，，
．
【点睛】
本题主要考查的是估算无理数的大小，依据[a]的意义求得的范围是解题的关键．
26．有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【分析】
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为的两个数即可．
【详解】
解：（1）当x=81时，
=9，=3，是无理数，
故y=；
（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故输入的值不唯一，例如5和25．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
27．计算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）-1；（2）；（3）；（4）6
【分析】
（1）先化简符号，再作加减法；
（2）先计算开方，再作加减法；
（3）先算乘方和括号，再算乘除，最后算加减；
（4）先利用乘法分配律展开计算，同时计算乘方，再算加减法．
【详解】
解：（1）
=
=
=-1；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=
=；
（4）
=
=
=
=6
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
28．设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据新运算中的代数式，将式子进行化简求值即可.
（2）分情况进行讨论，当m-2≥m+3时，当m-2＜m+3时分别根据新运算的法则进行运算求值即可.
【详解】
解：（1）；
（2）∵m-2≥m+3不成立，
∴当m-2