专题2.10 有理数的乘方（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题2.10 有理数的乘方（拓展提高）

一、单选题

1．下列各组数中相等的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据乘方的运算法则逐一计算即可判断．

【详解】A、32＝9、23＝8，不相等；

B、−32＝−9、32＝9，不相等；

C、（−3×2）2＝36、−3×23＝−24，不相等；

D、−23＝−8，（−2）3＝−8，相等.

故选：D．

【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则．

2．某种细菌在培养过程中，每1小时分裂一次，每次一分为二，这种细菌由1个分裂到32个要经过（    ）

A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时

【答案】C

【分析】根据题意：细菌每小时分裂1次，每次一分为二，假设一共分裂n次，当这种细菌由1个分裂到32个时应存在的关系是：2n=32．

【详解】解：设细菌一共分裂了n次，根据题意得：

2n=32，

又因为25=32，

所以n=5

因为细菌每小时分裂一次，且一共分裂了5次，

所以整个过程共用了5小时．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了实际问题中的有理数的乘方运算，解题关键是把题意搞清楚建立正确的关系式．

3．若满足则的值是（    ）

A．1 B．-1 C．2019 D．-2019

【答案】B

【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得到，，代入求解即可．

【详解】解：∵，

∴，，

解得，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查绝对值和偶次方的非负性、有理数的乘方，根据题意得到x和y的值是解题的关键．

4．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则，④若，则，其中正确的有（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】①通过非负数的和为0，求出a、b验证结论；②根据互为相反数的两数的平方相等，判断结论的正误；③在a的取值范围内，通过特殊值可以判断结论的对错；④对a、b分类讨论，然后判断结果的正误．

【详解】解：由|a-1|+（ab-3）2=0，得a=1，ab=3，b=3．所以x2-3x2=-2x2，故①正确；

∵a+b+c=0，∴a+b=-c，∴（a+b）2=c2，故②正确；

当时，，，，故③错误；

当a＞b＞0时，a+b>0，a-b>0，

所以（a+b）（a-b）＞0，

当a＜b＜0时，

a+b<0，a-b<0，

所以（a+b）（a-b）＞0，

当a＜0，b＞0时，

a+b<0，a-b<0，

所以（a+b）（a-b）＞0，

当a>0，b<0时，

a+b>0，a-b>0，

所以（a+b）（a-b）＞0，

故④正确．

故选：B．

【点睛】本题考查了非负数的平方和、绝对值的意义，等知识点．特殊值法是判断题常用的一种方法．

5．观察下列等式：，，，，，，，那么的末位数字是

A．9 B．7 C．6 D．0

【答案】C

【分析】先根据已知算式算出其个位数据，进而得出规律，再求出即可.

【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，

75=16807，76=117649，77=823543，…，

2018÷4=504…2，

∴504×（7+9+3+1）+7+9=10096，

∴71+72+73+…+72018的末位数字是6，

故选：C．

【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，找出规律后转化为周期问题，本题能根据已知算式得出规律是解题的关键．

6．为了求的值．可令，则，因此，即．仿照以上推理计算的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令S＝，然后两边同时乘3，接下来按照例题的方法计算即可．

【详解】令S＝，则

3S＝，

因此3S−S＝，所以2S＝．

所以S＝，

故答案为：D．

【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，主要考查的同学们自主学习的能力，读懂例题是解题的关键．

二、填空题

7．已知(a－3)2+|b－1|=0，则式子a2＋b2的值为________．

【答案】10

【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．

【详解】解：∵(a－3)2+|b－1|=0，

∴a－3=0，b－1=0，

a=3，b=1，

a2＋b2=32+12=9+1=10，

故答案为：10．

【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，解题关键是熟练运用非负数的性质求出字母的值，代入后准确计算．

8．若|x+3|+(y﹣2)2=0，则(x+y)2015=_____．

【答案】-1．

【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求值即可．

【详解】解：∵|x+3|+(y﹣2)2=0，

∴x+3=0，y﹣2=0，

x=-3，y=2，

(x+y)2015=(-3+2)2015=-1

故答案为：-1．

【点睛】本题考查了非负数的性质和乘方运算，解题关键是熟知非负数的性质，准确运用乘方的意义进行计算．

9．如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．

【答案】-6

【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．

【详解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，

∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，

∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，

∴应输入x的值为﹣6．

故答案为：﹣6．

【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值．

10．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，a的形式，又可以表示的形式，则________．

【答案】0

【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，再根据分母不为0判断出a、b的值，代入代数式进行计算即可．

【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，

∴这两个数组的数分别对应相等．

∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a=0，会使无意义，

∴a≠0，只能a+b=0，即a=-b，于是中只能是b=1，于是a=-1．

∴a2019+b2020=（-1）2019+12020=-1+1=0，

故答案为：0．

【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1”是解答此题的关键．

11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b = ab2 + a．如：1☆3=1×32+1=10．则（-2）☆3+3☆（-2）=_____．

【答案】-5

【分析】原式利用题中的新定义列式计算即可求出值．

【详解】解：（-2）☆3+3☆（-2）

=（-2）×32+（-2）+3×（-2）2+3

=-18-2+12+3

=-5

故答案为：-5

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，则（a+b）2019+（cd）2020+（）2021的值为_____．

【答案】0

【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，可以得到a+b＝0，cd＝1，＝﹣1，从而可以计算出所求式子的值．

【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，

∴a+b＝0，cd＝1，＝﹣1，

∴（a+b）2019+（cd）2020+（）2021

＝02019+12020+（﹣1）2021

＝0+1+（﹣1）

＝0，

故答案为：0．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

13．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是_______．

【答案】9

【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解．

【详解】

解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，

∵2×37+1=75，

∴75是从3开始的第37个奇数，

∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，

∴m3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m的值9．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．

14．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出______．

【答案】

【分析】根据题意，设，表示，利用错位相减法解题即可．

【详解】解：设，

则，

因此，

所以

故答案为：．

【点睛】本题考查有理数的乘方，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

三、解答题

15．计算：

（1）．

（2）

【答案】（1）-360；（2）-28

【分析】（1）先计算乘方和括号内的除法，再计算括号内的乘法、然后计算括号内的加法，最后再计算乘法可得答案；

（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．

【详解】解：（1）原式＝   

=

=

=-360；

（2）原式＝

=

=

=-28．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

16．已知有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是平方等于它本身的数，求代数式4（a+b）﹣（cd）5+m的值．

【答案】﹣1或0

【分析】利用倒数定义、相反数定义、平方数等于本身的定义可得a+b＝0，cd＝1，m＝1或0，然后再代入计算即可．

【详解】解：∵a、b互为相反数，

∴a+b＝0，

∵c、d互为倒数，

∴cd＝1，

又∵m是平方等于它本身的数，

∴m＝0或1，

当m＝0时，原式＝4×0﹣15+0＝﹣1；

当m＝1时，原式＝4×0﹣15+1＝0．

故答案为：1或0．

【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握倒数之积等于1，相反数之和等于0，平方等于本身的是0或者1．

17．如果是任意2个数，定义运算如下（其余符号意义如常）：，例如；求的值．

【答案】1

【分析】首先认真分析理解规则，根据代入数值计算即可．

【详解】解：∵，

∴

=

=

=

=1

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题的关键是读懂新规定，按照规定的规律进行计算．

18．求1+2+22+23+…+22016的值，

令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，

因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．

参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．

【答案】

【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论．

【详解】解：令，

则，

∴

∴．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键．

19．阅读下列材料：如点A、B在数轴上的分别表示有理数a、b．则A、B两点间的距离表示为AB．①当A、B两点分别在原点的同侧时，如图（1），（2）所示，则AB＝|b|﹣|a|；②当A、B两点分别在原点的异侧时，如图（3），（4）所示，则AB＝|b|+|a|；请回答下列问题：

（1）若数轴上的点C表示c，点D表示d，且|c+2|+（d﹣3）2＝0．

①直接写出c＝　   　，d＝　   　；

②求CD是多少？

（2）若数轴上的点P表示﹣4，点Q表示x，且PQ＝2020，则x等于多少？

【答案】（1）①﹣2，3，②5；（2）﹣2024或2016

【分析】（1）①根据非负数的性质可求c，d；

②根据A、B两点分别在原点的异侧时，AB＝|b|+|a|，可得答案；

（2）根据数轴上两点间的距离公式，由PQ＝2020，列出方程可求得x．

【详解】解：（1）①∵|c+2|+（d﹣3）2＝0，

∴c+2＝0，d﹣3＝0，

解得：c＝﹣2，d＝3，

故答案为：﹣2，3；

②由材料可知：CD＝|﹣2|+|3|＝5；

（2）依题意有：|x+4|＝2020，

即x+4＝﹣2020或x+4＝2020，

解得：x＝﹣2024或2016．

故x等于﹣2024或2016．

【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离计算，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键．

20．概念学习

规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．

初步探究

（1）直接写出结果：________；

（2）关于除方，下列说法错误的是_________．

①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；

③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

例：

（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式

_______；_______．

（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；

（5）算一算：________．

【答案】（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）

【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；

（2）利用题中的新定义分别判断即可；

（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；

（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；

（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．

【详解】解：（1）；

（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；

对于任何正整数n，

当n为奇数时，，

当n为偶数时，，因此②错误；

因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③错误；

负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；

故答案为：②③；

（3），

==；

（4）由题意可得：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；

（5）

=

=

=

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．