专题3.2 平方根（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题3.2 平方根（拓展提高）

一、单选题

1．4的平方根是（    ）

A．2 B．-2 C．±2 D．无法确定

【答案】C

【分析】根据平方根的定义可得答案．

【详解】解：∵（±2）2=4，

∴4的平方根是±2．

故选：C．

【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．

2．下列各数中一定有平方根的是（　　）

A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1

【答案】D

【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．

【详解】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；

B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；

C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；

D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．

故选D．

【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．

3．若，，则所有可能的值为（      ）

A．8 B．8或2 C．8或 D．或

【答案】D

【分析】先求出a、b的值，再计算即可．

【详解】解：∵，

∴a=±5，

∵，

∴b=±3，

当a=5，b=3时，；

当a=5，b=-3时，；

当a=-5，b=3时，；

当a=-5，b=-3时，；

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值、平方根和有理数加法运算，解题关键是分类讨论，准确计算．

4．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是（　　　）

A． B．1 C． D．0

【答案】C

【分析】由于最大的负整数是-1，本题即求-1的相反数，进而求其平方根．

【详解】解：最大的负整数是-1，根据概念，（-1的相反数）+（-1）=0，

则-1的相反数是1，则这个数是1，1的平方根是，

故选：C．

【点睛】本题考查了相反数、负整数的概念及求一个数的平方根，正确掌握相关定义是解题的关键．

5．已知，，且，则代数式的值为（    ）

A．-1或-7 B．1或-7 C．1或7 D．或

【答案】C

【分析】分别求出a与b的值，再利用这一条件判断出a、b的值，进而分情况讨论即可解题．

【详解】解，，

，

，

或，

或，

故选C．

【点睛】本题考查了去绝对值和求平方根，正确的确定a、b的值是解答本题的关键．

6．若制作的一个长方体底面积为，长、宽、高的比为，则此长方体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积

【详解】设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得:

4x×2x＝24

解得x＝，x＝-（舍去）

这个长方体的高 cm　

长方体的体积为:24×=24

故答案选：C

【点睛】主要考查的是平方根的定义及算术平方根意义，,熟练掌握定义是解题的关键.

二、填空题

7．(1)因为（______）2＝16，所以16的平方根有______个，且它们互为________，分别是________，用数学式子表示为__________________；

(2)因为（______）2＝0，所以0的平方根是______，用数学式子表示为______________．

【答案】±4    2    相反数    4，－4        0    0       

【分析】（1）根据平方根的定义，即可得到答案；

（2）根据平方根的定义，即可得到答案；

【详解】解：（1）因为（±4）2＝16，所以16的平方根有2个，且它们互为相反数，分别是4，－4，用数学式子表示为；

故答案为：±4；2；相反数；4，－4；；

（2）因为02＝0，所以0的平方根是0，用数学式子表示为．

故答案为：0；0；．

【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题．

8．8的相反数是_______，平方得9的数是________．

【答案】﹣8    ±3．   

【分析】根据相反数和平方根的定义及性质解答即可．

【详解】解：8的相反数是-8；

∵ ，

∴平方得9的数是±3．

【点睛】本题考查了相反数和平方根的定义及性质，解题关键是理解相反数和平方根的定义及性质．

9．两个数a与2在数轴上对应的点之间的距离为3，已知b2＝4，且a＜b，则a﹣b的值为_____．

【答案】-3．

【分析】求出b=±2，根据a＜b确定a，再求a﹣b的值．

【详解】解：∵b2＝4，

∴b=±2，

∵a与2在数轴上对应的点之间的距离为3，

当a在2左侧时，a=-1，

当a在2右侧时，a=5，

∵a＜b，

∴a=-1，b=2，

a﹣b=-1-2=-3

故答案为：-3．

【点睛】本题考查了数轴上点的距离和平方根，解题关键是根据题意求出a、b的值．

10．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是_________．

【答案】1

【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数

【详解】解：有题意可知：

∴这个正数的两个平方根分别是

∴这个正数是1

故答案为：1

【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键

11．若是m的一个平方根，则的平方根是______．

【答案】

【分析】利用平方根的定义求出的值，确定出的值，即可求出平方根．

【详解】根据题意得：，

则的平方根为．

故答案为：

【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

12．已知，则的值为__________．

【答案】4或

【分析】方程利用平方根定义开方即可求出x的值．

【详解】解：∵（x-1）2=9，

∴x-1=±3，

解得：x=4或x=-2，

故答案为4或．

【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．

13．若，则ab的平方根______ ．

【答案】

【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，进而可得ab的值，再根据平方根的定义解答即可．

【详解】解：根据题意，得，解得：，

∴ab=2，2的平方根是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法和平方根的定义等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．

14．已知方程是关于 x，y 的二元一次方程，则 m-4n 的平方根是_____．

【答案】

【分析】根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可．

【详解】∵方程是关于 x，y 的二元一次方程

∴ ，

∴

∴

∴m-4n的平方根是：

故答案为：

【点睛】本题考查二元一次方程的定义以及平方根的求算，掌握二元一次方程组的定义以及平方根的定义是解题关键．

三、解答题

15．求下列各数的平方根．

（1）0.09              （2）                  （3）         （4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】（1）根据平方根的定义即可得；

（2）根据平方根的定义即可得；

（3）根据平方根的定义即可得；

（4）先根据算术平方根求出的值，再根据平方根的定义即可得．

【详解】（1）因为，

所以的平方根是；

（2）因为，

所以的平方根是；

（3）因为，

所以的平方根是；

（4）因为，，

所以的平方根是．

【点睛】本题考查了平方根，掌握理解定义是解题关键．

16．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．

【答案】

【分析】根据题意可求出及的值，从而可得出a与b的值，继而可求出的平方根．

【详解】

解：由题意得：，，

解得：，，

∴，

∴的平方根为：．

【点睛】本题主要考查了平方根，难度不大，解题的关键是求a、b的值．

17．已知．

（1）已知的算术平方根为3，求a的值；

（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．

【答案】（1）a=-8；（2）1或9．

【分析】（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；

（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案．

【详解】解：（1）∵x的算术平方根是3，

∴1-a=9，

∴a=-8；

（2）x，y都是同一个数的平方根，

∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，

解得a=2，或a=4，

当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，

当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，

答：这个数是1或9．

【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．

18．已知的平方根为，是的立方根，是的整数部分，求：

（1）、、的值；

（2）的平方根．

【答案】（1），，；（2）

【分析】（1）根据平方根、立方根、以及无理数的估算，即可求出x、y、z的值；

（2）根据（1）的答案，求出的值，再求平方根即可.

【详解】解：（1）根据题意，有：

，则，

∵，

∴，

∴，

∵，

又∵是的整数部分，

∴

（2）由（1）可知：，

∴平方根是.

【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．

19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值的方法，请回答如下问题：

（1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4＜＜1.5，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）？

（2）若x是+的整数部分，y是+的小数部分，求（y--）x的平方根．

【答案】（1）3.3＜＜3.4（2）±16

【分析】（1）从3.1的平方开始计算，发现3.3的平方=10.89，3.4的平方等于11.56，11在两数之间，进而得到的近似值．

（2）按不等式性质1得到+的近似值，则整数部分为4，小数部分即原数减去整数部分，再代入求值．

【详解】（1）∵3.12=9.61，3.22=10.24，3.32=10.89，3.42=11.56

∴3.3＜＜3.4

（2）∵1.4＜＜1.5，3.3＜＜3.4

∴4.7＜＜4.9

∴x=4，y=-4

∴（y--）x=（）4=（-4）4=256

∴±=±16

∴（y--）x的平方根±16

【点睛】本题考查了平方和平方根估算无理数大小，正确计算是解题的关键．

20．小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=-1，那么（-i）2=-1，因此-1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为（±2i）2=-4，所以-4的平方根就是±2i；因为（±3i）2=-9，所以-9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题：

（1）求-16的平方根；

（2）求i3，i4的值（写出过程，提示：有理数运算法则一样可以用哦）

（3）i2018=       

【答案】（1）±4i；（2）-i，1；（3）—1

【分析】（1）根据开方运算，可得平方根；

（2）根据计算，可得i3，i4的值；

（3）通过计算：i1=i，i2=-1，i3=i2×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；i5=i4•i=1×i=i，i6=i4•i2=1×（-1）=-1，i7=i4•i3=1×（-i）=-i，i8=i4•i4=1×1=1，…发现每4个一循环，根据观察，可得答案．

【详解】（1）∵（±4i）2=-16，

∴；

（2）i3=i2•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；

（3）i1=i，i2=-1，i3=i2×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；i5=i4•i=1×i=i，i6=i4•i2=1×（-1）=-1，i7=i4•i3=1×（-i）=-i，i8=i4•i4=1×1=1，…

发现每4个一循环，

∴2018÷4=504⋯⋯2，

∴i2018=-1．

故答案为：-1．

【点睛】本题考查了平方根，计算发现规律是解题关键．