专题3.6 实数（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题3.6 实数（拓展提高）

一、单选题

1．下列各数中是有理数的是（     ）

A．2021 B． C． D．0.1010010001…

【答案】A

【分析】根据无理数的定义判断即可．

【详解】解：A选项是整数，属于有理数，符合题意；

B选项，π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；

C选项，是开方开不尽的数，是无理数，不符合题意；

D选项是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了无理数的定义，实数的分类，牢记常见的无理数的类型是解题的关键．

2．已知实数满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．

【详解】解：∵

∴，，

∴，，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．

3．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有(      )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据无理数的概念即可判断．

【详解】解：=-3，

无理数有：， ，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)，共有3个．

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数．解题的关键是熟练掌握无理数的概念．

4．下列说法其中错误的个数（    ）

①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可．

【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；

②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；

③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误；

④因为负数有立方根，原说法错误；

⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确．

∴错误的说法有3个，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键．

5．在实数，，，0， 中，有理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据实数的分类及有理数的定义，即可解答．

【详解】在实数，0，中，有理数有=2，0，共3个．

故选C．

【点睛】本题考查了实数，解决本题的关键是熟记有理数的定义．

6．在下列说法中，①的算术平方根是4；②3是9的平方根；③在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；④两个无理数之和还是无理数．其中正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】根据算术平方根、平方根、及实数的分类逐项判断即可．

【详解】①的算术平方根是2，故说法错误；

②3是9的平方根，故说法正确；

③在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，故说法正确；

司两个无理数的和不一定是无理数，故说法错误；正确的个数有2个，

故选C．

【点睛】本题主要考查无理数、算术平方根、平方根等相关的概念，解决此类问题的关键是要抓住概念的本质特征．

二、填空题

7．把下列各数填在相应的集合里：

4，3.5，0，，，，，2016，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）

正分数集合{　   　…}

负有理数集合{　   　…}

非负整数集合{　   　 …}

无理数集合{　   　 …}．

【答案】3.5，10%；；4，0，2016；，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）

【分析】根据实数的分类即可求出答案．

【详解】解：正分数集合{3.5，…}

负有理数集合{，…}

非负整数集合{ 4，0，2016…}

无理数集合{，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）…}．

故答案为：3.5，10%；；4，0，2016；，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）．

【点睛】本题考查实数的分类，属于基础题型．

8．在这五个实数中，无理数是_______．

【答案】、π

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】是无限循环小数，是有理数，

是分数，是有理数，

是开方开不尽的数，是无理数，

π是无理数，

=-3，是整数，是有理数，

综上所述：在这五个实数中，无理数是、π，

故答案为：、π

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

9．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____．

【答案】②③

【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可．

【详解】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意；

②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意；

③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意；

④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意；

⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意；

⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意；

因此正确的结论只有②③，

故答案为：②③．

【点睛】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提．

10．有六个数：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002，若其中无理数的个数为x，正数的个数为y，则x+y=_____．

【答案】5

【分析】根据无理数与正数的概念进行解答即可.

【详解】∵无理数有 一个，

∴x=1，

∵正数有0.123、3.1416、 、0.1020020002共4个

∴y=4，

∴x+y=5，

故答案为：5

【点睛】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数，熟练掌握实数的分类是解题关键.

11．给出下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是2的算术平方根；④1＜＜2．其中正确的是__________(请填序号).

【答案】①②③④

【解析】关于“”的上述四个判断中：①“是无理数”是正确的；②“是实数”是正确的；③“是2的算术平方根”是正确的；④“1＜＜2”是正确的；即四种说法都是正确的，故正确的是：① ② ③ ④ .

12．有六个数：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002…，若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=______．

【答案】6

【解析】试题解析：无理数有：-2π，0.1020020002…共2个，则x=2；

没有整数：则y=0；

非负数有：0.123，3.1416，，0.1020020002…共4个；

则z=4．

则x+y+z=6．

点睛：根据无理数的定义、整数的定义、非负数的定义即可判定x、y、z的值

13．在实数，，0，－π，，，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_____．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据无理数、有理数的定义即可得出A、B的值，进而得出结论．

【详解】

，﹣π，0.101 001 0001…（相邻两个1之间多一个0）是无理数，故A=3．

，0，是有理数，故B=4，∴A－B=3－4=－1．

故答案为：－1．

【点睛】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

14．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，如一组数1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}，类比实数有加法运算，集合也可以相加．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A＝{0，1，7}，B＝{﹣3，0，1}，则A+B＝_____．

【答案】{﹣3，0，1，7}

【分析】利用集合的定义及集合A与集合B的和求解即可．

【详解】∵A={0，1，7}，B={-3，0，1}，

∴由集合的定义，可得A+B={-3，0，1，7}．

故答案为{-3，0，1，7}．

【点睛】本题主要考查了实数，解题的关键是正确理解集合的定义．

三、解答题

15．把下列各数填入相应的大括号中：

自然数集合{                             …}；

负数集合{                             …}；

整数集合{                             …}；

有理数集合{                             …}；

实数集合{                             …}；

无理数集合{                             …}．

【答案】；，；；；；．

【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．

【详解】解：根据实数的分类，

自然数集合{ …}；

负数集合{ ，   …}；

整数集合{   …}；

有理数集合{  …}；

实数集合{ …}；

无理数集合{ …}．

【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.

16．有六个数0.1427，，3.1416，，，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为x，求的值.

【答案】6

【分析】根据题意，仔细回想实数的分类和无理数，正数，非负数的定义；根据无理数即为无限不循环小数可知，-2π，0.1020020002…均为无理数，进而求出x的值，同理可知题中没有整数，进而求出y的值；再根据非负数即为大于或等于0的数，即可找出题中非负数的个数进而求出z的值，进而求解本题.

【详解】由题意得，无理数有2个，分别是，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），所以；

整数有0个，所以；

非负数有4个，分别是0.1427，3.1416，，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），所以.

所以.

【点睛】此题考查有理数，解题关键在于掌握各性质定义.

17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，求的立方根.

【答案】0或

【分析】根据题意得a+b=0，cd=1，m=±1，以整体的形式代入所求的代数式即可．

【详解】因为a，b互为相反数，所以.

因为c，d互为倒数，所以，

因为m的倒数等于它本身，所以.

①当，，时，，

所以的立方根是0；

②当，，时，，

所以的立方根为.

综上所述，的立方根是0或.

【点睛】此题考查立方根，实数的性质，解题关键在于掌握运算法则.

18．已知与互为相反数，求2a+b的立方根．

【答案】-2

【分析】根据 与 互为相反数，可得：8a+15=-（4b+17），据此求出2a+b的值是多少，进而求出2a+b的立方根是多少即可．

【详解】解：∵与互为相反数，

∴8a+15=-（4b+17），

∴8a+4b=-17-15=-32，

∴2a+b=-8，

∴2a+b的立方根是：

=-2．

【点睛】此题主要考查了实数的性质，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

19．已知实数a，b满足＋|2b＋1|＝0，求的值．

【答案】

【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．

【详解】解：根据题意，得解得

则b＝×＝－.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

20．已知a＝|－|＋|1－|－|－2|，求－2a＋2的平方根．

【答案】－2a＋2的平方根是0.

【分析】先根据绝对值的性质化简a，再代入即可.

【详解】∵<，1<， >2.

∴a＝－＋－1－＋2＝1，

∴－2a＋2＝0，

∴－2a＋2的平方根是0.

【点睛】此题考查了绝对值的性质和平方根是定义，熟练掌握这个性质是解题的关键.