专题3.10 立方根（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题3.10 立方根（拓展提高）

一、单选题

1．下列算式中正确的是（　　）

A． B．的平方根是

C． D．

【答案】B

【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的概念进行分析判断．

【详解】A、﹣＝﹣0.8，故此选项不符合题意；

B、＝2的平方根是，正确，故此选项符合题意；

C、，故此选项不符合题意；

D、，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根的化简计算，理解平方根与算术平方根的区别以及立方根的概念是解题关键．

2．若＝2.89，＝28.9，则b等于（　　）

A．1000000 B．1000 C．10 D．10000

【答案】B

【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．

【详解】∵＝2.89，＝28.9，

∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，

∴b＝103＝1000，

故选：B．

【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中．

3．一个数的平方根与立方根相等，这祥的数有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】A

【分析】一个数的平方根与立方根相等的只有0．

【详解】解：一个数的平方根与立方根相等的只有0．

故选A．

【点睛】本题考查平方根和立方根的概念，熟记这些概念才能求解．

4．的算术平方根等于（    ）

A．9 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】根据立方根、算术平方根的定义求解即可．

【详解】解：因为，

所以=9，

因此的算术平方根就是9的算术平方根，

又因为9的算术平方根为3，即，

所以的算术平方根是3，

答案：C．

【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键．

5．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（    ）

A．之间 B．之间 C．之间 D．之间

【答案】A

【分析】估算的值即可．

【详解】解：∵正方体的水晶砖，体积为，

∴它的棱长是，

∵，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了立方根的估算，找到两个连续整数的立方，一个大于80，一个小于80是解题关键．

6．已知，且，则的值为（　　　）

A． B． C．1 D．1或

【答案】C

【分析】根据平方根的定义及立方根的定义求出，利用法确定a=4，b=-3，代入a+b计算即可．

【详解】∵，

∴，

∵，

∴，

∴a=4，b=-3，

∴a+b=4-3=1，

故选：C．

【点睛】此题考查平方根的定义及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的加减法，正确理解平方根的定义及立方根的定义求出a及b的值是解题的关键．

二、填空题

7．的相反数是__；的倒数是__；2的平方根是__；9的算术平方根是__；实数8的立方根是__．

【答案】；    3；    ±；    3；    2．   

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义解答．

【详解】解：﹣的相反数是；

∵3×＝1，

∴的倒数是3；

2的平方根是±；

∵32＝9，

∴9的算术平方根是3；

∵23＝8，

∴实数8的立方根是2．

故答案为：，3，±，3，2．

【点睛】本题考查了实数的性质，主要涉及到相反数的定义，倒数的定义，平方根、算术平方根以及立方根的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．

8．一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．

【答案】2

【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．

【详解】∵和是正数a的平方根，

∴，

解得 ，

将b代入，

∴正数 ，

∴，

∴的立方根为：，

故填：2．

【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．

9．已知，则____________．

【答案】16

【分析】把移项到等号右边，等式两边同时开3次方，得到，求出的值，代入计算得数即可．

【详解】解：

移项得

即

开三次方得

解得．

把代入，

．

故答案为：16．

【点睛】本题考查了立方根的实际应用，已知字母的值求代数式的值，运用开立方根的方法求出的值是解题关键．

10．已知与互为相反数，则的值是____．

【答案】

【分析】首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可．

【详解】解：∵与互为相反数，

∴+=0，

∴

∴

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得与之间的关系是解题关键．

11．若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是______．

【答案】4

【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可．

【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，

∴m+3+2m-15=0，

解得：m=4，

∵n的立方根是-2，

∴n=-8，

把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，

所以-n+2m的算术平方根是4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根．

12．一个正方体的木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．

【答案】73.5cm3．

【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．

【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是，

∴正方体的棱长为=7（cm3），

要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm3），

∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm3）．

故答案为73.5cm3．

【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块．

13．已知甲数是的平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是__．

【答案】．

【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．

【详解】甲数是的平方根

甲数等于；

乙数是的立方根，

乙数等于．

∵

甲、乙两个数的积是．

故答案：．

【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出甲数和乙数．

14．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）

【答案】②

【分析】根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断．

【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；

②根据四舍五入可知，近似数1.70所表示的准确数的范围是，说法正确；

③的平方根是，原说法错误；

④立方根是它本身的数是0和±1，原说法错误；

故答案为：②．

【点睛】本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，本题属于基础题型．

三、解答题

15．求的值．

【答案】0或2．

【分析】分≥0和＜0两种情况进行讨论即可

【详解】解：（1）当≥0时，，，

所以．

（2）当＜0时，，，

所以．

即值为0或2．

【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．

16．求出下列等式中x的值：

（1）；             

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先根据等式的性质化为，再根据平方根的定义即可求解；

（2）先根据等式的性质得到，再化为，根据立方根的定义即可求解．

【详解】解：（1）；

，

； 

（2），

，

，

．

【点睛】本题考查了根据平方根、立方根的定义解方程，熟知平方根，立方根的定义，理解解方程就是将方程转化为“”的形式是解题的关键．

17．根据下表回答问题：

（1）265.69的平方根是______；

（2）______，______，______；

（3）设的整数部分为，求的立方根．

【答案】（1）±16.3；（2）16.2；168，1.61；（2）-4

【分析】（1）利用表格中数据分析得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质结合表格中数据分析得出答案；

（3）直接利用二次根式的性质结合表格中数据化简得出答案．

【详解】解：（1）由表格中数据可得：265.69的平方根是：±16.3；

故答案为：±16.3；

（2）16.2，

，

故答案为：16.2；168；1.61

（3）∵，

∴16＜＜17，

∴a=16，-4a=-64，

∴-4a的立方根为-4．

【点睛】平方根和立方根，掌握算术平方根的定义是本题的关键；算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

18．在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

【答案】烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4

【分析】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积．

【详解】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．

设铁块的棱长为，可列方程解得

设烧杯内部的底面半径为，可列方程，解得6．

答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 ．

【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍．本题体现与物理学科的综合．

19．通过《实数》一章的学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题：

（1）的整数部分为__________，小数部分为__________．

（2）已知的整数部分，的整数部分为，求的立方根．

【答案】（1）5；；（2）2

【分析】（1）由于25<33<36，故可得出的整数部分，从而也可得出其小数部分；

（2）由于9<10<16，故可得出的整数部分，即a的值；同理可确定出的整数部分，进而确定出的整数部分，即b的值，最后即可求得a+b的立方根．

【详解】（1）∵25<33<36，

∴5<<6，

即的整数部分为5，小数部分为-5．

故答案为：5；

（2）∵9<10<16，

∴，

∴的整数部分；

∵，

∴的整数部分．

∴，

∴8的立方根为．

【点睛】本题考查了算术平方根的估值问题，求立方根，关键是确定根号下的数位于哪两个相邻正整数之间，即可确定该算术平方根的整数部分．

20．先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：

（1），则54872的立方根是___位数，54872的个位数字是2，则54872的立方根的个位数字是_____．

（2）如果划去54872后面的三位“872”得到数54，而，由由此可确定54872的立方根的十位数字是_____，此54872的立方根是______．

（3）现在换一个数185193，你能按这种方法得出它的立方根吗？请求出立方根，并说明理由．

【答案】（1）两，8；（2）3；38；（3）57，理由见详解

【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答,分别求得1至9的立方，然后依据原数的末位数字判断出它的个位数；

（2）利用夹逼法判断出十位数字即可；

（3）利用（1）（2）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．

【详解】解：（1）∵1000＜54872＜1000000，

∴10＜＜100，

∴54872的立方根是两位数．

∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729，且54872的个位数字是2，

∴54872的立方根的个位数字是8．

故答案为：两，8；

（2）∵27＜54＜64，

∴54872的立方根的十位数字是3．

因此54872的立方根是38．

故答案为：3；38；

（3）185193的末位数字是3，

∴185193的立方根的个位数字是7．

∵53＝125，63＝216，且125＜185＜216，

∴185193的立方根的十位数字是5．

∴185193的立方根是57．

【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．