2020-2021学年7.3* 复数的三角表示学案

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班级：                姓名：              日期：          《7.3 复数的三角表示》导学案地 位： 本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019） 第七章 复数7.3  复数的三角表示学习目标： 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示,培养数学抽象的核心素养；2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义,培养数学抽象的核心素养；3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,培养数学运算的核心素养;4.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算,培养数学运算的核心素养. 学习重难点：1.重点：了解复数的三角表示、复数的辐角及辐角的主值的含义        了解复数乘、除运算的三角表示2.难点：了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.        了解复数乘、除运算的几何意义．  自主预习： 本节所处教材的第     页. 复习——①　复数的几何意义：                                     ②　向量的四则运算：                                      预习——      复数的三角表示：                                                   复数的乘除运算的几何意义：                                            新课导学  学习探究（一）新知导入1. 探索交流，解决问题前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数.【问题】　复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？  （二）复数的三角表示1.复数的三角形式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.2.辐角主值规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.【思考1】复数的辐角有怎样的特征？  【思考2】你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？ 【做一做】1.复数1＋i的辐角主值为(　　)A.   B.   C.   D.2.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　)A.30°   B.60°   C.90°   D.120°3.复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].4.复数三角形式的除法两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].（三）典型例题1.复数的代数形式化为三角形式例1.将下列复数代数式化成三角形式：(1)＋i；(2)1－i. 【类题通法】将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.   【巩固练习1】复数z＝－i的三角形式为(　　)A.2   B.2C.2   D.2 2.复数的三角形式化为代数形式例2.复数z＝化为代数形式为(　　)A.＋i        B.－＋iC.－－i       D.－i 【类题通法】将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. 【巩固练习2】将复数z＝化为代数形式为________.  3.复数三角形式的乘法运算例3.　计算：(1)2×；(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°).   【类题通法】直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.【巩固练习3】计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 4.复数三角形式的除法运算例4.  (1)设π<θ<，则复数的辐角主值为(　　)A.2π－3θ             B.3θ－2πC.3θ                  D.3θ－π(2)计算：8÷.     【类题通法】直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.【巩固练习4】　计算：2i÷.       （四）操作演练  素养提升1.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)A.＋i    B.－＋i C.－－i    D.－i2.将复数z＝8化为代数形式为________.3.arg＝________.4.计算(cos π＋isin π)÷＝________.  课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                               学习评价 【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）A.很好          B.较好          C.一般           D.较差  【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）A.很好          B.较好          C.一般           D.较差 【建议】 你对本节导学案的建议：                                                                                                       课后作业 完成教材：第86页  练习     第1，2，3题          第89页  练习     第1，2，3题第89 页   习题7.3  第1,2,3,4,5,6,7,8题