第3章 实数（基础卷）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

第3章 实数（基础卷）

一、单选题

1．下列各数中，是无理数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据无理数的定义进行解答，即无理数就是无限不循环小数．

【详解】解：A、3.14是有限小数，不是无理数，故A选项不符合题意；

B、是分数，不是无理数，故B选项不符合题意；

C、是开方开不尽的数，是无理数，故C选项符合题意；

D、是有理数，不是无理数，故D选项不符合题意，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等含π的数；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．

2．＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

【答案】B

【分析】由题意根据算术平方根性质对无理数进行估算即可得出答案.

【详解】解：∵，即，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查实数的估算，熟练掌握算术平方根性质进行无理数估算是解题的关键.

3．在下列各式中正确的是（　　）

A．＝﹣3 B．＝±5 C．﹣＝4 D．＝2

【答案】D

【分析】依据算术平方根的性质解答即可．

【详解】解：A．，故A错误；

B.，故B错误；

C.﹣＝-4，故C错误；

D.＝2，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

4．在实数，，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】解：，，，（相邻两个1之间依次多一个0），共4个无理数；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

5．如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将各个选项的四个无理数进行估算，即可解答．

【详解】A．；

B．；

C．；

D．．

故选：B．

【点睛】本题考查了无理数的估算，难度不大，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

6．下列说法中，正确的有（    ）

①无限小数是无理数；

②无理数是无限小数；

③两个无理数的和是无理数；

④对于实数、，如果，那么；

⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数．

A．②④ B．①②⑤ C．② D．②⑤

【答案】C

【分析】根据无理数的定义，实数的运算，实数的性质，实数与数轴的关系，逐项判断，即可求解．

【详解】解：①无限不循环小数是无理数，故本选项错误；

②无理数是无限小数，故本选项正确；

③两个无理数的和不一定是无理数，例如两个无理数互为相反数，它们的和为0，故本选项错误；

④对于实数、，如果，那么，故本选项错误；

⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，故本选项错误；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，实数的运算，实数与数轴的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．

7．如果直径为1个单位长度的圆上一点P从数轴上表示3的点A出发，沿数轴向左滚动一周，圆上这一点到达数轴上另一点B，则B点表示的实数为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】圆从A点沿数轴向左滚动一周，可知AB=π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；

【详解】解：直径为1的圆滚动一周它上面的点所滚得距离为π，

故B点表示的实数为，

故选：B．

【点睛】本题考查实数与数轴．掌握数轴的特点及圆的周长公式是解题关键．

8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先估算出的范围，再确定范围，然后求出的值，最后代入求出即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出与的范围是解此题的关键．

9．4的平方根是x，27的立方根是y，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．5或1 D．5或

【答案】C

【分析】根据求一个数的平方根和立方根求得的值，进而求得代数式的值．

【详解】4的平方根是x，27的立方根是y，

当，时，,

当，时，,

的值为5或1．

故选C．

【点睛】本题考查了求一个数的平方根和立方根，掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键．

10．对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

【答案】A

【分析】根据a，b的范围即可求出a−b的立方根．

【详解】解：根据题意得：a≤，b≥，

∵25＜30＜36，

∴5＜＜6，

∵a和b为两个连续正整数，

∴a＝5，b＝6，

∴a﹣b＝﹣1，

∴﹣1的立方根是﹣1，

故选：A．

【点睛】本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新定义是求解本题的关键．

二、填空题

11．64的算术平方根、平方根、立方根分别是______、______、______．

【答案】8    ±8    4   

【分析】直接利用算术平方根，平方根，立方根的定义分析得出答案；

【详解】解：64的算术平方根是：8．

64的平方根是：±8．

64的立方根是：4．

故答案为：8；±8；4．

【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．

12．若b的平方根只有一个，则________．

【答案】0

【分析】根据0的平方根是0，即可得出结果．

【详解】解：非负数中只有0的平方根只有一个，

∴．

故答案为：0．

【点睛】本题考查了平方根的性质，注意除0外，所有的正数都有两个平方根，0的平方根是0．

13．若有平方根，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据只有非负数才有平方根进行求解即可．

【详解】解：根据题意得，x-1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

【点睛】本题考查了平方根的意义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

14．（-9）的平方的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为______．

【答案】13或5

【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可．

【详解】解：∵（-9）的平方的平方根是x，

∴，

∵64的立方根是y，

∴，

∴或，

故答案为：13或5

【点睛】此题考查平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．

15．若一个正方形的面积为，则它的边长可表示为______．

【答案】

【分析】根据正方形的面积公式，可求边长．

【详解】解：因为正方形的面积等于边长的平方，

所以，正方形的面积为，则它的边长可表示为；

故答案为：．

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是明确正方形的面积等于边长的平方．

16．制作一个表面积为18正方体纸盒，这个正方体棱长是______．

【答案】

【分析】设这个正方体棱长是x，根据正方体的表面积公式可得，然后利用平方根的运算即可求解．

【详解】解：设这个正方体棱长是x，

根据题意得： ，解得： 或 （舍去）．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平方根的运算，根据正方体的表面积公式得到是解题的关键．

17．的整数部分为，则的平方根=_____________．

【答案】

【分析】先求出的整数部分为，然后求出的平方根即可．

【详解】解：∵，

∴的整数部分为，

∴，

∴，

∴的平方根为：，

故答案为：．

【点睛】本难题考查了无理数的估算，平方根，正确估算出的整数部分，掌握平方根的求法是解题的关键．

18．若，则_________．

【答案】3

【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性列出二元一次方程组可进行求解．

【详解】由题意可得且，

解得，

∴．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握算术平方根及绝对值的非负性．

19．已知，则的平方根是__．

【答案】

【分析】根据非负数的性质列方程求得a和b的值，然后求解．

【详解】解：，

，

解得：，

，

的平方根为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了非负数的性质，立方根，平方根等知识点，根据非负数的性质求出a和b的值是解题的关键．

20．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则这个正数是______．

【答案】64

【分析】根据平方根的定义得出，再进行求解得的值，再根据平方根的概念即可得出答案．

【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与，

，

，

这个正数是．

故答案为：64．

【点睛】本题考查了平方根的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

三、解答题

21．（1）   

（2）

【答案】（1）6；（2）

【分析】（1）根据绝对值、立方根、平方根的性质对每个式子进行化简，然后计算即可；

（2）根据立方根、平方根的性质对每个式子进行化简，然后计算即可．

【详解】解：（1）

（2）

【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及了平方根、立方根以及绝对值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．

22．阅读理解：∵，∴16的四次方根为，即．

应用：根据上面的过程求的值．

【答案】．

【分析】根据已知四次方根的定义，四次方根为81，因而可以得出答案．

【详解】解：由已知四次方根的定义得：

，

∴81的四次方根为，

即．

【点睛】本题考查了四次方根的概念，学生只要抓住基本的运算规律即可，另外不要出现漏解的现象．

23．已知，．

（1）已知x的值为4，求a的值及的平方根；

（2）如果一个正数的两个平方根分别是x和y，求这个数．

【答案】（1），平方根为；（2）9

【分析】（1）当时，可求出 ，从而求出 ，即可解答；

（2）根据平方根的性质，可求出，从而求出这个正数，即可解答．

【详解】解：（1）当时， ，解得：，

∴  ，

∴，

∵2的平方根为   ，

∴的平方根；

（2）依题意得：，即，

解得：   

∴这个数为．

【点睛】本题主要考查了平方根和整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数是解题的关键．

24．已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的一个平方根是﹣6，求a+2b的平方根．

【答案】±2

【分析】利用平方根、立方根定义求出a与b的值，即可确定出a＋2b的平方根．

【详解】解：根据题意得：2a−1＝27，3a＋b−1＝36，

解得：a＝14，b＝−5．

则a＋2b＝14−10＝4．

因为4的平方根是±2，

所以a+2b的平方根是±2

【点睛】此题考查了立方根、平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．

25．已知：是的整数部分，是的小数部分．

求：

（1），值

（2）的平方根．

【答案】（1），．

（2）．

【分析】（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值；

（2）根据平方根即可解答．

【详解】

，

∴整数部分，小数部分．

（2）

原式

，

则的平方根为．

【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．

26．某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．

【答案】

【分析】先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案．

【详解】解：原绿化带的面积为（m2），

扩大后绿化带的面积为（m2），

则扩大后绿化带的边长是（m），

答：扩大后绿化带的边长为20m．

【点睛】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键．

27．用一块纸板做一个有底无盖的正方体形状的粉笔盒，已知粉笔盒的容积为216 cm³．

（1）求这个粉笔盒的棱长；

（2）这块纸板的面积至少为多大？

【答案】（1）棱长6 cm；（2）这块纸板的面积至少为180 cm²

【分析】（1）设棱长是xcm，根据正方形体积公式可得x3=216，直接开立方即可；

（2）根据正方体有6个面，每一个面是正方形，正方体是有底没盖的，于是S=6×6×5=180．

【详解】(2)设正方体形状的粉笔盒的棱长是xcm，则

x3=216，

x=

=6，

答：这个粉笔盒的棱长是6cm；

(2)S=6×6×5=180cm2．

答：这块纸板至少需要180cm2的面积．

【点睛】考查了立方根，解题的关键是掌握正方体的体积公式，以及表面积公式的计算．

28．当发生交通事故时，交通警察常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所以用的经验公式是，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数。

某公路规定汽车的行驶速度不超过80km/h，经测定，某汽车刹车后车轮滑过的距离d=16 m. 已知f=1.69 ，请你判断该汽车当时是否超速.

【答案】该汽车超速，理由见解析.

【分析】把d=16m,f=1.69代入中，即可计算出速度，再与80km/h进行比较、判断.

【详解】当d=16m,f=1.69代入中得：

v=km/h.

∵83.2>80

∴该汽车已超速.

【点睛】考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键，即将d=16m,f=1.69代入中即可求得汽车速度.