第5章 一元一次方程（提高卷）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

第5章 一元一次方程（提高卷）

一、单选题

1．一份卷共25道，每道都出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案出来，每答对一题得4分，不答或答错扣1分，如果一个学生得90分，那么他答对几道题？如果设答对道题，则方程可列为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设答对道题，答错（25-x）到题，根据答对题所得分数-答错或不答扣分=90，列方程即可．

【详解】解：设答对道题，答错（25-x）到题，

根据题意得：4x-（25-x）=90．

故选择B．

【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤是解题关键．

2．甲、乙两人分别从相距600米的A、B两地步行出发，相向而行，各人速度保持不变.若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发3分钟，则甲出发9分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为       

A．20米/分钟 B．30米/分钟 C．40米 /分钟 D．25米/分钟

【答案】C

【分析】设甲的速度为米/分钟，则乙的速度为米/分钟，根据若乙比甲先出发3分钟，则甲出发9分钟之后，甲乙两人相遇，列出一元一次方程即可求解．

【详解】解：设甲的速度为米/分钟，则乙的速度为，即米/分钟，根据题意可得：

解得

故选：C．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，表示出乙的速度是解题的关键．

3．已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2

【答案】D

【分析】只含有一个未知数，未知数的次数都是1，并且方程的两边都是整式，像这样的方程叫做一元一次方程；据此可得m-1=1，解方程即可得答案．

【详解】∵xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，

∴m-1=1，

解得：m=2，

故选：D．

【点睛】此题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，只含有一个未知数，未知数的次数都是1，并且方程的两边都是整式，像这样的方程叫做一元一次方程；熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．

4．按下面的程序计算：

如果输入的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的的值有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】当输入数字为，输出数字为150时，，解得；当输入数字为，输出数字为38时，得到，解得，当输入数字为，输出数字为10时，，解得，当输入数字为，输出数字为3时，，解得不合题意．

【详解】解：当时，解得；；

当时，解得；；

当时，解得；；

当时，解得；不合题意．

故符合条件的的值有3个．

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是代数式求值，解题的关键是根据题意列出关于的方程．

5．右边给出的是今年11月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，发现这四个数的和不可能是（     ）

A．84 B．54 C．62 D．74

【答案】A

【分析】观察日历表，发现：在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；如果设最小的数为x，那么其余的数为x＋7，x＋14，x＋21，则这四个数的和为4x＋42；根据选项分别列出方程，求出x的值，根据x表示的意义，得出正确选项．

【详解】解：设四个数中最小的数为x，那么其余的数为x＋7，x＋14，x＋21．

则这四个数的和为：x＋（x＋7）＋（x＋14）＋（x＋21）＝4x＋42．

A、解方程4x＋42＝84，得x＝，不符合实际，符合题意；

B、解方程4x＋42＝54，得x＝3，不符合题意；

C、解方程4x＋42＝62，得x＝5，不符合题意；

D、解方程4x＋42＝74，得x＝8，不符合题意．

故选：A．

【点睛】题考查日常生活知识在数学中的应用：日历上每一竖列较大的数减去较小的数都等于7，横行上相邻的数都相隔1．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

6．在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（　　）

A． B．6+2x＝14﹣x

C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）

【答案】D

【分析】根据AE＝x（cm），求出AN，MD，AE，根据小长方形的长相等求出MR，利用矩形ABCD的宽AB=MR+AE列方程即可

【详解】解：标字母如图所示：

设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm，

∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm，

∴AB=AE+MR，

即6+2x=x+（14-3x）

故选D．

【点睛】主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，长方形的性质，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．

7．已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则单项式﹣5axa﹣by的系数和次数分別是（　　）

A．﹣15，6 B．﹣15，5 C．﹣5，6 D．﹣5，5

【答案】A

【分析】先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a﹣3=0，b+2＝0，解方程求出a与b，然后代入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可．

【详解】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，|a﹣3|≥0，（b+2）2≥0，

∴根据绝对值与偶次方非负数性质可得a﹣3=0，b+2＝0，

解得a=3，b=-2，

∴单项式﹣15x5y的系数为-15，次数为5+1=6次．

故选择A．

【点睛】本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负数性质，和单项式相关定义是解题关键．

8．方程的解是x=（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，，，可以得到，然后把方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．

【详解】解：∵，，，

∴，

方程变形得：

即，

去分母得：，

解得：

故选C．

【点睛】此题考查解一元一次方程和数字类的变化规律，解题关键在于利用拆项法将原式变形．

9．将九个数分别填在3×3（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图④为“和m幻方”，则m的值等于（　　）

A．﹣15 B．﹣5 C．3 D．18

【答案】A

【分析】根据“和m幻方”满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，可求得m．

【详解】解：分别设其余空白方格中的数字各为：、、、、、，

可得：+6﹣6＝m，＝m，

+4+＝m，＝﹣4，

﹣6++＝m，＝m+10，

++6＝m，＝﹣16，

4++＝m，＝﹣14，

++＝m，＝m+20，

则由++＝m，

即m+m+10+m+20＝m，

解得m＝﹣15，

故选：A．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是得到“和m幻方”满足的条件．

10．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ）．

A．70 B．78 C．84 D．

【答案】B

【分析】由图可知U型框的上下相邻的两个格子之间，下面的格子比上面的格子大7，可设U型框最上面一行左边的数字为a，则最上面一行，右边的数字为a+2，中间一行的左边的数字为a+7，右边的数字为a+9，最下边一行左边的数字为a+14，中间的数字为a+15，右边的数字为a+16，由此求解即可．

【详解】解：由图可知U型框的上下相邻的两个格子之间，下面的格子比上面的格子大7，

∴可设U型框最上面一行左边的数字为a，则最上面一行，右边的数字为a+2，中间一行的左边的数字为a+7，右边的数字为a+9，最下边一行左边的数字为a+14，中间的数字为a+15，右边的数字为a+16，

∴这7个数的和为，

当时，，故A选项不符合题意；

当时，，故C选项不符合题意；

当时，，故D选项不符合题意；

当时，不是整数，故B选项符合题意；

故选B．

【点睛】本题主要考查了列代数式和整式加减的应用，以及代数式求值，解题的关键在于能够正确读懂题意．

二、填空题

11．如果，，那么__________．

【答案】

【分析】先根据求得，再将代入方程可得，再解该方程即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

移项合并同类项，得：，

系数化为1，得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键．

12．若代数式+1与代数式的值相等，则x＝_____．

【答案】2

【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【详解】解：根据题意得：+1＝，

去分母得：x﹣2+6＝2x+2，

移项得：x﹣2x＝2+2﹣6，

合并得：﹣x＝﹣2，

解得：x＝2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查列一元一次方程，解一元一次方程，正确解方程是重点

13．已知m，n都是质数，若关于的方程的解是3，则__________．．

【答案】13

【分析】根据题意得，，所以3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，m，n其中有一个值是2，分情况讨论求解即可．

【详解】关于的方程的解是3，

，

3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，

又 m，n都是质数，

m，n其中有一个值是2，

当m=2时，，这种情况不成立，

当n=2时，，，成立，

，

故答案为：13．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，有一定灵活性，根据题意得到3m和5n必有一个是奇数，一个是偶数，再分类讨论是解题的关键．

14．已知代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，则2a+b+2m+2n＝___．

【答案】5

【分析】根据同类项的定义，分别求得的值，再代入代数式求解即可，字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项．

【详解】代数式3x2a﹣1y1+m与x2﹣by2﹣n为同类项，

．

故答案为：5

【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求得字母的值是解题的关键．

15．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则______．

【答案】18或32或50或128

【分析】根据一元一次方程的定义得到m+2≠0，；然后求出符合题意的m的值即可．

【详解】解：∵方程（m+2）xn2+1+6=0是关于x的一元一次方程，

∴m+2≠0，n2+1=1，

∴m≠-2，n=0，

∴方程为

∴

∵此方程的解为正整数，且m为整数，

∴m=-3或-4或-5或-8，

∴2m2=18或32或50或128．

故答案为：18或32或50或128．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确结合正整数的定义分析是解题关键．

16．已知关于x的一元一次方程的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程的解为 ______．

【答案】y＝4

【分析】把y﹣2看成一个整体，由的解为x＝2，可得y﹣2＝2．

【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x＝2，

∴关于y的一元一次方程中的y﹣2＝2，

解得：y＝4，

故答案是：y＝4．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解. 正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．

17．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝____________．

【答案】18

【分析】直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案．

【详解】解：由题意可得：7（x﹣2）﹣6x＝4，

解得：x＝18．

故答案为：18．

【点睛】本题主要考查了实数运算以及解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题关键．

18．如图，数轴上的点和点分别表示和，点是线段上一动点．点沿以每秒个单位的速度往返运动次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过秒）．若点在运动过程中，当＝时，则运动时间的值为________．

【答案】秒或秒或秒或秒

【分析】分当 时和当 时两种情况进行讨论求解即可．

【详解】解：①当 时，动点P所表示的数是2t，

∵PB=2

∴ ，

∴ 或 ，

解得 或 ；

②当 时，动点P所表示的数是20-2t，

∵PB=2

∴ ，

∴ 或 ，

解得 或 ；

∴综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒秒．

故答案为：秒或秒或秒秒．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴上点的位置关系，解题的关键在于能够分类讨论P点的位置．

19．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．

【答案】2

【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．

【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量

第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1

第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4

∵f=4

∵对角线上6+c+f=15

∴6+4+c=15，得到c=5

∵c=5

另外一条对角线上8+c+a=15

∴8+5+a=15，得到a=2

故答案为：2．

【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．

20．13世纪我国的数学家杨辉已经编制出三至十阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中．老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师己经帮助同学们完成了部分填空．则图中的值为______．

【答案】-6或-12

【分析】由于八个数的和是8，所以需满足两个圈的和是4，横、竖的和也是4．列等式可得结论．

【详解】解：设大圈上的数为a，小圈上的数为b，

由题意可得：

=8，

∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，

∴两个圈的和是4，横、竖的和也是4，

则-14+12+x+16=4，得x=-10，

12+8+x+b=4，得b=-6，

a+8+b+y=4，得：a+y=2，

∵当a=-2时，y=4，则x+y=-10+4=-6，

当a=4时，y=-2，则x+y=-10-2=-12，

∴x+y的值为-6或-12．

故答案为：-6或-12．

【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是4．

三、解答题

21．解下列方程：

（1）；            

（2）；

（3）；           

（4）；

（5）；      

（6）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】（1）（2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可；

（3）（4）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；

（5）（6）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可．

【详解】解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【点睛】本题主要考查一元一次方程的运算，属于基础题，熟练掌握一元一次方程的运算步骤是解题关键．

22．一件夹克按成本价提高后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？

【答案】这批夹克每件的成本价是50元．

【分析】设这批夹克的成本价是x元，根据题意得，解答即可．

【详解】解：设这批夹克的成本价是x元，

根据题意得，

1.2x=60，

解得x=50，

答：这批夹克每件的成本价是50元．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．

23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如：1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．

（1）求（﹣2）☆5的值；

（2）若（☆3）☆（﹣）＝8，求a的值；

（3）若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较大小m，n的大小．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；

（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；

（3）先根据新运算展开，再求出、，即可得出答案．

【详解】解：（1）☆5，

，

，

；

（2）因为☆，

☆，

，

，

，

解得：；

（3）由题意，

，

所以．

所以．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是能根据新运算展开并且注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．

24．用一根长为的铁丝围成一个长方形．

（1）使得该长方形的长比宽多，此时长方形的长、宽各为多少米？

（2）使得该长方形的长比宽多，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？

（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？

【答案】（1）长方形的长为，宽为；（2）长方形的长为，宽为，它所围成的长方形的面积比（1）中面积增大0.33m2；（3）正方形的边长为，它所围成的面积比（2）中面积增大0.16m2 ．

【分析】（1）首先设长方形的宽为，则长为，根据长方形的周长公式可得方程，再解即可；

（2）设此时长方形的宽为，则它的长为，求出边长，进而可得面积，再求出增加的量；

（3）利用（1）（2）中的数据进行比较即可．

【详解】（1）设此时长方形的宽为，则它的长为．

根据题意，得．

解这个方程，得．

．

此时长方形的长为，宽为．

（2）设此时长方形的宽为，则它的长为．

根据题意，得

解这个方程，得．

．

此时长方形的长为，宽为，它所围成的面积为，

（1）中长方形所围成的面积为．此时长方形的面积比（1）中面积增大．

（3）设正方形的边长为．

根据题意，得

．

解这个方程，得．

正方形的边长为，

它所围成的面积为，

比（2）中面积增大．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

25．黑板上有2020个数，分别是1，，，…，，每次操作，选两个数a和b，计算得到ab+a+b，再把a和b擦掉，把计算的数写上，这样操作2019次最后得到的数是多少？

【答案】经过2019次操作后得到的数是2020．

【分析】设经过2019次操作后，最后得到的数为x，则：x+1=（1+1）×（）×（+1）×（+1）×…×（+1），进而求出x的值即可．

【详解】解：∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），

∴每次操作前和操作后，最后得到的数与1的和等于每个数加1后的乘积这个等量关系不变，

设经过2019次操作后，最后得到的数为x，则：

x+1＝（1+1）×（+1）×（+1）×（+1）…（+1），

解得：x+1＝2021，

∴x＝2020，

∴经过2019次操作后得到的数是2020．

【点睛】此题主要考查了推理与论证，一元一次方程的解法，关键是正确利用数据找出每次操作前和操作后与剩下的数的规律．

26．小明在国庆节期间和父母外出旅游，他们先从宾馆出发去景点A参观游览，在景点A停留后，又去景点B，再停留后返回宾馆．去时的速度是，回来时的速度是，来回（包括停留时间在内）一共用去，如果回来时的路程比去时多，求去时的路程．

【答案】10km

【分析】设去时的路程为，根据来回一共用去7h列方程求解即可．

【详解】解：设去时的路程为，则回来时的路程就是，去时路上所用的时间为，回来时路上所用的时间为．根据题意，得．

解得．

因此，去时走的路程是．

【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

27．下表中有两种移动电话计费方式．

考虑下列问题：

（1）设一个月内用移动电话主叫为（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．

（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．

【答案】（1）见解析表格；（2）能，当t小于270时，选择方案一省钱；当t=270时，两种方案一样省钱；当t大于270时，选择方案二省钱．

【分析】（1）由上表可知，计费与主叫时间相关，计费时首先要看主叫是否超过限定时间．因此，考虑t的取值时，两个主叫限定时间和与两种费用相等270min不同时间范围的划分点即可．

（2）观察（1）中的表，可以发现：方式一主叫时间超出限定时间，计费会增加，然后两种计费相等，两种方式随着主叫时间的变化，计费也会变化，方式二计费要小于方式一．

【详解】（1）当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表：

（2）观察（1）中的表，可以发现：方式一主叫时间超出限定时间，计费会增加，然后两种计费相等，两种方式随着主叫时间的变化，计费也会变化，方式二计费要小于方式一．下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况．

①当t小于或等于150时，按方式一的计费少；

②当t从150增加到270时，按方式一的计费由58元增加到88元，而按方式二的计费一直是88元．按方式一的计费少；

③如果主叫时间恰是，=88，解得t=270，按两种方式的计费相等，都是88元；

④如果主叫时间大于且小于，＞88，按方式二的计费（88元）；

⑤当时，=108＞88，按方式二的计费少；

⑥当t大于350时，＞，按方式二的计费少．

综合以上的分析，可以发现：

当t小于270时，选择方案一省钱；

当t=270时，两种方案一样省钱；

当t大于270时，选择方案二省钱．

【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，一元一次方程，比较代数式的值的大小，掌握列代数式方法，求代数式的值步骤，比较代数式的值的大小方法，一元一次方程的解法是解题关键．

28．暑假期间德强学校准备粉刷教学楼，粉刷总面积为平方米，甲、乙两个装饰公司承担了该粉刷任务，已知甲装饰公司每名工人每天粉刷的面积比乙装饰公司每名工人每天粉刷的面积多平方米，甲装饰公司名工人一天粉刷的面积等于乙装饰公司名工人一天粉刷的面积．

（1）求乙装饰公司每名工人每天粉刷面积多少平方米．

（2）若乙装饰公司参与粉刷教学楼的工人比甲装饰公司参与粉刷教学楼的工人多人，甲装饰公司每天比乙装饰公司多粉刷，求甲装饰公司有多少人参与粉刷教学楼．

（3）在（2）的条件下，甲、乙两个装饰公司合作粉刷天后，因乙装饰公司另有任务调走了部分工人去外地，同时甲装饰公司调来了台机器人参与粉刷教学楼，此机器人每天粉刷平方米，由于某种原因甲装饰公司工人的工作效率降低了，乙装饰公司未被调走的工人工作效率不变，结果恰好按原计划时间完成粉刷任务，若甲、乙两个装饰公司粉刷费用均为元/平方米，求甲、乙两个装饰公司各自应获得粉刷费用多少元．

【答案】（1）平方米；（2）名工人；（3）甲公司费用应获得粉刷费用为元，乙公司费用应获得粉刷费用为元

【分析】（1）设乙装饰公司每名工人每天粉刷面积平方米，根据题意房间数量列出方程，再解即可；

（2）设甲装饰公司有名工人参与粉刷教学楼，则乙装饰公司有名工人参与粉刷教学楼，根据题意列出方程，再解即可；

（3）分别计算出甲乙公司费用即可．

【详解】解：（1）设乙装饰公司每名工人每天粉刷面积平方米．

由题意得

解得

甲：（平方米）

答：乙装饰公司每名工人每天粉刷面积平方米．

（2）解：设甲装饰公司有名工人参与粉刷教学楼．

由题意得

解得

答：甲装饰公司有名工人参与粉刷教学楼．

（3）解：乙装饰公司最开始参与粉刷教学楼人数：（人）

设乙装饰公司调走人

由题意得

解得

原计划完成时间：（天）

甲公司费用：（元）

乙公司费用：（元）

答：甲公司费用应获得粉刷费用为元，乙公司费用应获得粉刷费用为元．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．