第18讲-三角形-单元综合测试-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

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第18讲-三角形 单元综合测试 1．理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。（以提问的形式回顾）1．如果等腰三角形两边的长分别为8和4，那么它的周长是                ．2．如果等腰三角形两边的长分别为8和5，那么它的周长是             ．3．在ΔABC中，∠A = 50°，∠B比∠C大30°，则∠B的度数是             ．4．如果三角形的一个角等于其他两角的差，这个三角形为             （填形状）．5．如果等腰三角形中有一内角为70°，则它的底角是_________度。6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，那么它的底角是             ．7．等腰三角形的周长为20，那么它的腰长x的取值范围             ，那么它的底边长y的取值范围             ．8．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为             ．9．△ABC中，AB＝7，BC＝4，BC边上的中线长为x，则x的取值范围是________________。10．斜边等于10的等腰直角三角形的面积为__________________。11．如图，将长方形纸片ABCD沿BD对折，重叠部分是△BED，若AB＝4、AD＝6，则△ABE的周长是_______________。12．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝60°，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么∠DAC＝________。          参考答案：1、20；  2、21或18；  3、80°；  4、直角三角形；  5、70°或55°；  6、70°或20°；  7、；  8、4；  9、； 10、25； 11、10；  12、20。（采用教师引导，学生轮流回答的形式）轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是常见的轴对称型全等三角形。例1. 如图，在∠BAC的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。试说明：AF平分∠BAC。解析：联结BC，证明△ABE≌△ACD（SAS），得到∠B=∠C      由AB＝AC得到∠ABC=∠ACB，所以得到∠FBC=∠FCB，即FC=FB      所以△ABF≌△ACF（SAS） 所以∠CAF=∠BAF平移型全等三角形把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△DEF与△ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例2. 如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由．① AB = DE； ② AC = DF； ③∠ABC =∠DEF； ④ BE = CF． 解析：① 、② 、 ④ 作为条件，③作为结论。证明：略 旋转型全等三角形将△ABC绕顶点B旋转一个角度后，到达△DBE的位置，则称△ABC和△DBE为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形（通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等）。例3. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D是BC的中点，且DE⊥DF。试说明DE=DF的理由。解析：联结AD，证明△ADE≌△CDF（ASA） 中心对称型全等三角形把△ABC绕着一个点O旋转180°，得到△DEF，那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（）。如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O，且被点O平分。例4. 如图，AD、EF、BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝FO。试说明：△AEB≌△DFC。解析：证明△AOE≌△DOF（SAS），得到AE=DF，同理证明△BOE≌△COF（SAS），得到BE=CF，△AOB≌△DOC（SAS），得到AB=CD，所以△AEB≌△DFC（SSS）  一、单选题1．（2020·上海金山·七年级期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（       ）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和等腰三角形的定义进行判断即可【详解】解：A、1+2=3，不能组成三角形；B、2+2=4，不能组成三角形；C、2+8=10，不能组成三角形；D、4-3<5<4+3，这三条线段够组成三角形；故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（       ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【解析】【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．【详解】解：∵AO平分∠DAE，∴∠1=∠2，在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（SAS），∴∠D=∠E，OD=OE；在△AOC和△AOB中，，△AOC≌△AOB（SAS）；在△COD和△BOE中，，∴△COD≌△BOE（ASA）；在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）；由上可得，图中全等三角形有4对， 故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．3．（2019·上海·七年级课时练习）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（       ）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去【答案】C【解析】【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．4．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（       ）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等．【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示以为公共边的三角形有8个，分别是，，以为公共边的三角形有0个以为公共边的三角形有1个，为共个故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解．5．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，是绕点逆时针方向旋转60°后所得的图形，点恰好在上，，则∠D的度数是（       ）．A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解析】【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：由旋转的性质得：，是等边三角形，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．6．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（       ）A．三角形的三条高交于一点B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直【答案】D【解析】【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题．【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误；B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B错误；C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误；D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．7．（2021·上海·七年级期中）等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（       ）A．5，6 B．6，4C．7，2 D．以上三种情况都有可能【答案】D【解析】【分析】设腰长为，则底边为，根据三角形三边关系可得到腰长可取的值，从而求得底边的长．【详解】解：设腰长为，则底边为，，，三边长均为整数，可取的值为：5或6或7，当腰长为5时，底边为6；当腰长为6时，底边为4，当腰长为7时，底边为2；综上所述，以上三种情况都有可能．故选：D．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．此题是借用不等式来求等腰三角形的底边的长度．8．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）A．.等腰三角形 B．等边三角形C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．【详解】解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，∴∠ECF＝90°，CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．二、填空题9．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，，，，那么____________°【答案】29【解析】【分析】由平行线的性质可得，∠DFE是的外角，根据外角的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴，       ∵，∴．故答案为：29【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，准确把握各个角之间的关系是解题的关键．10．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转到，连接，并且使，那么旋转角的度数为______°．【答案】110【解析】【分析】根据旋转的性质得旋转角等于∠CBC′，BC＝BC′，接着根据平行线的性质得∠BCC′＝∠CBA＝35°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠CBC′的度数，即旋转角的度数．【详解】由旋转可知：，且为旋转角，∴．∴∴△BCC′为等腰三角形∵，，∴．∴在中，即旋转角的度数为110°．故答案为：110【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是画出几何图形和判断△BCC′为等腰三角形．11．（2021·上海市向东中学七年级期末）如图，在△BDE中，∠E＝90°，，∠ABE＝22°，则∠EDC＝_______.【答案】68°##68度【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠EBD+∠EDB=90°，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】解：∵∠E=90°，∴∠EBD+∠EDB=90°，∵，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠EDC=180°−(∠EBD+∠EDB)−∠ABE=180°−90°−22°=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，已知直线，等边三角形的顶点分别在直线上，如果边与直线的夹角，那么边与直线的夹角______度．【答案】【解析】【分析】根据平行线的性质与等边三角形的性质可得，继而可得，即可求得【详解】解：是等边三角形，，直线，，，，，故答案为：34．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质，证出是解题的关键．13．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边中，点D为边BC上一点，延长AC至点E，使得CE＝BD，联结ED并延长交边AB于点F，联结AD，若，则的度数为________（用含的式子表示）．【答案】【解析】【分析】根据为等边三角形，得到AB＝BC，，过点作，则，则为等边三角形，可证AN＝CD，再证，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解： 过点作，∵为等边三角形，∴AB＝BC，，∵，∴，∴为等边三角形，∴DN＝BD＝BN，，∴，∴BC－BD＝AB－BN，即AN＝CD，在和中，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．本题的关键是做出辅助线构造等边三角形．14．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是______．（填写序号）①，；②，；③，；④，．【答案】①②③【解析】【分析】只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】①当，时，结合，在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有，故①能得到；②当，，结合，在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明，∴，∴，∴，∴，故②能得到；③当，时，结合，可证明，可得，可得，故③能得到；④，时，根据已知条件无法求得，故④不能得到，所以能得到的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．15．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，，，，则______度．【答案】20【解析】【分析】由得到，再利用三角形的外角定理可以求出．【详解】∵，∴，∵∠C＝50°，∴∠EFB＝50°，又∵∠EFB＝∠A＋∠E，而∠A＝30°，∴∠E＝∠EFB－∠A＝50°－30°＝20°，故答案为：20．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到∠E＝∠EFB－∠A是解题关键．三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．16．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知中，AC＝BC，，将绕着点B逆时针旋转，使点C落在AB边上的点D处，点A落在点E处，那么的度数为________度．【答案】30【解析】【分析】由旋转的性质得到，，AB＝EB，，再利用等腰三角形的性质，求得∠CBA与∠DBE的度数，再利用等腰三角形的性质求得∠BAE的度数，进一步得到∠AED的度数．【详解】解：∵由绕点B旋转而得，∴，AB＝EB，，∵，AC＝BC，∴，∴∴，∴AB＝EB，∴∴．故答案为：30．【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．17．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．【答案】700【解析】【分析】当、 、 构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可．【详解】当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边与的差小于第三边，、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大，∵此时， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700．【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．18．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）在△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，点C与点E对应，直线CE交边AB于点F，旋转角为，如果△BCF为等腰三角形，则______．【答案】60°或150°##150°或60°【解析】【分析】由题意知，△BCF为等腰三角形时，分两种情况求解：①，如图1，此时重合，为线段的中点，计算求解即可；②，如图2，根据等边对等角，三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：由题意知，△BCF为等腰三角形时，分两种情况求解：①，如图1，此时重合，为线段的中点，∴②，如图2，∵∴∵∴∴故答案为：或150°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于分情况求解．三、解答题19．（2021·上海徐汇·七年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F．(1)求∠1和∠2的度数．(2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数．(2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解．(1)∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，∴，又∵EF⊥AD，∴，∵EG∥AD，∴．(2)相等．　理由如下：∵EF⊥AD，∴S△ADE=，S梯形EFDG=∵S△ADE= S梯形EFDG∴=∴AD=DF+EG，∵AD=AF+DF，∴DF+EG =AF+DF，即AF=EG．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．20．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边作等边三角形，联结．(1)试说明的理由，(2)如果D是的中点，那么线段与有怎样的位置关系？试说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据，是等边三角形的性质，证明出即可．（2）运用等边三角形的性质求解即可．(1)解：∵，都是等边三角形，∴，，∴在和中，，∴∴(2)解：∵，都是等边三角形，∴，∵点D是边的中点∴∵∴，∴∵是等边三角形，∴【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质与全等三角形的判定．21．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，已知，，，试说明的理由．解：因为（已知），所以（          ）．又因为（已知）．所以________________________（等式性质）所以在和中，，所以（____________）（完成以下说理过程）【答案】等角对等边；【解析】【分析】根据等角对等边可证明AB=AC，根据SAS可证明．【详解】解：因为（已知），所以（等角对等边）又因为（已知）所以（等式性质）所以在和中，，所以故答案为：等角对等边：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．22．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）解答下列各题(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．【答案】(1)(2)①15；②(3)图见解析，理由见解析【解析】【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解；（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解；（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解．(1)解：∵，∴和同底等高，则与的面积相等；(2)解：①∵，且边上的高为5，∴，∵，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴；②∵，，，∴，∵，，∴，，∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴；(3)解： 如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴，∴，∴，∵，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．23．（2021·上海嘉定·七年级期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究；当点、分别在直线、上移动时，，，之间的数量关系．(1)如图①，当点、在边、上，且时，试说明．(2)如图②，当点、在边、上，且时，还成立吗？答：________（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点、分别在边、的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)一定成立(3)，理由见解析【解析】【分析】（1）由PM=PN，∠MPN=60°，可证得△MPN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CP=BP，易证得Rt△BPM≌Rt△CPN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN；（2）在CN的延长线上截取CH=BM，连接PH．可证△PBM≌△PCH，即可得PM=PH，易证得∠CPN=∠MPN=60°，则可证得△MPN≌△HPN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立．（3）在上截取，连接，分别证明和即可得到结论(1)∵PM=PN，∠MPN=60°，∴△MPN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵BP=CP，∠BPC=120°，∴∠PBC=∠PCB=，∴∠MBP=∠NCP=60°+30°=90°∵PM=PN，BP=CP，∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），∴∠BPM=∠CPN=30°，BM=CN，∴PM=2BM，PN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；(2)延长到，使，连接，由（1 ）知，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．故答案为：一定成立．(3)在上截取，连接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．24．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．【答案】（1）；理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理算出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理算出的度数即可；（2）先根据，结合三角形内角和定理，用m表示出和，算出即可．【详解】（1）∵在中，，∴，∵BD平分，CE平分，∴，在中，，故．（2）在中，∵，∴，∵，为的三等分线，，为的三等分线，∴，，∴，，∴，故．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键．25．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知：在四边形ABCD中，，，点E是BC边上的一点，且AE＝DC．(1)求证：．(2)求证：．(3)如果，求证：．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解；【解析】【分析】（1）由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明；（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证（AAS），再证（SAS）；（3）过点A作于H，由等腰三角形和余角的性质证明；(1)解：∵，∴，∵，∴，∴．(2)解：∵，∴，在和中，∴（AAS），∴BC＝DA，AB＝CD，∵AE＝CD，∴AB＝AE，∴，∵，∴，∴．在和中，∴（SAS）．(3)解：过点A作于H，∵AB＝AE，，∴，在中，∵，又，∴∴，∵，∴，∴∠BAE＝2∠ACB．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键．26．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图1，△ABC中，，点O是△ABC内一点，且． (1)试说明：．(2)如图2，延长BO交边AC于点D，当△BCD满足BC=BD时： ①求∠BCD的大小．②将△ABD沿BD翻折到△EBD，边BE交AC于点F，若，，请用含m的代数式表示AD的长．（直接写出结果，不用写说明理由）【答案】(1)说明见解析(2)① 67.5°；②【解析】【分析】（1）根据，，可得，与均为等腰三角形可得；（2）①根据和为等腰三角形，设 ，表示出相应的角，利用三角形内角和为列方程解之即可；②由可得是等腰直角三角形，可以表示出的长度，再过D作构造为等腰直角三角形，进而转化边的关系即可．(1)解：∵，，∴，∴，∴．(2)解：①设，则，∴，∴，∵，∴，在△BCD中，，得，∴．②∵翻折，∴，∴，∴，，∵，，∴，过D作，∴，∵在Rt△ADH中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形以及等腰直角三角形性质．解题关键是学会添加辅助线构造等腰直角三角形，从而转化线段之间的关系．