数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教案

《1.2空间向量基本定理》

教学设计

本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章《空间向量与立体几何》的第二节《空间向量基本定理》、第三节《空间向量及其运算的坐标表示》。以下是本节的课时安排：

空间向量基本定理是平面向量基本定理在空间的推广，都是向量的分解，可以类比学习。

 1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养；

2.掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；

3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。

重点：掌握空间向量基本定理

难点：用空间向量基本定理解决有关问题.

（一）新知导入

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？

（二）空间向量基本定理

知识点1  空间向量基本定理

【思考】观察如图所示的平行六面体，已知＝a，＝b，＝c，请运用空间向量的线性运算知识，用a，b，c表示向量，表示唯一吗？此时这三个向量a，b，c共面吗？

【提示】　＝a＋b＋c，表示是唯一的，这三个向量a，b，c不共面．

◆(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.

(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？

【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．

【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？

【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

【探究3】空间的基底唯一吗？

【提示】不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．

【探究4】为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？

【提示】平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．

【辩一辩】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

(1)空间向量的基底是唯一的.(　　)

(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　)

(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　)

(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　)

答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)√

【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)

A．a　　　　　　　　　　 B．b

C．a＋2b  D．a＋2c

解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．

答案：D

【做一做2】(教材P12练习3改编)如图， 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.

解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.

答案：－a＋b－c

【做一做3】(教材P12例1改编)如图，已知四面体OABC，M、N分别是棱OA、BC的中点，点G是MN的中点，试用向量、、表示.

解：＝(＋)＝＋×(＋)＝＋＋＝(＋＋)．

1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.

2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.

3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.

知识点2  正交分解

【思考】如图，正方体的棱长为3，向量e1、e2、e3分别为棱AB、AD、AD1上的单位向量，{e1，e2，e3}能不能作为空间的一个基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量吗？

【提示】　{e1，e2，e3}能作为空间的一个基底，＝＋＋＝3e1＋3e2＋3e3.　　　

◆　(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

（三）典型例题

1.基底的判断

例1.设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：如图所示，令，，

则，，，，

.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故选C.

答案：C

【类题通法】1.判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．

2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数.

【巩固练习1】下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（    ）

A． B．

C． D．

解析:对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；

对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；

同理选项D中，共面，故D错误.故选C.

答案:C

2.用基底表示向量

例2.　已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（    ）

A． B．

C． D．

解析:连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，

，

，

为的中点，.故选：A.

【类题通法】用基底表示向量的三个步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

【巩固练习2】 已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（    ）

A． B．

C． D．

解析：连接DN，如图所示，

四面体ABCD中，＝，＝，＝，

点M在棱DA上，且＝3，∴，

又N为BC中点，∴；

∴

．故选C.

答案：C

3.空间向量基本定理在几何中的应用

例3.如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

（1）证明：设，，，

根据题意得，且，∴，.

∴，∴，即.

（2）解：∵，∴，，

∵，∴.

∴异面直线与所成角的余弦值为.

【类题通法】利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤：

(1)把几何问题转化为向量问题．

(2)选择空间的某个基底表示未知向量．

(3)证明垂直问题时，需结合数量积公式和运算律证明数量积为0；

求异面直线所成角，利用夹角公式cos  θ＝|cos〈a，b〉|.

(4)将向量问题回归到几何问题．

【巩固练习3】如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示向量；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.

(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，

∴|a＋b＋c|＝，

∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.

（四）操作演练  素养提升

1.O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ）

A．、、共线 B．、共线

C．、共线 D．O、A、B、C四点共面

【答案】D

【解析】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，

所以、、共面，所以O、A、B、C四点共面，故选：D

2.在平行六面体中，，，，E是的中点，用，，表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图示：

，

结合图象得：

.故选A.

3.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】

，，，.故选A.

4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】∵，，

∴

，

又，，

∴

．故选B．

答案：1.D  2.A  3.A  4.B 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第12页  练习     第1，2，3题

         第14页  练习     第1，2，3题

第15 页   习题1.2 第1,2,3,4,5,6,7,8题