第9讲-相交线与平行线综合-【同步优课】2022年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

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第9讲-相交线与平行线综合 掌握平面中两条直线的位置关系掌握平行线和相交线的相关知识点，并能够灵活运用解决实际问题（以提问的形式回顾）这部分可设计抢答，让学生说出角的性质。如图，那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．设、b、c为平面上三条不同直线，a)         若，则a与c的位置关系是_________；b)        若，则a与c的位置关系是_________；c)         若，，则a与c的位置关系是________． 1.    6cm    8cm   10cm   4.8cm.　2.    平行　平行　垂直　 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 下列说法正确的是（   ）A、两条直线相交所构成的四个角中，如果有两个角相等，则这两条直线垂直B、两条直线相交成直角，那么这两条直线垂直C、垂直是两条直线在同一平面内的第三种位置关系D、点到直线的距离是点到直线的垂线的长度点拨：选项A中，两个角相等不能判断两直线垂直，∴A是错误的选项C中，垂直是两直线相交的特殊情况∴C是错误的选项D中，距离是垂线段的长度∴D是错误的∴选B 例2. 下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（　  ）答案：①②③ 试一试：如图，图中∠1与∠2是同位角的是(     )               ⑴                   ⑵                    ⑶                 ⑷   （A）⑵ ⑶         （B）⑵ ⑶ ⑷           （C）⑴ ⑵ ⑷         （D）⑶ ⑷答案：B例3. 已知：如图，D是BC上的一点．DE∥AC，DF∥AB．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：∵DE∥AC，∴∠=∠，∠+∠=180°∵DF∥AB∴∠=∠，∠+∠=180°∴∠=∠∵∠+∠+∠=180°∴∠A＋∠B＋∠C＝180°   1．如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（　　）A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5【来源】上海市宝山区罗南中学2020-2021学年七年级下学期期中考试 数学试卷【答案】B【分析】根据平行线的判定逐项判断即可得．【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；B、，不一定能判定，此项符合题意；C、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；D、，根据内错角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．2．如图，一定能推出的条件是（       ）A． B． C． D．【来源】2020-2021学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷【答案】D【分析】平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判定即可.【详解】解：A．和是直线和被直线所截所成的内错角，不能推出，故本选项不符合题意；B．和是直线和被直线所截所成的内错角，不能推出，故本选项不符合题意；C．和是直线和被直线所截所成的内错角，但不能判定，不能判定，和是直线和被直线所截所成的同位角，但不能判定，不能判定，不能推出，故本选项不符合题意；D．和是直线和被直线所截所成的同位角，能推出，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．3．如图，点在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（   ）A． B．C． D．【来源】上海市金山区2017-2018学年七年级下学期期中数学试题【答案】C【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可：A.同旁内角互补，两直线平行；B、C内错角相等，两直线平行；D.同位角相等，两直线平行，再根据结果是否能判断，即可得到答案．【详解】解：A. ,,此项正确，不合题意；B. ，,此项正确，不合题意；C. ∵∠2=∠4，∴CD∥AB，∴不能判定，此项错误，符合题意；       D. ，,此项正确，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（　　）A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第二教育署七年级下学期期中数学试卷【答案】D【分析】由题意直接根据∠A的两边分别垂直于∠B的两边画出符合条件的图形进行判断即可.【详解】解：BD⊥AD，CE⊥AB，如图：∵∠A＝90°﹣∠ABD＝∠DBC，∴∠A与∠DBC两边分别垂直，它们相等，而∠DBE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣∠A，∴∠A与∠DBE两边分别垂直，它们互补，故选：D．【点睛】本题考查垂线及角的关系，解题关键是根据已知画出符合条件的图形．5．如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______．①；②；③；④．【来源】2020-2021学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷【答案】①③④【分析】根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③．【详解】解：四边形是长方形，，，，，①正确；，，由折叠得，，，，，，④正确；，，，，②错误；，，③正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．6．如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是___．【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第二教育署七年级下学期期中数学试卷【答案】6【分析】根据题意利用平行线间距离即所有垂线段的长度相等，可以求得S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，利用面积相等把S△DEF转化为已知△ABC的面积，即可求解．【详解】解：∵BF∥AD∥CE，∴S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，∴S△AEF=S△CEF-S△ACE=S△BCE-S△ACE=S△ABC，S△DEF=S△ADF+S△ADE+S△AEF=S△ABD+S△ACD+S△ABC=S△ABC+S△ABC=2S△ABC=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查平行线的推论，注意掌握平行线间距离即所有垂线段的长度相等并利用三角形面积相等，把S△DEF转化为已知△ABC的面积．7．如图，如果AD∥BC，下列结论正确的是___．（将正确的编号填写在横线上）①∠B＝∠D；②∠DAC＝∠ACB；③∠BAC＝∠ACD；④∠B+∠DCB＝180°．【来源】2020-2021学年上海市松江区七年级（下）期中数学试卷【答案】②【分析】根据AD∥BC，利用平行线的性质逐一推理即可找出答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），故②正确，①、③、④由AD∥BC无法求证，故①、③、④错误，故答案为：②．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线形成角的关系是解题关键．8．如图，已知直线a、b被直线l所截，a∥b，且∠1＝（3x+16）°，∠2＝（2x﹣11）°，那么∠1＝___度．【来源】2020-2021学年上海市松江区七年级（下）期中数学试卷【答案】121【分析】根据两直线平行同旁内角互补列方程求解．【详解】解：∵a//b，∴∠1+∠2＝180°， （3x+16）+（2x﹣11）=180，解得x=35，∴∠1＝(3×35+16)°=121°，故答案为：121．【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求出x是解答本题的关键．9．如图，平分，，，则__．【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第四教育署七年级（下）期中数学试卷【答案】##BC//DE【分析】由平分，可得，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．【详解】解：平分，，∴=2=110°，，∴∠C+∠CDE=70°+110°=180°，．故答案为：．【点睛】本题考查了角的平分线的性质，平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定方法是解题关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图并回答问题．(1)过点C画直线lAB；(2)过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F；(3)线段　　的长度是点A到BC的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）【来源】上海市奉贤区五校联考2020-2021学年下学期七年级期末数学试卷  【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）根据点到直线的距离的定义求解．(1)如图，直线l为所作；(2)如图，AD、AE为所作；(3)线段AD的长度为点A到BC的距离．故答案为：AD．【点睛】此题考查了点到直线的距离，用直尺、三角板画平行线，作图—复杂作图．正确掌握各作图方法是解题的关键。11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOE（                  ）即∠1+∠2又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=______度∴∠2=______度（等式性质）∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）∴∠2=∠AOC（                      ）∵∠2=_______度（已证）∴∠AOC=_________度（               ）【来源】上海市北海中学2018-2019学年七年级下学期第一次质量监控数学试题【答案】见解析【分析】根据垂直的定义以及∠1和∠2的关系得到各自的度数，再根据对顶角相等得到结果．【详解】解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOE（垂直的定义）即∠1+∠2又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=30度∴∠2=60度（等式性质）∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）∴∠2=∠AOC（对顶角相等）∵∠2=60度（已证）∴∠AOC=60度（等式性质）【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，解题的关键是得到∠2的度数．12．如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且DE∥BF，那么AB与DC平行吗？为什么？【来源】上海市宝山区罗南中学2020-2021学年七年级下学期期中考试 数学试卷【答案】AB∥DC，理由见解析.【分析】根据平行线的性质推出∠DEA＝∠FBA，再根据角平分线性质推出∠CDE＝∠FBA，等量代换得到∠CDE＝∠DEA，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：AB∥DC，理由如下：∵DE∥BF，∴∠DEA＝∠FBA，∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，∴∠CDE＝∠CDA＝∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，∴AB∥DC．【点睛】本题主要考查对平行线的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解此题的关键．13．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）．【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第四教育署七年级（下）期中数学试卷【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，则；（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．【详解】解：（1）如图1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如图，当为钝角时，由（1）中结论可知，，；当为锐角时，如图，由（1）中结论可知，，即，综上，或．故答案为：70或290．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．    1．如图，不能推断的是（       ）A．∠1=∠5 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4+∠5 D．【来源】 上海市浦东新区民办浦东交中初级中学2020-2021学年七年级上学期数学期末试卷 -  【答案】B【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．【详解】A．∠1=∠5可根据内错角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；B．∠2=∠4可根据内错角相等两直线平行得AB∥DC，不能得到AD∥BC，故此选项符合题意；C．∠3=∠4+∠5可根据同位角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；D．∠B+∠1+∠2=180°可根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；故选B．【点睛】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．2．如图所示，能说明AB∥DE的有（　　）①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【来源】上海市浦东新区上南中学南校、傅雷中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题【答案】C【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线，根据以上知识逐条分析．【详解】解：①∵∠1＝∠D，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；②∵∠CFB＝∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D＝180°，∴∠AFD+∠D＝180°，∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；④∵∠BFD＝∠D，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；所以①②④都能说明AB∥DE．故选C．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．3．下列说法中不正确的是（　　）A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离【来源】2020-2021学年上海市松江区七年级（下）期中数学试卷【答案】B【分析】根据点到直线的距离、垂直的性质及平行线的判定等知识即可判断．【详解】A、平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故说法正确；B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此说法正确；D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，这是点到直线的距离的定义，故此说法正确．故选：B【点睛】本题主要考查了垂直的性质、点到直线的距离、平行线的判定等知识，理解这些知识是关键．但要注意：平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；这两个性质的前提是平面内，否则不成立．4．已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【来源】上海市培佳双语学校2018-2019学年七年级下学期第一次月考数学试题【答案】B【分析】利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．【详解】∵∴与的高相等∵∴设的面积为，则，∴解得∴故选B．【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．5．如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___对．【来源】上海市普陀区培佳双语学校2020-2021学年七年级（下）期中数学试卷（原卷 解析）【答案】3【分析】根据平行线的性质可得到两对同底同高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，故面积相等的三角形有三对．【详解】解：根据平行线的性质知，△ADC与△DAB，△ABC与DCB都是同底等高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，所以面积相等的三角形有三对，故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线间的距离，三角形的面积的公式，熟记平行线间的距离处处相等是解题的关键．6．如图，若∠1+∠2＝180°，∠3＝70°，则∠4＝_______．【来源】上海市宝山区罗南中学2020-2021学年七年级下学期期中考试 数学试卷【答案】【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据邻补角的定义即可得．【详解】解：如图，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．7．如图，若EF∥GH，则图中标记的∠1、∠2、∠3、∠4中一定相等的是________．【来源】上海市宝山区罗南中学2020-2021学年七年级下学期期中考试 数学试卷【答案】【分析】如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．8．如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，则∠CBF＝______度．【来源】 上海市浦东新区民办浦东交中初级中学2020-2021学年七年级上学期数学期末试卷 -  【答案】125【分析】首先根据垂直定义可得∠ACD＝90°，再根据余角的定义可得∠ACH的度数，然后再根据平行线的性质可得∠FBC+∠ACH＝180°，进而可得答案．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵∠DCH＝35°，∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，∵EF∥GH，∴∠FBC+∠ACH＝180°，∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，故答案为：125．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．9．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是______．【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第二教育署七年级下学期期中数学试卷【答案】60°##60度【分析】设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，由题意知∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，由AD∥CE可得AD∥FN∥BM∥CE，有∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°由于∠F的余角等于2∠B的补角，可知90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），进行求解可得x的值，进而可求出∠BAH的值．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD∵AD∥CE∴AD∥FN∥BM∥CE∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°∵∠AFC的余角等于2∠ABC的补角∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）解得：x＝30∴∠BAH＝60°故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，余角、补角等知识．解题的关键在于正确的表示角度之间的数量关系．10．如图，已知于点，于点，，试说明．解：因为（已知），所以（           ）．同理．所以（           ）．即．因为（已知），所以（           ）．所以（           ）．【来源】2020-2021学年上海市普陀区七年级（下）期中数学试卷【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：因为（已知），所以（垂直的定义），同理．所以（等量代换），即．因为（已知），所以（等式的性质，所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．11．如图：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，则∠A＝∠F吗？请说明理由．【来源】2020-2021学年上海市浦东新区第二教育署七年级下学期期中数学试卷【答案】∠A＝∠F，理由见解析【分析】∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC，∠1+∠AGC＝180°，BD∥CE，有∠C＝∠ABD＝∠D，得DF∥AC，进而可说明∠A＝∠F．【详解】解：∠A＝∠F，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC∴∠1+∠AGC＝180°∴BD∥CE∴∠C＝∠ABD∵∠C＝∠D∴∠D＝∠ABD∴DF∥AC∴∠A＝∠F．【点睛】本题考查了对顶角，平行线的判定与性质．解题的关键在利用角的数量关系证明直线平行．12．已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．（1）当时，求；（2）当时，求；（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．【来源】上海市培佳双语学校2018-2019学年七年级下学期第一次月考数学试题【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由同旁内角互补易得AD∥BC，然后可得∠APE=∠PEC=70°，再由PQ⊥PE可得∠APE+∠DPQ=90°即可求解；（2）由（1）可得∠APE=∠PEC，∠APE+∠DPQ=90°，再由角的比例关系可求解；（3）由对折的性质结合已知角度求出∠DPQ，再由互余关系求∠PEC．【详解】解：（1）∵∠D=∠C=90°∴∠D+∠C=180°∴AD∥BC∴∠APE=∠PEC=70°又∵PQ⊥PE∴∠EPQ=90°∴∠APE+∠DPQ=90°∴∠DPQ=（2）由（1）可知∠APE=∠PEC，∠APE+∠DPQ=90°，∵∴4∠DPQ+∠DPQ=90°∴∠DPQ=18°∴∠APE=∠PEC=4∠DPQ=72°（3）由折叠的性质可得∠D'=∠D=90°，∠DPQ=∠D'PQ∴∠QD'C+∠PD'E=90°∵∠QD'C=40°∴∠PD'E=50°由（1）可知AD∥BC，∠APE+∠DPQ=90°，∠APE=∠PEC∴∠DPD'=∠PD'E=50°∴∠DPQ=∠DPD'=25°∴∠PEC=∠APE=【点睛】本题考查平行线的判定与性质，以及折叠的性质，由平行线和折叠的性质对角进行灵活的转换是解题的关键．13．如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：过点P作PE//AB，因为AB//CD，PE//AB，所以PE//CD（　              　）．因为PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（　              　）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论．【来源】上海市宝山区罗南中学2020-2021学年七年级下学期期中考试 数学试卷【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)360°，理由见解析；(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析．【分析】（1）根据平行线的性质解题；（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题．(1)解：因为AB//CD，PE//AB，所以PE//CD(平行的传递性)因为PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，见解析：过点P作PE//AB，所以∠APE+∠PAB=180°，因为PE//CD，所以∠EPC+∠PCD=180°，所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下，当点P在第②区域时，如图，过点P作PE//AB，所以∠APE=∠PAB，因为PE//CD，所以∠PCD=∠CPE因为∠CPE=∠APE+∠APC所以∠PCD =∠PAB+∠APC．【点睛】本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．