专题4.4 一元一次不等式的应用【知识讲解+专项练习】（含解析）-【 课堂】2021-2022学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

专题4.4 一元一次不等式的应用（知识讲解）

【学习目标】

1．会在实际问题中寻找数量关系；

2．会列一元一次不等式解决实际问题．

【知识梳理】

1.列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？

解：找相等关系、设未知数、列方程、解方程、检验、作答．

2.一元一次不等式解决实际问题的步骤为：

实际问题→设未知数→找出不等关系→列不等式→解不等式→结合实际确定答案．

3.归纳关键词对应的不等号：“至少”——“≥”；

“至多”——“≤”； “不低于”、“不少于”——“≥”；“不高于”、“不大于”——“≤”；

 “超过”——“>”；…

注意：(1)抓住题目中表示不等关系的关键词，正确分析得出不等关系；

(2)设未知数时，“至少”、“至多”这样的词不要写．

【典型例题】

【类型一】商品销售问题

【例1】某校团委组织七年级和八年级共名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润元，八年级学生每人义卖平均获得净利润元．为了保证义卖获得净利润总钱数不少于元，至少需要多少名八年级学生参加活动？

解：设需要名八年级学生参加活动，根据题意得

    解得 ，

答：至少需要名八年级学生参加活动.

【跟踪训练1】某商品进价是元，标价是元，商店要求利润不低于，需按标价打折出售，最多可以打        

A.折 B.折 C.折 D.折

【答案】D

【解析】设商店可以打折出售此商品，

根据题意可得：，  解得：.

【跟踪训练2】一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，商家把售价至少定为________元，才能避免亏本．

【答案】

【解析】设商家把售价应该定为每千克元，

根据题意得：，  解得，，

故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．

【跟踪训练3】某冷饮店用元购进两种水果，并将所购进的水果全部混合制成杯果汁，要使售完后所获利润不低于购进价的，则每杯果汁的售价至少为多少元？【提示：利润进价×利润率】

解：设每杯果汁的售价为元．

根据题意，得 .   解得 .

答：每杯果汁的售价至少为元．

【类型二】 竞赛积分问题

【例2】学校举行环保知识竞赛，共有个问题，答对一题得分，不答或答错一题扣分，如果王林希望自己的得分不低于分，那么他至少应答对多少题？

解：设王林答对了道题，则不答或答错道题．

依题意，得.    解得 .

∵   为正整数， 的最小值为

答：王林至少应答对题．

【跟踪训练1】某次知识竞赛共有道选择题，答对一题得分；答错或不答，每题扣分．要使总得分不少于分．若设答对道题，可得式子为       

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】根据得分-扣分不少于分，可得出不等式.

【跟踪训练2】为了迎接建党一百周年，某校开展了中国共产党党史知识竞赛，共道题，每一题答对得分，答错或不答扣分． 李明要想超过分，至少要答对________道题．

【答案】

【解析】解：设李明答对道题，则答错或不答道题．

由题意，得，   解得，

∵   为整数，   ∴   最小为．

∴   他要想超过分，至少要答对道题．

【类型三】 安全问题

【例3】某工地要实施爆破，导火线的燃烧速度是，引爆人在点燃导火线后要跑到以外的安全区域．如果引爆人跑步的速度是，那么导火线的长度应大于多少？

解：设导火线的长度应为．0.   ，

由题意得    解得 .

答：导火线的长度应大于．

【跟踪训练1】爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是米（人员要撤到米及以外的地方）．已知人员撤离速度是米/秒，导火索燃烧速度是厘米/秒，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（       ）

A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米

【答案】D

【解析】设这次爆破的导火索为厘米才能确保安全．根据安全距离是米（人员要撤到米及以外的地方），可列不等式：   解得：

【跟踪训练2】某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为米/秒，甲工人步行的速度为米/秒，骑车的速度为米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于________米．

【答案】

【解析】设导火线的长度为，工人转移需要的时间为：，

【类型四】分段计费问题

【例4】某移动通讯公司开设两种业务．

“全球通”：先缴元月租费，然后每通话跳次，再付元．

“神州行”：不缴纳月租费，每通话分钟，付话费元（本题的通话均指市通话）．

若设一个月内通话跳次，两种方式的费用分别为和元．

（跳次：为跳次，不足按跳次计算，如为跳次） 

（1）写出、与之间的函数关系式；

（2）一个月内通话多少跳次，两种费用相同？一个月内通话为多少跳次时，一种费用大于另一种费用？

（3）某人估计一个月内通话跳次，选择哪一种合算？

【解析】（1）“全球通”，“神州行”的收费标准列出代数式即可．

（2）分别列出方程，不等式即可解决问题．（3）根据（2）的结论判断即可．

【解答】解：（1）．

．

（2）当，解得，

∴   个月内通话跳次，两种费用相同．

当时，，

∴   一个月内通话小于跳次时，“神州行”费用大于“全球通费用，

当时，，“全球通费用大于“神州行”费用．

（3）某人估计一个月内通话跳次，选择“神州行”比较便宜．

【跟踪训练】为鼓励市民节约用水，某自来水公司规定：若每户用水不超过，收费标准为元，若每用户用水量超过，则超出部分的收费标准是元，若小颖家每月水费都不超过元，求小颖家每月用水量最多是多少．

【解析】设小颖家每月用水量为，根据每月的水费超出的部分结合小颖家每月水费都不超过元，即可得出关于的

一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：设小颖家每月用水量为 ，

依题意，得 ．解得 .

答：小颖家每月用水量最多是 .

【类型五】 调配问题

【例5】湖口县金沙湾九江钢铁厂，在去年取得亿元利润的优异成绩下，今年决定再招聘甲乙两个工种的工人共人，甲、乙两个工种的工人工资分别为每月元和元，现要求乙种工人的人数不少于甲种工人人数的倍，那么招聘甲种工人多少人时，可使每月所付工资最少？

【解析】设招聘甲种工人人，则乙种工人为人，根据乙种工人的人数不少于甲种工人人数的倍，可得不等式．

【解答】解：设招聘甲种工人人，则乙种工人为人，

依题意得，   解得：，

∵   甲、乙两个工种的工人工资分别为每月元和元，

∴   应尽可能多的招聘甲种工人．

故应招聘甲种工人人．

【跟踪训练】某机械厂甲、乙两个生产车间承担生产同一种零件的任务，甲、乙两车间共有人，甲车间平均每人每天生产零件个，乙车间平均每人每天生产零件个，甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为个． 

求甲、乙两车间各有多少人？

该机械厂改进了生产技术，在甲、乙两车间总人数不变的情况下，从甲车间调出一部分人到乙车间．调整后甲车间平均每人每天生产零件个，乙车间平均每人每天生产零件个，若甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和不少于个，求从甲车间最多调出多少人到乙车间．

【解析】（1）设甲、乙两车间各有、人，根据甲、乙两车间共有人和甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为个列方程组成方程组解决问题；

（2）设从甲车间调出人到乙车间，表示出两个车间的人数，根据生产零件总数之和不少于个，列出不等式求得即可．

【解答】解：设甲车间有人，乙车间有人，由题意得，

.     解得：

答：甲车间有人，乙车间有人．

设从甲车间调出人到乙车间，

则甲车间有人，乙车间有人，

，

解得：．

(2) 答：从甲车间最多调出人到乙车间.

【类型六】 方案决策问题

【例6】为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．

(1)请你设计该企业有几种购买方案；

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案．

【解析】(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；

(2)如图列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

解：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．

12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5.

∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.

有三种购买方案：购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台．

(2)240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，

所以x为1或2.

当x＝1时，购买资金为：12×1＋10×9＝102(万元)；

当x＝2时，购买资金为：12×2＋10×8＝104(万元)．

答：为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．