专题3.1 平方根【知识讲解+专项练习】（含解析）-【 课堂】2021-2022学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

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【学习目标】
1．了解平方根和算术平方根的概念及性质．
2．理解开方与乘方两者之间的联系与区别．
3．会求一个非负数的平方根与算术平方根，弄清两者的区别．
4.知道无理数是客观存在的，理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数
【知识梳理】
1.平方根及算术平方根的概念：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根．一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与－r．我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作eq \r(a)，读作根号a；a的负平方根记作－eq \r(a)，读作负根号a．例如，9的平方根是3与－3，即±eq \r(9)＝±3．
2．平方根的性质：
(1)0的平方根就是0本身，记作eq \r(0)，即eq \r(0)＝0；
(2)任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根．
3．开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方．
4．我们把无限不循环小数叫作无理数．
注意：判断一个数是不是无理数，要看是否满足三个条件：(1)是小数；(2)无限；(3)不循环．
【典型例题】
【类型一】平方根的概念及性质
【例2】下列说法正确的是（ ）
A.25的平方根是5 B.2的平方根是±2 C.1000的平方根是±10 D.64=±8
【答案】C
【解析】根据平方根、立方根的意义逐一排除得到结论．
【变式训练1】下列说法正确的是( )
A.1的平方根是1B.1的算术平方根是1
C.-2是2的平方根D.-1的平方根是-1
【答案】B
【解析】根据平方根和算数平方根定义及性质对选项进行——判断即可得出正确答案
【变式训练2】-812的算术平方根是________，5-2绝对值是________．
【答案】9,5-2
【解析】要求3-812的算术平方根，就是求81的算术平方根；再根据立方根的定义及实数的绝对值的计算方法，可解答此题．
【类型二】利用平方根的意义求字母的值
【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
【解析】∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，∴2a－2＋a－4＝0，
解得a＝2. 故答案为2.
【变式训练1】已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个正数为( )
A.16B.4C.-7D.49
【答案】D
【解析】∵ 一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，
∴ a+3+2a-15=0，解得：a=4，
a+3=7，则这个正数为49.
【变式训练2】一个正数的平方根分别是2m+1和m-4，则这个正数是________.
【答案】9
【解析】由题意得2m+1+m-4=0，解得m=1，所以原数是2m+12=2×1+12=9
【变式训练3】已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a-18.
(1)求a的值； (2)求这个数m．
解：（1）∵ 数m的两个不相等的平方根为a+2和3a-18，
∴ a+2+3a-18=0 ，∴ 4a=16，解得a=4 .
(2)a+2=4+2=6,3a-18=3×4-18=-6，
∴ m=±62=36，∴ m的值是36.
【类型三】算术平方根的非负性
【例3】已知a、b满足|a－2|＋eq \r(b－3)＝0，求ab的值．
【解析】由绝对值的意义知：|a－2|≥0；由算术平方根的意义知：eq \r(b－3)≥0，所以a－2＝0，b－3＝0.于是可以求得a、b的值，再代入ab计算即可．
解：因为|a－2|＋eq \r(b－3)＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2＝0,b－3＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3.))所以ab＝23＝8.
【变式训练1】已知|x+2y+3|+x-y-3=0，则x+y2021等于（ ）
A.-1B.1C.2021D.-2021
【答案】A
【解析】∵实数x，y，满足|x+2y+3|+x-y-3=0，
且|x+2y+3|≥0，x-y-3≥0，
∴|x+2y+3|=0，x-y-3=0， ∴ x+2y+3=0,x-y-3=0.
解方程组得：x=1，y=-2，
∴(x+y)2021=(1-2)2021=(-1)2021=-1.
【变式训练2】若x，y满足|x+3|+y-3=0 ，则|xy|2019 的值为________.
【答案】1
【类型四】计算
【例4】计算：(1)|-2|+-32-4
(2)6×16-6+|3-2|+|3-2|
（1）解：原式=2+9-2=9；
（2）解：原式=6×16-62+3-2+2-3
=1-6-2+2=-3-2.
【类型五】无理数的识别
【例6】在下列实数中：eq \f(15,7)，3.14，0，eq \r(9)，π，eq \r(5)，0.1010010001…无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，eq \r(5)，0.1010010001…
.故选C.
【变式训练1】在实数-π2，13，4,7,39，中，无理数个数（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【变式训练1】在π2 ，3,，4，-1.010010001⋯， 227 ，这5个实数中，无理数有________个．
【答案】3
【类型六】估计无理数的大小
【例7】设n为正整数，且n＜eq \r(65)＜n＋1，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵eq \r(64)＜eq \r(65)＜eq \r(81)，∴8＜eq \r(65)＜9，∵n＜eq \r(65)＜n＋1，∴n＝8，故选D.