专题1.5.2 分式方程的应用【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

专题1.5.2 分式方程的应用（知识讲解）

【学习目标】

1．学会分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决实际问题．

2．能结合实际问题的情境对分式方程的解进行检验．

3．在探究分式方程的应用的过程中，体会建立分式方程模型的方法．

【典型例题】

【知识点一】列分式方程解和差倍分问题应用题

例1.某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？

解析：解和差倍分问题应用题时，要注意题目中的关键词：“比……多”“比……少”“倍”“共”等等，这些关键词所表示的量可以用另一个量来表示，也可以作为等量关系列方程，此题设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1＋20%)x米，再根据一共用了27天这个等量关系列出方程，得出解后注意检验是否符合题意．

解：设原计划每天铺设管道x米，根据题意得：

＋＝27，

解得x＝10.

检验：把x＝10代入(1＋20%)x中，它的值不等于0，因此x＝10是原方程的解，且符合题意．

答：原计划每天铺设管道10米．

方法总结：在列分式方程解决实际问题时，我们一是要注意审题，找到题目中的等量关系；二是设未知数时，注意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据实际问题灵活选择设未知数的方法．验根应从两个方面出发：一是方程的本身，二是实际问题．根既要使方程的本身有意义，又要符合实际意义．

【对应训练】为了支援帮扶结对学校的建设，某学校号召同学们捐出自己的零花钱帮助结对学校的同学们购买图书．已知该校中学部的捐款总额为元，小学部的捐款总额为元，中学部和小学部的人均捐款额相等，但小学部的捐款人数比中学部的捐款总数多人．求该校小学部参与捐款的人数．

解：设小学部捐款人数为人，则中学部捐款人数为人，

根据题意，得，

解这个方程，得，

经检验，是所列方程的根．

答：该校小学部捐款人数为人．

【知识点二】列分式方程解行程问题应用题

例2.某地供电局组织电工抢修线路，供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．

解析：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程都是15千米，时间分别表示为：，.等量关系为：抢修车的时间－吉普车的时间＝.

解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时．

由题意得：－＝.

解得x＝20.

检验：把x＝20代入60x中，它的值不等于0，因此x＝20是原方程的解，且符合题意．

∴当x＝20时，1.5x＝30.

答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．

方法总结：行程问题的基本关系是：路程＝速度×时间．

【对应训练】震林中学小记者去离学校的炎帝陵采风，一部分学生乘慢车先行小时后，另一部分学生乘快客前往，结果他们同时到达目的地.已知快客的行速是慢车行速的倍，求慢车的行速？

【解析】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间-快车所用时间小时．

【解答】解：设慢车的速度为千米/小时，

则快车的速度是千米/小时，

依题意得：

，

解得：．

经检验是原方程的解且符合题意．

故慢车的速度是千米/小时．

【点评】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

【知识点三】分式方程的应用——工程问题

例3.江苏南沿江城际铁路，是江苏境内正在建设的一条铁路线路．设计时速公里，起于南京南站，经南京市、句容市、常州市、江阴市、张家港市、常熟市、太仓市，引入太仓站后利用沪通铁路进入上海枢纽，是沪宁通道的第二条城际铁路（如图）．在修筑某长度为米的标地时，中铁四局工程队在修筑了米后，引进了新设备，效率比原来提高了，结果共用天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？

解：设引进新设备之前，工程队每天改造米．

根据题意得，

解之得，

经检验：是原方程的解且符合题意．

答：引进新设备之前，工程队每天改造米．

【对应训练】为落实“精准扶贫惠民政策”，县政府计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．则这项工程的规定时间是多少天？（要求列分式方程解答）

解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要

天完工，依题意，得：

，解得： ，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：这项工程的规定时间是天．

【知识点四】分式方程的应用——商品购买问题

例4.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支铅笔的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支，求第一次每支铅笔的进价．

解：设第一次每支铅笔的进价为x元，由题意得－＝30，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意．答：第一次每支铅笔的进价为4元．

归纳：列分式方程解应用题的一般步骤：(1)分析题意，找等量关系；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验(双检验)、作答．

【对应训练】某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的倍，购买元甲商品的数量比购买元乙商品的数量多件，求两种商品单价各为多少元？

【解析】设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，根据购买元甲商品的数量比购买元乙商品的数量多件列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，

根据题意，得，

解这个方程，得，

经检验，是原分式方程的解，

（元），

则甲商品单价元，乙商品单价元.

【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中的等量关系“购买元甲商品的数量比购买元乙商品的数量多件”是解本题的关键．