初中数学华师大版九年级下册第26章 二次函数综合与测试综合训练题

第26章 二次函数 达标测试卷

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)

1．下列函数关系式中，是二次函数的是(　　)

A．y＝x3－2x2－1   B．y＝x2

C．y＝－3   D．y＝x＋1

2．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(　　)

A．－2   B．2   C．－1   D．1

3．将函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向下平移2个单位，以下说法错误的是(　　)

A．开口方向不变    B．对称轴不变

C．y随x的变化情况不变   D．与y轴的交点不变

4．抛物线y＝x2－4x＋1与y轴交点的坐标是(　　)

A．(0，1)   B．(1，0)   C．(0，－3)   D．(0，2)

5．已知二次函数y＝x2＋2x＋4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是(　　)

A．x＞－1   B．x＜－1 

C．x＞1   D．x＜1

6．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)

7．在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)，如图．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为(　　)

A.   B.   C.   D.

8．如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x，当y1<y2时，x的取值范围是(　　)

A．0<x<2   B．x<0或x>2

C．x<0或x>4   D．0<x<4

(第7题)          (第8题)　　　　 (第9题)

9．已知抛物线y＝x2－x＋2与直线y＝x－2如图所示，点P是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为(　　)

A.   B.   C．2   D.

10．若a，b(a<b)是关于x的方程(x－m)(x－n)＋1＝0(m<n)的两个实数根，则a，b，m，n的大小关系是(　　)

A．a<b<m<n   B．m<n<a<b

C．a<m<n<b   D．m<a<b<n

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11．若抛物线的顶点坐标为(0，3)，开口向下，则符合条件的抛物线对应的函数表达式为__________．(写1个即可)

12．当x＝－2时，函数y＝x2－2x－6的值为________．

13．如图是抛物线y＝－(x－1)2＋2，若－1<x<2，则y的取值范围是______________．

(第13题)　　　　 (第14题)

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC向点C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．

15. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落地点与点O在同一水平面上．安装师傅调试时发现，喷头高2.5 m时，水柱落地点距点O2.5 m；喷头高4 m时，水柱落地点距点O 3 m．那么喷头高________m时，水柱落地点距点O 4 m.

(第15题)

16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：

①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；

②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.

其中正确的是__________(填写序号)．

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17．(10分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.

(1)求a的值；

(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

(第17题)

18．(10分)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a>0)上．

(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若m<0，n>0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

19．(12分)2022年北京冬奥会的召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－x2＋x＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4 m处的点A滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－x2＋bx＋c运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4 m时，离水平线的高度为8 m，求抛物线C2的表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1 m?

(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3 m时，求b的取值范围．

(第19题)

20．(12分)某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg，每盒还需其他成本9元，市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

(1)求每盒产品的成本(成本＝原料费＋其他成本)；

(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；

(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润．

21．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，连结AE、EC、CH、AH.

(1)抛物线的表达式为________________；

(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标．

(第21题)

22．(14分)抛物线y＝ax2＋b经过点A(4，0)，B(0，－4)，直线EC经过点E(4，－1)，C(0，－3)，点P是抛物线上点A，B间的动点(不含点A，B)，过点P作PD⊥x轴于点D，连结PC，PE.

(1)求抛物线与直线CE的表达式；

(2)求证：PC＋PD为定值；

(3)若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．

答案

一、1.B　2.B　3.D　4.A　5.B　6.C　7.A　8.B　9.D  10．D

二、11.y＝－x2＋3(答案不唯一)

12．2　13.－2＜y≤2

14．3　15.8　16.①②④

三、17.解：(1)根据题意，得＝2，所以a＝3.

(2)y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3，

设平移后图象所对应的二次函数的表达式为

y＝x2－4x＋3－b，

把(0，0)代入，得b＝3.

所以平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝x2－4x.

18．解：(1)因为m＝3，n＝15，

所以点(1，3)，(3，15)在抛物线上．

将(1，3)，(3，15)代入y＝ax2＋bx，得

解得

所以y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

所以对称轴为直线x＝－1.

(2)y2<y1<y3.理由如下：

因为点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在抛物线上，

所以y1＝a－b，y2＝4a＋2b，y3＝16a＋4b.

因为m<0，n>0，

所以a＋b<0，9a＋3b>0.

所以y1－y2＝a－b－(4a＋2b)＝－3a－3b＝－3(a＋b)>0，y1－y3＝a－b－(16a＋4b)＝－15a－5b＝－(9a＋3b)<0，

所以y1>y2，y1<y3，所以y2<y1<y3.

19．解：(1)将(0，4)，(4，8)代入抛物线C2的表达式，得解得

所以抛物线C2的表达式为y＝－x2＋x＋4.

(2)设当运动员运动的水平距离为t m时，运动员与小山坡的竖直距离为1 m，则

－＝1，

解得t1＝12，t2＝－4(舍去)．

所以当运动员运动的水平距离为12 m时，运动员与小山坡的竖直距离为1 m.

(3)y＝－x2＋x＋1＝－(x－7)2＋，

故抛物线C1的顶点坐标是.

由题意可得－×72＋7×b＋4>3＋，解得b>.

20．解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元．

依题意，得－＝100，解得m＝3，

经检验，m＝3是原方程的根．

1.5m＝4.5，

所以每盒产品的成本为4.5×2＋3×4＋9＝30(元)．

(2)由题意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1 400x－33 000.

(3)当a≥70时，每天的最大利润为16 000元；

当60＜a＜70时，每天的最大利润为(－10a2＋1 400a－33 000)元．

21．解：(1)y＝－x2－2x＋3

(2)连结OE.设E(m，－m2－2m＋3)，－3<m<0.

因为A(－3，0)，C(0，3)，

所以OA＝OC＝3，所以AC＝3.

因为AC∥直线m，

所以当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值．

因为S四边形AHCE＝S△AEC＋S△ACH，

所以当△AEC的面积最大时，四边形AHCE的面积最大．

易得S△AEC＝S△AEO＋S△ECO－S△AOC＝×3×(－m2－2m＋3)＋×3×(－m)－×3×3＝－＋，

因为－<0，

所以当m＝－时，△AEC的面积最大，

所以E.

22．(1)解：将A(4，0)，B(0，－4)的坐标代入y＝ax2＋b，得解得

所以抛物线的表达式为y＝x2－4.

设直线CE的表达式为y＝mx＋n，

将E(4，－1)，C(0，－3)的坐标代入y＝mx＋n，得解得

所以直线CE的表达式为y＝x－3.

(2)证明：设点P，0<t<4，

如图①，过点P作PF⊥y轴于点F，

则PF＝t，FC＝＝，PD＝4－t2，

则PC＝＝＝t2＋1，

所以PC＋PD＝＋＝5，为定值．

①    　　        　②              ③

(第22题)

(3)解：设DP与EC的交点为G，P，则G.

①如图②，当点G在点P上方时，S△PEC＝×4×＝－(x－1)2＋，

因为S△PEC＝1，

所以－(x－1)2＋＝1，

解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，

所以y＝×(1＋)2－4＝－3，

所以P.

②如图③，当点G在点P下方时，S△PEC＝×4×＝(x－1)2－，

因为S△PEC＝1，所以(x－1)2－＝1，

解得x3＝1＋，x4＝1－(舍去)，

所以y＝×(1＋)2－4＝－2，

所以P.

综上所述，满足条件的点P的坐标为，.