第4章图形的相似 单元综合测试题 2022-2023学年北师大版九年级数学上册(含答案)

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝4，则DF的长为（　　）A．2 B．4 C．6 D．83．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD：DC＝1：2，点E在AB上，AE：EB＝3：2，AD，CE相交于F，则AF：FD＝（　　）A．3：1 B．3：2 C．4：3 D．9：44．下列说法中，正确的是（　　）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含30°角的直角三角形必相似5．如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是（　　）A． B． C．∠ABD＝∠ACB D．∠ADB＝∠ABC6．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（　　）A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（　　）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②二．填空题（共7小题，满分28分）9．若两个相似三角形对应角平分线的比是2：3，它们的周长之和为15cm，则较小的三角形的周长为　   　．  10．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是 　   　．11．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　   　cm．12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝　   　．13．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E．如果，BE＝20，那么线段BC的长是 　   　．14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①△AEF∽△CBF；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有 　   　．15．如图，在边长为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2：1，则点B1的坐标为 　   　．三．解答题（共7小题，满分60分）16．如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果△ABC与△ADB相似，求AD的长．17．如图，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果EF：CD＝2：5，DE＝6，AE＝4，求证：AB∥CD．18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长． 19．已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA•OE＝OA•CE．20．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝5，BC＝6，点在直线BC上，且CE＝BC，点F在射线CE上，连接AF，DE，直线AF与直线DE交于点M．（1）如图，若点F在线段CE的延长线上，求证：△ACF∽△MDA；（2）如果EM＝1，直接写出EF的长．21．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．（1）求证：△ABE∽△CKE；（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．22．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．
参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A．因为＝，所以2a＝3b，故A不符合题意；B．因为＝，所以2a＝3b，故B不符合题意；C．因为＝，所以2a＝3b，故C不符合题意；D．因为＝，所以2b＝3a，故D符合题意；故选：D．2．解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵＝，BD＝4，∴＝，∴DF＝8．故选：D．3．解：过点D作DH∥CE交AB于H，则＝＝，∵＝，∴＝，∵DH∥CE，∴＝＝，∴AF：FD＝9：4，故选：D．4．解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．5．解：由图可得：∠A＝∠A，∴当或∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC时，△ACD与△ABC相似，∵A选项中角A不是成比例的两边的夹角，∴＝不能判定△ABD与△ACB相似．故选：A．6．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝，故选：D．7．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝＝，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∴＝，∴＝，∴AF＝BC，∴AF＝AD，∴＝，故①正确；∵S△AEF＝3，∴＝（）2＝，∴S△BCE＝27；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝9，故③错误；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵两个相似三角形的对应角平分线的比为2：3，∴它们的周长比为2：3，∵它们的周长之和为15cm，∴较小的三角形周长为15×＝6（cm）．故答案为：6cm．10．解：∵△ADE∽△ACB，∴，∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴，解得：AE＝5，故答案为：5．11．解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴＝，∵AC与BC之比为4：1，∴＝＝4，即AM＝4BN，∴当BN≥10cm时，AM≥40cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压40cm．故答案为：40．12．解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴＝，∵AF：BF＝1：2，∴＝，∴＝，即FE＝BC，∵BC：CD＝2：1，∴CD＝BC，∵FE∥BD，∴＝＝＝．即FN：ND＝2：3．故答案为：2：3．13．解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴，∴BC＝8，故答案为：8．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴，∴CF＝2AF，故①，②正确；过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；故答案为①②③④．15．解：如图，△A1B1C1或△A2B2C2即为所求．B1的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．三．解答题（共7小题，满分60分）16．解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，∴BC＝＝3cm，若△ABC∽△ADB，则，即，解得：AD＝；若△ABC∽△BDA，则，即，解得：AD＝；AD的长为：cm或cm．17．证明：∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∵EF：CD＝2：5，∴＝，∴＝，∵DE＝6，AE＝4，∴＝＝，∴＝，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC，∴∠A＝∠CDE，∴AB∥CD．18．（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠EAD．∵AD2＝AE•AB，∴＝，∴△ABD∽△ADE；（2）解：∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB＝∠AED．∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．又∵∠DCE＝∠ACD，△DCE∽△ACD，∴，∴，∴AC＝，∴AE＝AC﹣CE＝﹣2＝．19．证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，∴，∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴又∵∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴，即DA•OE＝OA•CE．20．解：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵CE＝BC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC∥DE，∴△MEF∽△ACF，∵AD∥EF，∴△MEF∽△MDA，∴△ACF∽△MDA；（2）分两种情况：①点F在线段CE的延长线上，∵△MEF∽△ACF，∴＝，∵AB＝AC＝5，CE＝BC＝6，EM＝1，∴＝，∴EF＝．②点F在线段CE上，∵AC∥DM，∴△ACF∽△MEF，∴＝，∴＝，∴EF＝CE＝1．综上所述，EF的长为1或．21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH•AB．22．解：设广告牌的高度EF为xm，依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．∴GD＝DB﹣BG＝3m，∵CD⊥BF，EF⊥BF，∴CD∥EF．∴△EFH∽△CDH．∴＝，即＝．∴＝．∴DF＝x﹣1．由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．∵AB⊥BF，∴∠ABG＝90°＝∠EFG．∴△EFG∽△ABG．∴＝，即＝．∴＝．∴x＝3．故广告牌的高度EF为3m．