2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试数学试题含答案

这是一份2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了 已知集合，那么集合等于， 已知集合，则， 下列命题中，真命题是， 设，则大小关系为， 下列四个命题中，等内容，欢迎下载使用。
2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试数学试题一､选择题：1. 已知集合，那么集合等于（    ）A  B. C  D. 2. 在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是A.  B.  C.  D. 3. 已知集合，则（    ）A.  B. T C. S D. Z4. 下列命题中，真命题是（    ）A. B. C. D 5. 设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)A. 9 B. 8 C. 7 D. 66. 已知．下列四个条件中，使成立必要而不充分的条件是A.  B.  C.  D. 7. 设，则大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 8. 下列四个命题中，①；②；③，使；④，使.正确的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)A. 恒为正值 B. 等于0C. 恒为负值 D. 不大于010. 已知函数，那么下面结论正确的是（    ）A. 在上是减函数 B. 在上是减函数C.  D. 二､填空题：11. 函数的定义域是           .12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．13. 若函数的图像关于直线对称，则___________.14. 已知函数，则___________；记，则___________.（用含有的代数式表示）.15. 设非空集合满足：当时，有，给出如下三个结论：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确结论是__________．三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值.17. 已知函数.（1）求的值；（2）若，求的最大值和最小值.18. 已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．19 已知函数．（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．20. 已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.21. 已知数列的首项为1，对任意的，定义.（1）若，求；（2）若，且.（i）当时，求数列的前项的和；（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次     2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试数学试题一､选择题：1. 已知集合，那么集合等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A2. 在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是A.  B.  C.  D. 【答案】B3. 已知集合，则（    ）A.  B. T C. S D. Z【答案】C4. 下列命题中，真命题是（    ）A. B. C. D. 【答案】D5. 设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】B6. 已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是A.  B.  C.  D. 【答案】A7. 设，则大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A8. 下列四个命题中，①；②；③，使；④，使.正确的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C9. 已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)A. 恒为正值 B. 等于0C. 恒为负值 D. 不大于0【答案】A10. 已知函数，那么下面结论正确的是（    ）A. 在上是减函数 B. 在上是减函数C.  D. 【答案】B二､填空题：11. 函数的定义域是           .【答案】12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．【答案】或13. 若函数的图像关于直线对称，则___________.【答案】12014. 已知函数，则___________；记，则___________.（用含有的代数式表示）.【答案】    ①. 1    ②. 15. 设非空集合满足：当时，有，给出如下三个结论：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确结论是__________．【答案】①②③三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值.【解】（1）若有意义，则，解得，故的定义域为；（2）由于 令，则 ∵ 时，在上是减函数，∴又，则，即，解得或（舍）故若函数的最小值为，则.17. 已知函数.（1）求的值；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1）    （2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）将代入直接计算即可，（2）化简变形函数得，然后由，得，再利用正弦函数的性质可求出其最值.【小问1详解】=.【小问2详解】.因为，所以，所以，所以所以的最大值为，最小值为.18. 已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．（Ⅱ） ．【解析】【分析】【详解】，令，当时，的情况如下：+00+ 0  所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：0+00   所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是． 19. 已知函数．（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是  ；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是 .【解析】【详解】【试题分析】（1）依据题设条件及导数的几何意义先对函数求导，再将切点的横坐标代入借助斜率相等建立方程，即，求出. （2）先对函数解析式进行求导，再对实数进行分类讨论，依据导函数的值的符号断定函数的单调性，求出其单调区间．解： 函数的定义域为． 且 .(1) 因为曲线在和处的切线互相平行，所以．即，解得. (2) .      ①当时，，，在区间上，；在区间上，  故的单调递增区间是，单调递减区间是 ②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 ③当时，因为， 故的单调递增区间是 .④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 .20. 已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）先根据题意得关于a，b，c的方程，进而结合椭圆中a，b，c的关系求得a，b，则椭圆方程可得．（II）设A（0，1），B（x1，y1），P（x0，y0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合求根公式，利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．详解】（Ⅰ）题意得，又，所以，.所以椭圆的方程为（Ⅱ）设，，，联立消去得……（*），解得或，所以，所以，，因为直线的斜率为，所以，解得（满足（*）式判别式大于零），到直线的距离为，，所以△的面积为.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了韦达定理的应用，涉及到弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式，属于中档题．21. 已知数列首项为1，对任意的，定义.（1）若，求；（2）若，且.（i）当时，求数列的前项的和；（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.【答案】（1）    （2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推公式一一计算可得；（2）（i）依题意可得，即数列各项的值重复出现，周期为，再对分奇、偶讨论，分别计算可得.（ii）由（i）可得，设，即可得到数列均为以为公差的等差数列，即可得证.【小问1详解】解：因为，，所以，，.【小问2详解】解：（i）因为（），所以，对任意的有，即数列各项的值重复出现，周期为.又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7.设数列的前项和为，则，当时，，当时，，所以，当为偶数时，；当为奇数时，.（ii）证明：由（i）知：对任意的有，又数列的前6项分别为，且这六个数的和为.设，（其中为常数且），所以.所以，数列均为以为公差的等差数列.因为时，，时，，所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次