2023届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2023届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题 一、单选题1．已知是实数，命题；命题，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由题意可得命题，命题.由，可得结论.【详解】解，得，命题.解，得，命题.p是q的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.2．下列说法正确的是（    ）A．如果直线不平行于平面，那么平面不存在与平行的直线B．如果直线平面，平面平面，那么直线平面C．如果直线与平面相交，平面平面，那么直线与平面也相交D．如果平面平面，平面面，那么平面平面【答案】C【分析】对于，当时，平面内存在与平行的直线；对于，直线平面或直线平面；对于，由面面平行的性质得直线与平面也相交；对于，平面与平面相交或平行．【详解】解：对于，如果直线不平行于平面，那么当时，平面内存在与平行的直线，故错误；对于，如果直线平面，平面平面，那么直线平面或直线平面，故错误；对于，如果直线与平面相交，平面平面，那么由面面平行的性质得直线与平面也相交，故正确；对于，如果平面平面，平面平面，那么平面与平面相交或平行，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属于中档题．3．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，，则，存在．故选：．【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．4．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（    ）A．8，8.5 B．8，8              C．9，8              D．8，9【答案】A【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.【详解】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是故选：A 二、填空题5．已知集合，则__．【答案】【分析】进行并集的运算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6．的平方根为________【答案】【分析】先设复数，可得，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为，由题意有，即，则，解得或，即或，即的平方根为，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.7．已知向量与的夹角为，，，则________________.【答案】4【详解】试题分析：向量与的夹角为， ，则， .所以，则 （舍去）或. 【解析】平面向量的数量积.8．设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足,则的面积为__________;【答案】1.【详解】∵点P在双曲线右支上，且满足∠F1PF2=90°， ②﹣①2得|PF1|•|PF2|=2．∴△F1PF2的面积S= |PF1|•|PF2|=1．故结果为1.9．记为等差数列的前n项和，已知，，则______【答案】【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故答案为：10．若，则___________.【答案】【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.11．直线是曲线的切线，则的最小值为__________．【答案】2【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值.【详解】设直线与曲线相切于点，当时，直线不是曲线的切线，故,由得，所以切线方程为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.12．各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项，利用等比中项得到，化简得到，从而求得，然后利用裂项相消法求得，再由，得到求解.【详解】设等差数列的公差为d，由得，因为，所以，所以，，所以，则，因为，所以，故的最小值为．故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．设函数，则使得成立的实数x的取值范围是________.【答案】【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数x的取值范围.【详解】，则函数为偶函数当时， ，在上单调递增，，即，即，故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.14．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．【答案】【分析】取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得【详解】取的中点，取，，，因为的最小值，所以．作，垂足为，如图，则，又，所以，因为，所以由正弦定理得：，，所以．故答案为：.【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【分析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.16．设a，b是两个实数，，直线和圆交于两点A，B，若对于任意的，均存在正数m，使得的面积均不小于，则的最大值为__________． 【答案】【分析】设O到直线l的距离为d，利用三角形的面积均不小于列不等式，由此求得的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于的不等式.根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得关于的不等式，结合导数求得的最大值.【详解】设O到直线l的距离为d，则，解得，即，所以，因为，时，，，所以，因为存在满足条件，所以，化简得，且，由得，所以，因为，解不等式无解，所以在上单调递减，所以．故的最大值为．故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题. 三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)详见解析; （2）详见解析.【分析】（1）线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB．（2）线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM．【详解】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB．   （2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，，所以AM⊥平面PCD．18．已知数列的前n项和为，数列满足，．(1)证明是等差数列；(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【分析】(1)由数列的前n项和为，可求得，，再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得，，代入中得，只需满足以即可，从而求解的值即可.【详解】(1)解：证明：因为数列的前n项和为，所以当时，，当时，，所以，满足，所以数列的通项公式为，， 所以，，所以是等差数列；(2)解：因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；所以，要使对一切正整数n都有成立．即，即，所以，解得 .故存在常数，当时，对一切正整数n都有成立.19．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元．(1)试将W表示为的函数，并写出的取值范围；(2)问当AM的长为多少时，能使总造价W最小．【答案】(1)，(2)米 【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围；（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案.【详解】(1)解：过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G，在中，，则，在中，，则，由题意易得，所以，；(2)解：，令，得，又，所以，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，总造价W最小，最小值为，此时，，，所以当米时，能使总造价W最小．20．已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；（Ⅲ）设，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得.由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程.（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k的取值范围.（Ⅲ）因为，，，，写出直线的方程，令，解得.点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.用坐标表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C：经过点，所以解得.由的面积为可知，，解得，所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线l的方程为，，.联立，消y整理可得：.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得.因为，所以k的取值范围是.（Ⅲ）因为，，，.所以直线的方程是：.令，解得.所以点S的坐标为.同理可得：点T的坐标为.所以，，.由，，可得：，，所以.同理.由（Ⅱ）得，，所以所以的范围是.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21．已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得. ∴在上是减函数，在上是增函数. ∴的极小值为，无极大值. （2）. ①当时，在和上是减函数，在上是增函数； ②当时，在上是减函数； ③当时，在和上是减函数，在上是增函数. （3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴. 由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立， 由于当时，，∴. 【解析】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.