2022-2023学年湖南省雅礼中学等十六校高三上学期第一次联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省雅礼中学等十六校高三上学期第一次联考数学试题含解析，共17页。
雅礼十六校2023届高三上学期第一次联考数学总分：150分   时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 下列不属于的展开式的项的是（   ）A.                     B.                   C.                   D.2.已知集合. 其中，若满足，则的取值范围为（   ）A.     B.   C.     D. 3.已知复数，与共轭，，且则的值为（   ）
A.5B.6C.7D.8
4.已知三边所对角分别为，且，则的值为（   ）
A. -1B. 0C. 1D.以上选项均不正确
5.已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（   ）
A. B. C. D.
6. 长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛. 这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（   ）
A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师
 
7.若，（）试比较的大小关系（   ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线，若过点能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（   ）A.    B.     C.     D.以上选项均不正确二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览. 已知该游客游览橘子洲的概率为，游览其他景点的概率都是. 该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是（   ）
A.游客至多游览一个景点的概率为 C. B. D.
10.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集.下列集合属于可列集的有（   ）
A. B. ZC. QD. R
11.已知某四面体的四条棱长度为，另外两条棱长度为，则下列说法正确的是（   ）A.若且该四面体的侧面存在正三角形，则B.若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积C.若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积D.对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有12. 已知函数，下列说法不正确的是（   ）A.当时，函数仅有一个零点B.对于，函数都存在极值点C.当时，，函数不存在极值点D.，使函数都存在3个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的最大值为_______.14.已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是_______.15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足. 联结，满足. 若该双曲线的离心率为，求的值­_______.16.若不等式恒成立，则的最大值为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义（1）证明：（2）解方程：18.已知单调递减正数列，时满足. ,为前n项和.（1）求的通项公式（2）证明：19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为.（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：21.已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足.（1）求曲线的轨迹方程并画出草图；（2）设曲线与交于顺时针排列的S、T、M、N四点，求的值.（用含k的代数式表示）22.已知函数，且. （1）若，且在R上单调递增，求的取值范围（2）若图象上存在两条互相垂直的切线，求的最大值                           一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 下列不属于的展开式的项的是（   ）A.    B.    C.   D.解析：展开式中的系数应为，故不属于展开式的项，选择B选项2.已知集合. 其中，若满足，则的取值范围为（   ）A.     B.     C.     D. 解析：设则，同时将集合转化得将以上条件整理得的解集应该含于，其中，即且满足由根的分布规律可得故选C3.已知复数，与共轭，，且则的值为（   ）A.5    B. 6   C. 7    D. 8解析：本题考察复数和椭圆的知识，根据复数和椭圆的基本知识可得，即为椭圆焦点三角形周长的值，故故选D 4.已知三边所对角分别为，且，则的值为（   ）A. -1    B. 0    C. 1    D.以上选项均不正确解析：将由余弦定理变换得由正弦定理得，三角变换得，即变形得，两边同时乘以得故选B5.已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（   ）A.            B.             C.             D. 解析：令，则可得，故将两边同除得为递减数列可得，累乘可得，根据等比数列求和公式得综上，，选择C选项 6. 长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛. 这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（   ）A.罗老师           B.魏老师           C.贾老师            D.关老师 根据假设法推理，可得贾老师预测正确，选择C选项7.若，（）试比较的大小关系（   ）A.             B.             C.             D. 解析：由得，故，故由常用数据得，综上，故选D8. 已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（   ）A.   B.   C.   D.以上选项均不正确解析：过能作两条切线说明该点在双曲线外部，且不在该双曲线渐近线上临界情况时，点在双曲线上，代入得。当渐近线经过点时，综上，，故选D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 长沙市有橘子洲,岳麓山,天心阁,开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览. 已知该游客游览橘子洲的概率为，游览其他景点的概率都是. 该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是（   ）A.游客至多游览一个景点的概率为                 B. C.                                 D. 解析：略择选ABD选项10.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集.下列集合属于可列集的有（   ）A.  B. Z C. Q D. R解析：令即可表示所有自然数，故集合N可标号表示为，故为可列集，同理，Z为可列集对于Q，由于其区间可由可列个区间组成，故可只讨论区间内的情况。令，当分母为1时，分子只有一种取值，故记作，同理综上，集合Q可标号表示为，故Q为可列集故选ABC11.已知某四面体的四条棱长度为，另外两条棱长度为，则下列说法正确的是（   ）A.若且该四面体的侧面存在正三角形，则B.若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积C.若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积D.对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有解析：A只需判断临界情况，易得A正确,同理，易得B错误，应为对于C，可将四面体补体成为一个长宽高分别为的长方体，由四面体体积规律得，由基本不等式得，故C正确对于D，同C可得，即。同时易得要使，只需即，故时D正确综上，选ACD12. 已知函数，下列说法不正确的是（   ）A.当时，函数仅有一个零点B.对于，函数都存在极值点C.当时，，函数不存在极值点D.，使函数都存在3个极值点解析：易得ABD错误，选择ABD选项。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的最大值为______.解析：依题可变形得即圆与直线有交点运用点到直线距离公式可得14.已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是______.解析：依题，( ) 且和不共线，即综上，解得15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足. 联结，满足. 若该双曲线的离心率为，求的值­________.解析：设，由得，化简得（1），又在渐近线上，即.两边平方得（2）在双曲线上，所以，即. 代入（1）解得将和代入（2）得化简得，解得，即. 化简得16.若不等式恒成立，则的最大值为_______.解析：原不等式可变形为，故为直线的横截距，又知曲线和轴唯一交点为，根据一直一曲图像规律，可知四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义（1）证明：（2）解方程：解析：（1） 而联立两式可得即 （2）注意到 若，解得 若，则记则在单调递增，在单调递减而∴有且仅有三个零点，有三个实根，且均位于区间内记三个实根分别为由（1）知∴解得 综上所述，方程的解集为 18.已知单调递减正数列，时满足. ,为前n项和.（1）求的通项公式（2）证明：（1）由得即由单调递减得则，即故是以2为首项，1为公差的等差数列则，即（2）要证只需证即证即证即证即证而此式为显然.证毕 19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．（1）由面面垂直的性质得到平面，由面面垂直的判定即可证明；（2）过作，，垂足分别为，，连接，由几何法可证即为二面角的平面角，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可.(1)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．(2)过作，，垂足分别为，，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，，平面，所以平面，因为平面，所以，即即为二面角的平面角，不妨设，则可知，且，，因为，所以，所以，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线PD与平面PBC所成角为，则，直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为.（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：（1）易得（2）由（1）得当时，由此可得综上得证 21.已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足.（1）求曲线的轨迹方程并画出草图；（2）设曲线与交于顺时针排列的S、T、M、N四点，求的值.（1） （草图要求经过所有整点且形状大致正确）（2）联立得 则 由对称性知S、T、M、N四点横纵坐标的绝对值相等，分别记为 则又 ∴22.已知函数，且. （1）若，且在R上单调递增，求的取值范围（2）若图象上存在两条互相垂直的切线，求的最大值（1）由题知，则得即有（2）由，令，由，得，所以由题意可知，存在，使得，只需要，即，所以，,所以的最大值为.