2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第七次模拟考试数学（理）试题含解析

2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第七次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的取值为（     ）

A．1 B．-1或2 C．2 D．-1或1

【答案】C

【解析】利用可得，则或，解出的值检验是否满足元素互异性即可.

【详解】因为所以，

当时，，，不满足元素互异性，不成立；

当时，或，

时，，不满足元素互异性，不成立；

时，，，满足条件，

所以，

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数，考查了元素的互异性，属于基础题.

2．已知，则“且”是“”的（       ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由可以举反例

【详解】解：充分性：若，则，充分性得证；

必要性：若，取，满足条件，但不能得出，

故为非必要条件；

综上所述，“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

3．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出数列的周期，结合周期性可求得的值.

【详解】由已知可得，，，，，

以此类推可知，对任意的，，

，所以，.

故选：B.

4．要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，将它们编号为、、、、，利用随机数表抽取样本，从第行第列的数开始，按位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第三袋牛奶的标号是（       ）

（下面摘取了某随机数表的第行至第行）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用随机数表法可得结果.

【详解】由随机数表法可知，前三袋牛奶的标号依次为、、，故第三袋牛奶的标号是.

故选：B.

5．运行如图所示程序后，输出的结果为（       ）

A．15 B．17 C．19 D．21

【答案】B

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，由此求出退出循环时输出的值．

【详解】模拟程序的运行过程，如下：

，执行循环体，，，

，，

，，

，

此时退出循环，输出的值为17．

故选：B．

6．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由二倍角公式可得，再结合角的范围可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，

，

，解得，

，

.

故选：B

7．将个和个随机排成一行，则个不相邻共有（       ）种不同的排法

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用插空法可求得结果.

【详解】若个不相邻，只需将个插入个所形成个空的个空中，

故不同的排法种数为.

故选：D.

8．已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根据|PF1|＝4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．

【详解】设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，

∴ex+a＝4（ex﹣a），化简得e＝，

∵p在双曲线的右支上，

∴x≥a，

∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为.

故选A．

【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．

9．已知数列的前项和为，满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用“退位相减法”可求得的通项公式，从而求解

【详解】解：数列满足，且①；

当时，②；

①减②得，

所以，（），

所以以为首项，为公比的等比数列，

所以，即．

故选：A．

10．刍甍（chúméng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广，刍，草也．甍，屋盖也．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．””已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将刍甍补成直三棱柱，利用柱体、锥体的体积公式以及题中数据可求得结果.

【详解】将几何体刍甍补成直三棱柱，且该三棱柱的底面积为，

三棱锥的体积为，

因此，该刍甍的体积为.

故选：D.

11．已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设切点，求得切线方程，根据切线过点，得到，再根据存在3条直线与曲线相切，则方程有三个不同根，利用导数法求解.

【详解】解：设切点，

因为，

则，，

所以切线方程为，

因为切线过点，

所以，

即，

令，

则，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，

因为存在3条直线与曲线相切，

所以方程有三个不同根，则，

故选：D

12．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（       ）

①四面体外接球的表面积为

②点与点之间的距离为

③四面体的体积为

④异面直线与所成的角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知线段的中点为四面体外接球球心，结合球体表面积公式可判断①；过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断②③④的正误.

【详解】对于①，取的中点，连接、，则，

因为，所以，，

所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；

对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，

则二面角的平面角为，

在中，，，，则，，

，则，，，

，，，平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，则、、、，

，②错，

，，③对，

，，

，故异面直线与所成角为，④错.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；

④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.

二、填空题

13．抛物线的准线方程是___________________.

【答案】

【分析】将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可．

【详解】由得：，所以，即：

所以抛物线的准线方程为：．

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．

14．设复数，满足，，则=__________.

【答案】

【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.

【详解】方法一：设，，

，

，又，所以，，

.

故答案为：.

方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,

由已知,

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

15．已知在平行四边形中，，则值为__________．

【答案】2.25

【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.

【详解】由题设可得如下图：，而，

所以，

又，

所以，则，

故，可得，即.

故答案为：

16．等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，解出与，从而可得到，令，得出的单调性，即可求出的取值范围．

【详解】解：设等差数列的公差为，

由题设可知：，

解得：，，

，

，

令，则，

当时，，

当时，，

（1）（2）（3）（4），

又（1），（2），（3），（4），

集合中有2个元素，

即集合中有2个元素，

，．

故答案为：．

三、解答题

17．已知分别为三个内角的对边，且为锐角．

(1)求；

(2)若，求的值．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）由正弦定理边角关系、辅助角公式可得，结合已知即可求A大小.

（2）由题设有，即可确定，结合（1）求的值.

【详解】(1)由正弦定理边角关系知：，又，

所以，即，

而，则，故，可得.

(2)由题设，，可得，

所以，则，故，则．

18．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．

(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；

（2）设点，由已知可得，分析可知圆与圆有公共点，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】(1)解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.

若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；

所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，

由题意可得，整理可得，解得或.

故所求切线方程为或，即或.

(2)解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，

设点，由可得，

整理可得，

由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，

即，解得.

所以，圆心的横坐标的取值范围是.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，，底面ABCD为梯形.，△PAD中

(1)求三棱锥P—ABD的体积；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出AB⊥平面，进一步利用等体积法求出答案；

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD和平面PCD的法向量，利用求出答案.

【详解】(1)解：取CD的中点E，∵

∴∵且

∴四边形ABED是矩形，

∴，

又∵，且

∴AB⊥平面

∴

(2)解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0,-1,），，，

所以，，

设平面PBD的法向量为，

则

取，得

同理可得平面PCD的一个法向量为.

于是

即二面角的余弦值为.

20．甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为?（）．

(1)若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

(2)若比赛采用三局两胜制，且，则比赛结束时，求甲获胜局数?的期望；

(3)结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．

【答案】(1)；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）利用条件概率公式进行求解即可；

（2）根据数学期望公式进行求解即可；

（3）利用差比进行求解即可.

【详解】(1)表示甲在第一局失利，表示甲获得了比赛胜利，则

(2)的可能取值为0，1，2，

，

，

，

故；

(3)在五局三胜制中甲获胜的概率为：

在三局两胜制中甲获胜的概率为：

，于是

当时，采用5局3胜制对甲更有利；时，采用3局2胜制对甲更有利，

当时，两种赛制对甲的影响一样.

21．已知函数，其中是自然对数底．

(1)求的极小值；

(2)当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调性，结合极值的定义，即可求解；

（2）根据题意，把，设，转化为利用导数证明，再设，证得，即可证得.

【详解】(1)解：由题意，函数，可得，

当时，令，函数在上单调递增，无极小值；

当时，令，即，解得，

当时，，此时函数上单调递减；

当时，，此时函数上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为.

(2)证明：因为，所以，

所以，

因为函数有两个不同的零点，且，

所以，，所以，

所以，

因为，设，

可得，

因为，所以在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以，

再考虑，

因为，

所以，

设，则，

令，

则，

所以在上为单调递减函数，所以，

即恒成立，进而，

综上可得，.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若、是曲线上的两点，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；

（2）因为，所以可设、，利用勾股定理可得出，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.

【详解】(1)解：在曲线的参数方程中，可得，两式相乘得普通方程为，

故曲线的极坐标方程为，即．

(2)解：因为，所以可设、，

所以，

，

故当且仅当时，的最小值为.

23．已知函数.

(1)若为非零实数，，证明：；

(2)若，对，使得，求的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】求出函数的最小值，根据，利用基本不等式求得的最小值，即可得证；

（2）对，使得，即为，根据结合基本不等式求得的最小值，从而可得出答案.

【详解】(1)证明：，

当且仅当时，取等号，

而，

当且仅当，即时，取等号，

所以；

(2)解：因为对，使得，

所以，

因为，，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

由（1）知，

所以，解得，

所以的取值范围为.