2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期开学考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高一上学期开学考试数学试题 一、单选题1．下列关系中错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对于A，根据空集的性质判断，对于B，直接判断，对于C，由集合的特征判断，对于D，由子集的性质判断.【详解】对于A，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以A正确，对于B，因为表示的是整数集，所以，所以B正确，对于C，因为表示此集合中只有一个元素，而集合表示集合中有2个数，所以两集合间不存在包含关系，所以C错误，对于D，和是两个相等的集合，所以，所以D正确，故选：C2．已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ）A．1或 B．或 C．或 D．1或【答案】D【分析】根据韦达定理得到，由根的判别式得到，解出或【详解】整理为，所以，，即，又因为有两个相等的实数根，所以，整理为，解得：或故选：D3．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标内的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数图象可得，从而可判断出一次函数和反比例函数的图象.【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=>0，∴b<0，∵当x=1时，y=a+b+c<0，∴y=bx+a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，反比例函数y=图象在第二､四象限，只有D选项图象符合.故选：D.4．设、、是两个两两不相等的正整数.若，则的最小值是（    ）A．2007 B．1949 C．1297 D．1000【答案】C【详解】不妨设，则.因为为偶数，所以、、必为两奇一偶，从而，为奇数.又因为，所以为不小于3的奇数.若.则.故，且.所以，不符合要求.若，则.故解得此时，. 二、填空题5．分解因式：__________．【答案】【分析】先提公因式x，再利用平方差公式分解因式．【详解】故答案为：．6．已知集合，，则__________．【答案】【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.【详解】因为，所以因此.故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.7．若三角形的面积为，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________;【答案】【解析】运用三角形的等面积法可求得答案．【详解】如下图所示，设三角形的内切圆的半径为，则有，所以，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内切圆的半径求解，常运用三角形的等面积法，属于基础题．8．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是______．【答案】【分析】根据一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案.【详解】由一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，关于原点对称，所以.故答案为：9．若都满足方程且，则的取值范围是_____．【答案】【分析】由绝对值的几何意义得到方程的解即可得到所求范围.【详解】两边同时除以得，由绝对值的几何意义可知，此方程的解为，从而可知，即的取值范围是.故答案为：10．已知，为正数，化简_______．【答案】【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.【详解】原式．故答案为：．11．已知抛物线经过点、、，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标为______．【答案】【分析】将、两点坐标代入函数解析式，可得出，可求出抛物线的对称轴方程，结合抛物线的对称性可求得结果.【详解】将、两点坐标代入函数解析式可得，解得，由题意可知，所以，抛物线对应的函数解析式为，所以抛物线的对称轴为直线，故点关于直线的对称点为.故答案为：.12．已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且（为坐标原点），则的面积为___________.【答案】【分析】求出点的坐标，即解方程组，再根据三角形面积公式可求的面积【详解】解：依题意得，解得，∴，∴，∴，故答案为：13．方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是________.【答案】4或【分析】先求得方程的两个根，然后按为直角边或为斜边进行分类讨论，利用勾股定理计算出第三边.【详解】方程因式分解得，所以或，解得，，即直角三角形的两条边长分别为3，5.当5为直角边长时，第三条连长为；当5为斜边长时，第三条连长为.故答案为4或【点睛】本小题主要考查一元二次方程的解法，考查直角三角形中有关计算，属于基础题.14．设已知关于的不等式的解集为求不等式的解集为_______【答案】【解析】由不等式与方程的关系知1为的根，可得出关系，代入不等式求解即可.【详解】因为不等式的解集为所以且，即且，所以可化为，解得，所以不等式的解集为，故答案为：【点睛】本题主要考查了方程的根与不等式的解之间的关系，属于中档题.15．设，若，，则不同的有序集合组的总数是___________.【答案】【分析】按中元素个数分类讨论，再定中元素个数，最后由分类、分步计数原理可得结论.【详解】法一：集合中有10个元素时，不同的有序集合组有个；当集合中有9个元素时，不同的有序集合组有个；…当集合中有0个元素时，不同的有序集合组有个；∴总数为：++…+=++…+=法二：如图，每个数字的位置都有5个位置可供选择，所以共有种.故答案为：16．已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，求___________.【答案】【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，再求的元素，进而得到，解得，故得答案.【详解】由得，所以，又因为，即，所以，（1）若，因为，所以，此时，即，故，从而，所以，则，即或1，与矛盾，（2）若，则，即，所以，从而，显然，即或1，而与矛盾，故；又，故，将代入，得到，解得或（舍去），所以.故答案为：8. 三、解答题17．先化简，再求值：，其中．【答案】化简结果为，值为【分析】分式通分，分子分母能因式分解的因式分解，然后约分即可化简，再代入参数值可得结论．【详解】，当时，原式18．解下列方程（组）：(1)；(2).【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）利用消元法解方程组得解；（2）化简得即得解.【详解】(1)解：,由(1)得，把代入（2）得，当时，；当时，.经检验满足题意.所以原方程组的解为或.(2)解：.原方程可以化为所以.经检验满足题意.所以原方程的解为.19．已知为实数，，.(1)当肘，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分析可知，则，根据可得出关于的等式组，由此可解得实数的值；（2）分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的等式，即可解得实数的值，综合可得结果.【详解】(1)解：因为，且，则，所以，，由题意可知，，解得.因此，实数的取值集合为.(2)解：，则.当时，，合乎题意；当时，则，若，则，解得.综上所述，的取值集合为.20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值．【答案】(1)y＝x2+4x+5(2)m＝2或m＝ 【分析】（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求出，从而可求出抛物线的解析式，（2）由题意表示出点的坐标，从而可表示出PE，EF，然后由PE＝5EF，列方程可求出m的值．【详解】(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得：．故抛物线的解析式为：y＝x2+4x+5；(2)∵点P的横坐标为m，∴P（m，m2+4m+5），E（m，m+3），F（m，0）．∴PE＝|yPyE|＝|(m2+4m+5) (m+3)|＝|m2+m+2|，EF＝|yEyF|＝|(m+3) 0|＝|m+3|．由题意，PE＝5EF，即：|m2+m+2|＝5|m+3|＝|m+15|①若m2+m+2＝m+15，整理得：2m217m+26＝0，解得：m1＝2，m2＝；②若m2+m+2＝(m+15)，整理得：m2m17＝0，解得：m＝或m＝．由题意得，m的取值范围为：1＜m＜5，故m＝、m＝这两个解均舍去．∴m＝2或m＝．21．设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合；(2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；(3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据题意直接写出即可.（2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可.（3）由题意可知，且不是单元素集，令，,且 ，则可分别说明当与当时矛盾.【详解】(1)(2)若集合具有性质，不妨设,由非空数集具有性质，有.①若,易知此时集合具有性质.②若实数集只含有两个元素，不妨设，由，且，解得，此时集合具有性质.③若实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，则有,由于集合具有性质，所以有，这说明集合具有性质.(3)不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.由于非空实数集具有性质,令集合,依题意不妨设. 因为集合具有性质,所以.若,则,否则,这与矛盾. 故集合不是单元素集.令,且 ，①若,可得,即,这与矛盾; ②若,由于,所以,因此,这与矛盾. 综上可得:不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.