第01讲 二次函数的表达式求法专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第1讲  二次函数的表达式求法专题探究

类型一  一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）

        当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式，通过解方程组求出三个待定系数的值；

【类题训练】

1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0），（0，5）两点，则这个二次函数的解析式为 　   　．

2．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　）

A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2 

C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2

3．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．

4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．

5．已知双曲线y1＝与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A（2，3），B（m，2），C（﹣3，n）三点．

（1）求m和n的值；

（2）在平面直角坐标系中描出上述两个函数的草图，并根据图象直接写出：当x取何值时，y1＞y2？

6．如图，已知二次函数的图象经过点B（2，0），C（0，2），D（1，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）若P是抛物线上一点且S△ABP＝2S△ABC这样的P有几个？请直接写出它们的坐标．

类型二  顶点式：y＝a（x-m）2+k（a≠0）

        若已知图象的顶点或对称轴或最值，通常选设顶点式y＝a（x-m）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（m，k）；

        二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；

【类题训练】

1．将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）

A．y＝（x+7）2+49 B．y＝（x+7）2﹣36 

C．y＝（x﹣7）2+49 D．y＝（x﹣7）2﹣36

2．一条抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2﹣4x+1 

C．y＝﹣4x2﹣4x+2 D．y＝﹣4x2+4x+2

3．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

则该函数图象的顶点坐标为　   　．

4．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点（2，8），则该抛物线的表达式为 　   　．

5．平面直角坐标系下，一组有规律的点A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）

A6（5，0）…（注：当n为奇数时，An（n﹣1，1），n为偶数时，An（n﹣1，0）），抛物线C1经过点A1、A2、A3三点，…抛物线∁n经过An，An+1，An+2三点，请写出抛物线C2n的解析式　   　．

类型三  交点式：y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）

        若已知（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，通常选取设交点式来求抛物线的表达式；

【类题训练】

1．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（　　）

A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2 

C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2

2．有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴为直线x＝2；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为4．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式　   　．

3．已知抛物线与x轴相交于两点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴相交于点C（0，3）．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）如果点是抛物线上的一点，求△ABD的面积．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

类型四  用平移的方法求解抛物线解析式

        二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”

【类题训练】

1．将抛物线y＝（x+2）2向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为（　　）

A．y＝x2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2

2．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（　　）

A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 

B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 

C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 

D．向右平移4个单位，向下平移5个单位

3．将抛物线y＝x2﹣2x的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到将抛物线必经过（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣2）

4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（　　）

A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣5 D．y＝（x+1）2+2

5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）

A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1 

C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1

6．抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣1先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度可得新抛物线的解析式为 　   　．

【综合练习】

1．根据下列条件，求二次函数的解析式

（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；

（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；

（3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；

（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；

（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；

（6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．

2．设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　   　．

3．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b为常数）．

（1）若图象过（1，4），求函数的表达式．

（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值．

（3）若函数图象不经过第三象限，当﹣4≤x≤1时，函数的最大值和最小值之差为9，求b的值．