第03讲 二次函数的增减性与最值问题-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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第3讲 二次函数的增减性与最值问题
考点一：二次函数的最值
【知识点睛】
v 无区间范围的二次函数最值由a与定点纵坐标共同决定
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
对称轴：直线；顶点坐标：；
开口向上 a＞0二次函数有最小值；
开口向下a＜0二次函数有最大值；
v 区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论
区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：
①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；
②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；
结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解
③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】
1．二次函数y＝﹣x2+6x﹣8的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（3，1），
故选：B．
2．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（　　）
A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2
【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x＝＝＝2，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝﹣，
综上，m的值为或﹣，
故选：B．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值是（　　）
A． B． C．﹣2或 D．或
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣3，代入得：4﹣4m＝﹣3，即m＝＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣3，代入得：﹣m2＝﹣3，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣3，代入得：1+2m＝﹣3，即m＝﹣2，
综上，m的值是﹣2或，
故选：C．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点A（4，m），当x≤2时，y≥m+1，当x＞2时，y≥m，则当x＝6时，y的值为（　　）
A．2 B．4 C．m D．m+1
【分析】由x≤2时，y≥m+1，x＞2时，y≥m，可得二次函数最小值为m，由图象过点A（4，m）可得二次函数对称轴为x＝4，且函数开口向上，由对称性可得x＝6时与x＝2时的函数值相同，即可得出结果．
【解答】解：∵当x≤2时，y≥m+1，当x＞2时，y≥m，
∴二次函数最小值为m，
∴二次函数开口向上，
∵图象过点A（4，m），
∴二次函数对称轴为x＝4，
∵x≤2时，y≥m+1，
∴当x＝2时，y＝m+1，
∴当x＝6时，y＝m+1，
故选：D．
5．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（　　）
A．y≤5 B．y≤3 C．﹣3≤y≤3 D．﹣3≤y≤5
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5），
将x＝﹣1代﹣1代入y＝﹣2x2+4x+3得y＝﹣2﹣4+3＝﹣3，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故选：D．
6．如图，以圆心角为45°扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由∠AOB＝45°可得点A在直线y＝x上，联立抛物线与直线方程，求出抛物线与直线有1个交点时k的值，再求出抛物线经过点B时k的值，进而求解．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，
∴点A在直线y＝x上，
令x2+k＝x，整理得x2﹣x+k＝0，
∴Δ＝12﹣4×k＝1﹣2k，
当1﹣2k＝0时，k＝，此时抛物线与直线y＝x相切，
当抛物线经过B（2，0）时，×4+k＝0，
解得k＝﹣2，
∴﹣2＜k＜满足题意．
故选：B．
7．二次函数y＝x2﹣4mx+1﹣m（m为常数）的顶点M的纵坐标的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式求出抛物线顶点纵坐标，然后将含m代数式配方求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4mx+1﹣m＝（x﹣2m）2﹣4m2+1﹣m，
∴抛物线顶点为（2m，﹣4m2+1﹣m），
∴M的纵坐标为﹣4m2+1﹣m＝﹣4（m+）2+，
∴当m＝﹣时，M纵坐标最大值为，
故选：A．
8．函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，则当x＝2022时，函数值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2022对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2022时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝1011，
∴x＝2022和x＝1011×2﹣2022＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝3，
∴当x＝2022时，y＝3，
故选：D．
9．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（　　）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，＝﹣3，﹣＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入＝﹣3，即可得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，
∴该函数的对称轴在y轴右侧，＝﹣3，﹣＞0，
∴b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，
将c＝﹣2代入＝﹣3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝　﹣2﹣2　．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x＝m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣+2m），
当m＜﹣＜m+2时，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程无解．
当m≤﹣时，将x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案为：﹣2﹣2．
11．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+1，当1≤x≤2时有最小值5，则a的值为 　﹣1或4　．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论x＝1，x＝2时y取最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a2+1＝（x﹣a）2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（a，1），
∴当a＜1，x＝1时，y＝1﹣2a+a2+1＝5为最小值，
解得a1＝3（舍）或a＝﹣1．
当a＞2，x＝2时，y＝4﹣4a+a2+1＝5为最小值，
解得a3＝4或a4＝0（舍），
∴a＝﹣1或4．
故答案为：﹣1或4．
12．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）t＝　1　；
（2）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值 　　．
【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝﹣+，当x＝时，得到n＝﹣﹣+，即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
故答案为：1；
（2）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得a+b+4＝1，
∴b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
故答案为：．
13．已知函数的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上，点B（x2，y2）在第二象限内的函数图象上．
（1）当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
（2）若x1+x2＝0，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；

【分析】（1）将y2＝y1＝4时代入相应解析式计算即可；
（2）由x1+x2＝0，则x1＝﹣x2，将w化为自变量为x1的二次函数，求出最小值．
【解答】解：（1））函数，
由题意可知，y2＝﹣x2，
∵y2＝y1＝4，
∴，
解得x1＝2（负数舍去），
∴﹣x2＝4，
解得x2＝﹣4，
②∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴，y2＝﹣x2＝x1，
∴，
∴当时，w有最小值为．
14．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　（1，2）　；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　2　；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　3　．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可；
②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值；
③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值；
（2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值为2，
故答案为：2；
③y＝x2﹣2x+3，
当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧，
y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案为：3；
（2）∵对称轴为x＝，
当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝﹣1时，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m＝；
当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝m时，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m＝，
∵﹣1≤m≤3，
∴m＝；
当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝3时，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m＝＜3，舍去．
综上所述，m＝或．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值是2．求当﹣1≤x≤4时，y的最小值．
【分析】（1）将x＝0代入解析式求点A坐标，由抛物线对称轴为直线x＝﹣可得抛物线的对称轴．
（2）由a＜0可得x＝2时y取最大值，从而可得a的值，进而求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣2，
∴点A坐标为（0，﹣2），
∵y＝ax2﹣4ax﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2．
（2）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1≤x≤4时，x＝2时y取最大值2，
将x＝2代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣4a﹣2＝2，
解得a＝﹣1，
∴y＝ax2﹣4ax﹣2＝﹣x2+4x﹣2，
将x＝﹣1代入y＝﹣x2+4x﹣2得y＝﹣1﹣4﹣2＝﹣7，
∴y的最小值为﹣7．
16．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝3时，y最小值＝﹣4，当x＝﹣1时，y最大值＝12，从而求得结论；
（3）分四种情况讨论：
①当t+3＜3时，即t＜0，y最大值＝t2﹣6t+5，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，y最小值＝﹣4，i）当0≤t≤时，y最大值＝t2﹣6t+5，解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y最小值＝t2﹣6t+5，y最大值＝t2﹣4，解得（不合题意，舍去）．
【解答】解：（1）∵已知A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点
∴4+4m﹣2﹣2m＝﹣3
解得，
∴此二次函数的解析式为：y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
当x＝﹣1时，y最大值＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5
当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝4
﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9＝4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值＝﹣4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5，
∴t2﹣6t+5﹣（﹣4）＝4，
解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（﹣4）＝4，
∴解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，y最小值＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（t2﹣6t+5）＝4，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，t＝1或2．
考点二：二次函数的增减性
【知识点睛】
v 常规问题需要由a与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：
a＞0时，图象开口向上；
当时，y随x的增大而减小，反之则y随x的增大而增大；
a＜0 时，图象开口向下；
当时，y随x的增大而增大，反之则y随x的增大而减小；
v y1、y2比较大小问题规律总结：
若点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的两个点，则：
当a＞0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；
当a＜0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；
【类题训练】
1．下列函数中，y随x增大而减小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x+l
【分析】根据一次函数与二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝2x，
∴y随x增大而增大，选项A错误．
∵y＝x2，
∴x＜0时，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大，选项B错误．
∵y＝﹣x+1，
∴y随x增大而减小，选项C正确．
∵y＝x+1，
∴y随x增大而增大，选项D错误．
故选：C．
2．画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
3
2
﹣1
﹣6
…
关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣1．其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝2时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝1和x＝4时y＝﹣1得到x＝0时的函数值．
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y＝2时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1，故③正确，符合题意；
故选：C．
3．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+m．上的点，若﹣3＜x1≤﹣2，3＜x2≤4，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∵﹣3＜x1≤﹣2，3＜x2≤4，
∴点（x1，y1）离对称轴的距离大于点（x2，y2）离对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（　　）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上
C．当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h≥2
D．该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＜2h，则y1＞y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴方程，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（h，﹣h+1），对称轴为直线x＝h，
∴抛物线最大值为y＝﹣h+1，选项A错误，
设h＝x，则﹣h+1＝﹣x+1，
∴抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上，选项B错误．
∵x≤h时，y随x增大而增大，
∴h≥2时，若x＜2，则y随x增大而增大，选项C正确．
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝h，
∴当x1+x2＜2h时，A（x1，y1）与对称轴的距离大于点B（x2，y2）与对称轴的距离，
∴y1＜y2，选项D错误．
故选：C．
5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+3的图象上，当x＝1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线x＝1，根据当x＝1时，y＜3，得出抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+3，
∴图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵当x＝1时，y＜3，
∴抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大，
∴点（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
6．已知y＝ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．2或 B． C． D．1
【分析】根据系数可得对称轴为x＝﹣1，因为x≥2，即在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以a＜0，再根据﹣2≤x≤1时，有最大值9，代入最大值公式求解即可．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+2ax+2a2+3，
∴对称轴为x＝，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
即在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴a＜0．函数有最大值．
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴，
即，
解得a1＝2，a2＝，
∵a＜0，
∴a＝，
故选：C．
7．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（　　）
A．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h B．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h
C．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 D．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，m＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故选：A．
8．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是抛物线y＝x2﹣2tx﹣1上两点，以下四个命题：①若y的最小值为﹣1，则t＝0；②点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t）；③当t≤1时，若x1+x2＞2，则y1＜y2；④对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m总有实数解，则m≥﹣1，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接根据二次函数的图象及性质逐项判定即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2tx﹣1
＝（x﹣t）2﹣t2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2tx﹣1的对称轴是直线x＝t，顶点坐标是（t，﹣t2﹣1），
①若y的最小值为﹣1，则﹣t2﹣1＝﹣1，
∴t＝0，故①正确；
②把x＝1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，
把x＝2t﹣1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，
∴A（1，﹣2t）和点B（2t﹣1，﹣2t）均在抛物线上，
∵＝t，
∴点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t），故②正确；
③当t≤1时，若x1+x2＞2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵x1＜x2，
∴x2离对称轴远，
∴y1＜y2，故③正确；
④∵x2﹣2tx＝1﹣m，
∴x2﹣2tx﹣1+m＝0，
∵对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m总有实数解，
∴△＝4t2﹣4m+4≥0，
解得m≤t2+1，故④错误；
综上所述，正确的有3个，
故选：C．
9．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小；
故①正确；
②∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则
1＝a（0+1）（0﹣m），
得：1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②错误；
③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，2022离对称轴近些，
∴yl＜y2；
故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∵该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得：1＜m≤，
故④正确；
∴①③④正确，②错误，
故选：D．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 　增大　.（填“增大”或“减小”）
【分析】由抛物线开口方向及对称轴求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
故答案为：增大．
11．写出一个满足“当x＞2时，y随x增大而减小”的二次函数解析式 　y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一　．
【分析】由题意可知抛物线开口向下，二次项系数为负；而二次函数的增减性是由对称轴分界的，可知对称轴是直线x＝2．
【解答】解：由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2；
所以满足条件的二次函数关系式为y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是 　m＜　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y3＞y1与y1＞y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
∵y3＞y1，
∴＞1，即＞1，
解得m＞，
∵y1＞y2，
∴＜1，
解得m＜，
∴m＜，
故答案为：m＜．
13．已知函数y＝x2+2x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣2≤y≤2，则m的取值范围是 　﹣3≤m≤﹣1　．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），从而可得m≤﹣1≤m+2，再将y＝2代入解析式求出m的取值范围，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∵y≥﹣2，
∴m≤﹣1≤m+2，
解得﹣3≤m≤﹣1，
将y＝2代入y＝x2+2x﹣1得2＝x2+2x﹣1，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴﹣3≤m＜m+2≤1，
解得﹣3≤m≤﹣1，
故答案为：﹣3≤m≤﹣1．
14．已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）①根据对称轴在y轴右侧可判断b＜0，根据顶点公式可求得b＝﹣；
②根据题意可得＜﹣＜，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵b＝2α，
∴x＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线顶点的纵坐标为1，
∴＝1，
解得：b＝2或b＝﹣，
∵b＜0，
∴b＝﹣；
②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，
∴＜﹣＜，
∴﹣2＜b＜0．
15．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤4）．
（1）当x分别取﹣1，0，1时对应函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．
（2）记二次函数的最小值为ymin，求证：ymin≤0；
（3）若函数过（a，b）点和（a+5，b）点，求b的取值范围．
【分析】（1）由函数解析式可知二次函数过（1，0）和（m，0），开口向上，可得二次函数在x≤1时，y随x的增大而减小，即可求解；
（2）将二次函数化为一般式，可得对称轴为x＝，由开口向上可得当x＝时，y取得最小值，ymin＝，即可证明；
（3）设直线y＝b与二次函数的交点为（x1，b），（x2，b），可得x1﹣x2＝5，联立，可得x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，推出x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，由（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，可得（m+1）2﹣4（m﹣b）＝25，推出b＝，再由m范围即可求解．
【解答】（1）解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1），
∴二次函数过（1，0）和（m，0），开口向上，
∴x≤1时，y随x的增大而减小，
∵x分别取﹣1，0，1时对应函数值为y1，y2，y3，
∴y1＞y2＞y3；
（2）证明：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1），
∴一般式为：y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴对称轴为x＝，
∵函数开口向上，
∴当x＝时，y取得最小值，
∴ymin＝（）2﹣（m+1）×+m＝，
∵≤0，
∴ymin≤0；
（3）解：设直线y＝b与二次函数的交点为（x1，b），（x2，b），
∵函数过（a，b）点和（a+5，b）点，
∴x1﹣x2＝5，
联立，可得：
x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2＝25，
即（m+1）2﹣4（m﹣b）＝25，
∴b＝，
令y′＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1
∵1≤m≤4，
∴﹣1≤y′≤8，
∴4≤b≤．
16．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝　﹣3　；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝　﹣2或2　时，y有最大值为 　1　；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；

（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．

【分析】（1）①把x＝4代入函数表达式即可求解；
②描点、连线，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象即可求得；
（2）解解析式构成的方程组即可求得；
（3）根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：

③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；
故答案为：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，
∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．