2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第1课时随堂练习题

1.4.1 空间中点、线、面的向量表示（第1课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据题意可得，再逐个选项代入判断即可.

【详解】要使成立，需使，将选项一一代入验证，只有D满足.

故选：D.

2．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图像，根据直棱柱侧棱垂直于底面即可求解．

【详解】如图，

∵、、均垂直于平面ABC，故选项D中可以作为平面ABC的法向量．

故选：D．

3．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）下列说法不正确的是(       )．

A．平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量

B．一个平面的所有法向量互相平行

C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D．如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量

【答案】D

【分析】根据平面法向量的定义和性质逐项判断即可.

【详解】对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；

对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故B正确；

对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；

对于D，如果与平面共面且，当共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.

故选：D.

4．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.

【详解】是正方形，且，

，

，

，，，，

，，

又，

，，

平面的法向量为，

则，得，，

结合选项，可得，

故选：C.

5．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出平面的法向量为，利用垂直关系，布列方程组，即可得到结果.

【详解】，．

设平面的法向量为．

由题意知，，

所以，解得，

令，得平面的一个法向量是．

故选：A

6．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】由题意可得,

设经过直线和点平面的法向量为，

则，

令，则 ，

所以，

所以经过直线和点平面的法向量为.

故选：A

7．（2022·全国·高二课时练习）有以下命题：

①一个平面的单位法向量是唯一的

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交

④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直

其中真命题的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.

【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；

当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；

因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；

若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.

故选：A

二、多选题

8．（2021·山东济宁·高二期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ）

A．直线的一个方向向量为

B．直线的一个方向向量为

C．平面的一个法向量为

D．平面的一个法向量为

【答案】AC

【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误.

【详解】由题意，,,,,,

∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；

设平面的法向量为， 则,

由，得，

令得，则正确;

设平面的法向量为，则，

由，得，

令得，则不正确.

故选：.

9．（2022·浙江温州·高二期末）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（       ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】ACD

【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.

【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；

若，则或，即B错误；

设的法向量分别为，若，则，又，则， ，所以，即C正确；

若，则，又，则，即D正确.

故选：ACD

三、填空题

10．（2022·全国·高二）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.

【答案】

【分析】根据可求出结果.

【详解】因为平面，所以，

则，解得.

故答案为：

11．（2022·全国·高二课时练习）若为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，已知，则的值为__________．

【答案】

【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解．

【详解】根据题意，若∥，则∥，

∴，解得，

∴.

故答案为：.

12．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．

【答案】

【分析】由题设，求面ABC的一个法向量，则其单位法向量是.

【详解】由题设，，

若是面ABC的一个法向量，则，

令，则，故面ABC的一个单位法向量是.

故答案为：

13．（2022·全国·高二课时练习）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.

【答案】2

【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案

【详解】设平面的法向量，则

，令，则，

因为，

所以四棱锥的高为，

故答案为：2

14．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】设平面的法向量为，则有，然后赋值即可得出答案.

【详解】解：，

设平面的法向量为，

则有，令，则，

所以，

所以平面的法向量可以是.

故答案为：（答案不唯一）.

15．（2022·全国·高二课时练习）已知平面的一个法向量为，写出一个以为起点，且平行于平面的单位向量的终点坐标为______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】设终点坐标为，写出单位向量，由向量垂直和向量的模得方程组，取方程组的一个解即可（答案不唯一）．

【详解】设终点坐标为，则单位向量为，

则，可取，，，即终点坐标为.

故答案为：（答案不唯一）

16．（2022·全国·高二课时练习）以下真命题共有___________个.

①一个平面的单位法向量是唯一的；

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.

【答案】1

【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③.

【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误；

②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误；

③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确.

综上，正确命题共有1个

故答案为：1

17．（2022·全国·高二课时练习）两个平面垂直的充要条件是它们的法向量_______．

【答案】垂直

【分析】已知平面垂直及其法向量，利用面面、线面垂直的性质判断充分性，再根据面面垂直的判定判断必要性.

【详解】如下图，若为的法向量即且，：

作且，，，由面面垂直的性质知：，

而，则，

又为的法向量即，，则，

综上，，充分性成立.

如下图，若所在直线且：

由为的法向量，则，

而，则为的法向量，即，

所以，必要性成立.

综上，两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直.

故答案为：垂直

18．（2022·全国·高二单元测试）若、都是平面的法向量，则和的关系是______．

【答案】

【分析】根据平面的法向量的定义，可得答案.

【详解】由于平面的法向量都垂直于该平面，

故、都是平面的法向量，则和的关系是平行关系，即，

故答案为：

四、解答题

19．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与y轴垂直的平面的方程．

【答案】

【分析】由是所求平面的一个法向量，令是平面上的点，则在平面上，利用空间向量垂直的坐标表示即可求平面的方程.

【详解】由题设，所求平面的一个法向量为，

若是所求平面上的点，则，

所以，即所求平面方程为.

20．（2022·全国·高二课时练习）写出经过点，且与x轴垂直的平面的方程．

【答案】

【分析】设为所求平面上的点，则且为该平面的一个法向量，利用空间向量的垂直关系即可得该平面的方程．

【详解】由题设，所求平面与垂直且过，

若为该平面上的点，则在该平面上，

所以，可得所求平面的方程为.

21．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．

【答案】（结果不唯一）

【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可.

【详解】不妨设平面的法向量，又，

故可得，即，不妨取，故可得，

故平面的一个法向量为.

又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可.

故答案为：.（结果不唯一）

22．（2022·全国·高二课时练习）分别写出平面，平面，平面的一个法向量的坐标．

【答案】平面，平面，平面的一个法向量坐标分别为、、.

【分析】写出各个平面中的两个不平行的向量，设法向量坐标，由空间向量垂直的坐标表示列方程求出法向量的坐标．

【详解】由平面上存在不平行向量、，

若是平面的一个法向量，则，

易知：是平面的一个法向量.

由平面上存在不平行向量、，

若是平面的一个法向量，则，

易知：是平面的一个法向量.

由平面上存在不平行向量、，

若是平面的一个法向量，则，

易知：是平面的一个法向量.

23．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标，并在坐标平面中作出该向量．

【答案】法向量为，作图见解析.

【分析】由题设求、的坐标，设为所求法向量，利用向量垂直的坐标表示求法向量坐标，进而画出该向量即可.

【详解】由题设，，，若是面ABC的一个法向量，

所以，令，则.

24．（2022·广东江门·高二期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；

(2)求平面的一个法向量．

【答案】(1)(答案不唯一)

(2)(答案不唯一)

【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量；

（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.

(1)因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．

(2)因为正方体的棱长为3，，

所以M，B，的坐标分别为，，，

因此，，

设是平面的法向量，则

，，

所以，

取，则，．于是是平面的一个法向量．

【能力提升】

一、单选题

1．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（       ）

A．，，且，

B．，，且

C．，，且

D．，，且

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.

【详解】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；

对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；

对于C，，，且，则，故C正确；

对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.

故选：C.

2．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（       ）

①平面的法向量与平面的法向量垂直；

②异面直线与所成的角的余弦值为；

③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长；

④直线与平面所成的角为．

A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④

【答案】C

【分析】对①：由平面与平面不垂直，即可判断；

对②：过点作和平行且相等，则四边形为矩形，（或其补角）为异面直线与所成的角，解三角形即可得判断；

对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角形的外接圆的圆心，又平面，所以为四面体外接球球心，从而即可判断；

对④：由平面，可得为直线与平面所成的角，从而即可判断.

【详解】解：对①：由题意，平面与平面不垂直，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故①错误；

对②：设，则，，过点作和平行且相等，则由题意可得为矩形，

（或其补角）为异面直线与所成的角，

由题意，平面平面，且交线为，又，所以平面，

所以，同理，

因为，

所以在等腰三角形中，，

所以异面直线与所成的角的余弦值为，故②错误；

对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角的外接圆的圆心，又易得平面，所以为四面体外接球球心，半径为,因为，所以四面体外接球半径为，故③正确；

对④：由平面，可得为在平面内的射影，

所以为直线与平面所成的角，故④正确.

3．（2022·全国·高二期末）下列四个命题中，正确命题的个数是（       ）

①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；

③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断.

【详解】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；

③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.

故选：D

4．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二期中）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（       ）

A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】C

【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.

向量方向相同的单位向量是，B选项错误.

，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.

，所以不是平面的法向量，D选项错误.

故选：C

5．（2021·全国·高二单元测试）在四面体ABCD中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以B为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范围.

【详解】以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系:

因为为等边三角形，不妨设,

由于,所以

因为当时四点共面,不能构成空间四边形,所以

则,,

由空间向量的坐标运算可得

设平面的法向量为

则代入可得

令,则,所以

设平面的法向量为

则,代入可得

令,则,所以

二面角的大小为

则由图可知,二面角为锐二面角

所以

因为

所以

即

所以

故选:C

【点睛】根据直线与平面夹角的特征及取值范围,即可求解,对空间想象能力要求较高,属于中档题.

6．（2021·全国·高二专题练习）如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值.

【详解】设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:

则由

可得,

,是的两个三等分点

则

所以

设平面的法向量为

则,代入可得

化简可得

令,解得

所以

平面的法向量为

由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足

设二面角的法向量为

则代入可得

化简可得

令,解得

所以

平面的法向量为

由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足

由二面角的范围可知

结合余弦函数的图像与性质可知

即

化简可得,且

所以

所以的最大值是

故选:B

【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.

二、多选题

7．（2021·辽宁营口·高二期末）以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（       ）

A．

B．与平面BCD的法向量平行

C．

D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

【答案】AB

【分析】作图，梳理出图中包含的垂直关系，即、、、平面平面，从而推出平面ABD来判断选项A；可通过平面来判断选项B；可假设结论成立进行推导条件，通过对比条件，来判定假设成不成立，从而判断选项C；可判断两平面是否垂直，来判定其法向量是否垂直可判断选项D.

【详解】

如图所示，由已知可得，为等腰三角形，且，翻折后可得、，平面平面，

对于选项A，平面平面，平面平面，且，所以平面，而平面，故，该选项正确；

对于选项B，、且，故平面，所以与平面BCD的法向量平行，该选项正确；

对于选项C，由选项A可知，，假设成立，则平面，此时，该结论与矛盾，故该选项错误；

对于选项D，因为平面平面，平面平面，平面平面，故平面与平面不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不互相垂直，故该选项错误.

故选：AB.

8．（2021·湖北·襄阳五中高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（       ）

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，四棱锥的外接球的表面积是

C．若直线与平面所成角的正弦值为，则

D．存在唯一的实数对，使得平面

【答案】ABC

【分析】根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A，当时， 是的中点，连接与交于点，则为的中点，

∴，面，又点在上，∴点到面的距离为定值，

∴三棱锥的体积为定值，故A正确；

对于B，当时，点为的中点，设四棱锥的外接球的半径为，

则球心O在PM延长线上，由OP=R得OM=，

由得，解得，

∴外接球的表面积为，故B正确；

对于C，连接，过点作于，连接，

∵平面，∴平面平面，

平面平面，∴平面，

∴为与平面所成角，

∵，∴，，

在由余弦定理有，

在中由勾股定理有，

∴，解得，故C正确．

对于D，∵点在上，又在上，在上，∴平面即为平面，

又易证平面，∴是平面的法向量，

∴要使平面，须与共线，即须与共线，显然不可能，

∴不存在实数对使得平面，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

9．（2021·天津市实验中学滨海学校高二阶段练习）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.

【答案】

【分析】构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设，进而得到、、的坐标，根据线面垂直有求参数t，即可知线段的长.

【详解】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意，，，，，，设，，

∴，，，

平面，

∴，即，

，解得

线段的长为

故答案为：

10．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：

（1）直线BC的一个方向向量___________；

（2）点OD的一个方向向量___________；

（3）平面BHD的一个法向量___________；

（4）的重心坐标___________.

【答案】                   

【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.

对于（1）（2）：直接求出方向向量；

对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；

对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.

【详解】由题意可得：,,..

由图示，可得：，，，，，，

（1）直线BC的一个方向向量为，

（2）点OD的一个方向向量为；

（3）,.设为平面BHD的一个法向量，

则，不妨设，则.

故平面BHD的一个法向量为.

（4）因为，，，，

所以的重心坐标为.

故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.

四、解答题

11．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．

(1)求证：直线平面；

(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)在直线上存在一点，且，使得平面．

【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明直线平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证平面，进而求得点的位置．

(1)在直三棱柱中，

是的中点，

又为的中点   ，而，

四边形是平行四边形，

平面平面，平面．

(2)在直线上找一点，使得平面，证明如下：

在直三棱柱中，   

又两两垂直，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，

在线段上，设，则，

则，

，则，，

设平面的法向量，

则，取，得，

平面，，解得，

在直线上存在一点，且，使得平面．

12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，底面是等腰直角三角形，，，侧棱，点D，E分别是和的中点，求点到平面AED的距离．

【答案】.

【分析】利用已知的空间直角坐标系，求出平面AED的法向量，再借助点到平面的距离公式计算作答.

【详解】直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，在给定的直角坐标系中，

点，则棱中点，

线段中点，，

设平面AED的一个法向量，则，令，得，

而，所以点到平面AED的距离.

13．（2022·全国·高二课时练习）已知直线经过点，平行于向量，直线经过点，平行于向量，求与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标．

【答案】（不唯一）

【分析】由题设，、是直线、的方向向量，设面的法向量，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.

【详解】由题设，直线、的方向向量分别为、，而，

所以直线、不平行，

设与两直线，都平行的平面的一个法向量，

所以，令，则.

故与两直线，都平行的平面的一个法向量的坐标.

14．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；

(2)平面；

(3)平面．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

（1）由于平面，所以为平面的一个法向量，

（2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量，

（3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量

(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，

因为平面，所以为平面的一个法向量，

所以平面的一个法向量为，

(2)设平面的法向量为，

因为，

所以，令，则，

所以平面的一个法向量为，

(3)设平面的法向量为，

因为，

所以，令，则

所以平面的一个法向量为

15．（2020·海南·儋州市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）点在棱上，且二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）取中点，连结，，根据三角形中位线的性质，得出，，结合条件，可证出四边形为平行四边形，得出，最后根据线面平行的判定定理，即可证明直线平面；

（2）建立空间直角坐标系，设，则可得，由图可知底面法向量，根据空间向量法求出平面的法向量，利用已知的二面角余弦值，求出，得出点坐标，再利用空间向量求线面角的公式，求出直线与底面所成角的正弦值.

【详解】

解：证明：（1）取中点，连结，，

因为为的中点，所以，，

由，得，

又，所以,//，

则四边形为平行四边形，有，

又平面，平面，故平面.

（2）

由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设，则可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，则，

又易知底面的一个法向量为，

由于二面角的余弦值为，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，

则，

∴直线与底面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量法求空间角的问题，考查空间思维和计算能力.