数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

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1.3.1空间直角坐标系（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·四川成都·高二期中（理））已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D2．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得，，所以，所以，所以的坐标为．故选：B．3．（2021·浙江台州·高二期末）点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是，所以点关于平面对称的点的坐标是，故选：C二、多选题4．（2021·河北·武安市第三中学高二阶段练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．【详解】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC三、填空题5．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为______．【答案】【分析】空间直角坐标系中任一点 关于坐标平面 的对称点 ，写出结果即可【详解】由题意可得：点关于 平面的对称点的坐标是 ，故答案为：6．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P关于x轴的对称点是②点P关于平面的对称点是③点P关于y轴的对称点是④点P关于原点的对称点是【答案】④【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可．【详解】解：①点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；②点关于平面的对称点的坐标是，，，则②错误；③点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；④点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，故正确的序号是④.故答案为：④.三、解答题7．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标．【分析】利用正方体的几何特征建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由此即可求出向量坐标.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，.8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，分别求点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的坐标．【答案】关于x轴对称，关于平面对称，关于坐标原点对称【分析】根据空间直角坐标系中点关于x轴、平面、坐标原点对称的点的特征即可得出答案.【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，关于平面对称的点的坐标为，关于坐标原点对称的点的坐标为.【能力提升】一、单选题1．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点设点的坐标为，由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为；当或1，且或1时，取得最大值为0，则的取值范围是故选D．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．2．（2021·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（文））已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为(　　)A．  B．  C．  D． 【答案】C【分析】设出C点的坐标，根据A，B，C三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x，y，z的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．【详解】设C的坐标是（x，y，z）∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，∴ ∵，∴由此解得 ，故选C.【点睛】本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，只要满足平行的充要条件，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．3．（2021·全国·高二专题练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出．【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则 故选C．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题4．（2021·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 【答案】               【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.【详解】因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.故答案为：；；【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.三、解答题5．（2021·全国·高二专题练习）已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设D(x,y,z)，由向量平行的坐标运算可求得D点坐标．（2）假设存在，由待定系数法求解．【详解】(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.【点睛】已知，若，则，，所以．