高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词巩固练习

1.5 全称量词与存在量词

一、全称量词与全称量词命题

1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．

【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），

符号表示为：对．

【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；

（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

二、存在量词与存在量词命题

1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，

称为全存在量词，用符号“”表示．

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．

存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对．

【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；

（3）有些命题虽然没有写出存在量词，

但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题

三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

1、判断全称量词命题真假：

若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；

若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；

2、判断存在量词命题真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，

则这个命题为真，否则为假。

四、命题的否定

1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．

2、全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．

3、存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．

4、命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．

5、常见正面词语的否定：

题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断

【例1】下列命题中为全称量词命题的是（    ）

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

【答案】B

【分析】根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案.

【解析】对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题；

对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题；

对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题；

对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题.故选：B.

【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ）

A．有一个偶数是素数

B．一元二次方程不总有实数根

C．每个四边形的内角和都是

D．有些三角形是直角三角形

【答案】C

【解析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知，

A,B,D是存在量词命题，C是全称量词命题.故选：C.

【变式1-2】下列语句不是全称量词命题的是（    ）

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个学生都充满阳光

【答案】C

【解析】A中的量词为“任意一个”，是全称量词；B中的量词为“都是”，是全称量词；

D中的量词为“每一个”，是全称量词；

C中的量词为“绝大多数”，是存在量词命题，不是全称量词．故选：.

【变式1-3】下列语句是存在量词命题的是（    ）

A．整数n是2和5的倍数        B．存在整数n，使n能被11整除

C．若，则          D．，

【答案】B

【解析】对于A，不是命题，不能判断真假，故A错误；

对于B，命题含有存在量词“存在”，故B是存在性命题，B正确；

对于C，是“若p则q”的形式命题，C错误；

对于D，是全称量词命题，D错误.故选：B

【变式1-4】判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.

（1）所有不等式的解集A，都满足A⊆R；

（2）有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；

（3）对任意a，b∈R，若a>b，则；

（4）自然数的平方是正数.

【答案】（1）全称量词命题；（2）是存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题.

【解析】（1）命题中强调全称量词“所有”，所以该命题为全称量词命题；

（2）命题中强调存在量词“有些”，所以该命题为存在量词命题；

（3）命题中强调全称量词“任意”，所以该命题为全称量词命题；

（4）该命题实质是“任意一个自然数的平方都是正数”， 强调全称量词“任意”，

所以该命题为全称量词命题.

【变式1-5】下列命题与“”的表述方法不同的是（    ）

A．有一个，使得        B．有些，使得

C．任选一个，使得      D．至少有一个，使得

【答案】C

【解析】由题意，根据存在性命题的概念，可得命题“”为存在命题，

所以A、B、D与命题“” 的表述方法相同，

但命题“任选一个，使得”为全称命题，

所以与题设中命题表述不同.故选：C.

题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假

【例2】在下列命题中，是真命题的是（    ）

A．

B．

C．

D．已知，则对于任意的，都有

【答案】B

【解析】选项A，，即有实数解，

所以，显然此方程无实数解，故排除；

选项B，，，故该选项正确；

选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；

选项D，，当时，

当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.故选：B.

【变式2-1】已知命题：当时，关于x的方程没有实数解．下列说法正确的是（    ）

A．p是全称量词命题，且是假命题        B．p是全称量词命题，且是真命题

C．p是存在量词命题，且是假命题        D．p是存在量词命题，且是真命题

【答案】A

【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，

但当时，方程有实数解，

故命题是全称量词命题，且为假命题，故选：A

【变式2-2】下列四个命题∶.

①

②

③

④至少有一个实数x，使得x3+1=0

其中真命题的序号是（    ）

A．①③        B．②③        C．②④        D．①④

【答案】D

【解析】对于①，，当时等号成立，①正确，

对于②，由于，故②错误，

对于③，当时，，③错误，

对于④，当时，，故④正确，

所以正确的为①④.故选：D.

【变式2-3】下列全称量词命题与存在量词命题中：

①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；

②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；

③是无理数，是有理数；

④是无理数，是无理数.

其中真命题的个数是（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【答案】B

【解析】对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，

对任意，都有，①是真命题；

对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，

存在，使得，②是真命题；

对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；

对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.

所以①②是真命题.故选：B

【变式2-4】（多选）下列命题中为假命题的是（    ）

A．，               B．，

C．，        D．，

【答案】ABC

【解析】对于A：当时，故A错误；

对于B：若，则，即不存在，使得，故B错误；

对于C：当时，故C错误；

对于D：当时，，故D正确；故选：ABC

题型三 由全称量词命题的真假求参数

【例3】已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】“，方程有解”是真命题，

故，解得：，故选：B

【变式3-1】已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由题意，是真命题，

则，，即

则实数a的取值范围是。故选：C

【变式3-2】若命题“，一次函数的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围．

【答案】

【解析】当时，．

因为一次函数的图象在x轴上方，

所以，即，

所以实数m的取值范围是.

【变式3-3】已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】若命题：，是真命题，

则对于恒成立，

当时，可得：不满足对于恒成立，

所以不符合题意；

当时，需满足解得，

所以实数的取值范围是，故选：C

【变式3-4】若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是______

【答案】

【解析】由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题，

根据二次函数的性质，可得，即，解得，

所以实数a的取值范围的解集是.

题型四 由存在量词命题的真假求参数

【例4】若，，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】若，，

则，解得，故选：B．

【变式4-1】命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】因为命题“”为真命题，

所以方程有2不等实根，

故，解得或，

【变式4-2】若p：存在，使是真命题，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】存在，使，

即存在，使，所以．

【变式4-3】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为命题“，”为假命题，

则，解得.故选：B.

题型五 含有一个量词的命题的否定

【例5】命题“∀x>2，x2﹣3>0的否定是（    ）

A．∃x0≤2，x02﹣3≤0        B．∀x>2，x2﹣3≤0

C．∃x0>2，x02﹣3≤0        D．∀x≤2，x2﹣3≤0

【答案】C

【解析】命题为全称命题，则命题的否定为，故选：C.

【变式5-1】命题“”的否定是（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】D

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“”的否定是，故选：D

【变式5-2】设命题，，则命题p的否定为（    ）

A．，        B．，

C．，        D．，

【答案】B

【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，

存在量词命题，的否定为：，.故选：B.

【变式5-3】命题“，”的否定为(    )

A．，        B．，

C．，        D．，

【答案】B

【解析】“，”的否定为“，”，故选：B﹒