高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时作业

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3.1.2 函数的表示法 一、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。优点：能形象直观地表示函数的变化情况；缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。二、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题（1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出三、分段函数1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 题型一 待定系数法求解析式【例1】已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ）A．        B．         C．        D．【答案】B【解析】设，∵，，∴.故选：B.  【变式1-1】设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ）A．或        B．C．                    D．【答案】B【解析】设，其中，则，所以，，解得或.当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.  【变式1-2】已知是二次函数．且．则________．【答案】【解析】设，则，，所以，又，因此，解得，所以.  【变式1-3】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ）A．3        B．8        C．9        D．16【答案】C【解析】根据题意设，则，因为，所以，解得，所以，所以，故选：C  题型二 换元法求解析式【例2】已知，则（    ）．A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】令，则，；所以.故选：D.  【变式2-1】设函数，则的表达式为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】令，则且，所以，，因此，.故选：B.  【变式2-2】已知，则的解析式为（    ）A．            B．C．        D．【答案】D【解析】因为，所以令，则，所以，所以，因为，所以，即，所以.故选：D.  【变式2-3】设，，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为，所以又因为，所以，令，则，，所以.故选：B.  题型三 配凑法求解析式【例3】已知函数，则＝（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】由函数得∴．故选：A．  【变式3-1】若函数，且，则实数的值为（    ）A．        B．或        C．        D．3【答案】B【解析】令（或），，，，.故选：B  【变式3-2】已知，求的解析式.【答案】【解析】，因为 所以.  【变式3-3】已知，则=_____.【答案】或【解析】，或．故答案为：或．  题型四 方程组法求解析式【例4】已知，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】解：由，得，解得.故选：A.  【变式4-1】已知满足，求的解析式.【答案】.【解析】因为满足，则，联立方程组解得，即为所求.  【变式4-2】已知函数满足，则等于（    ）A．        B．3        C．        D．1【答案】A【解析】①，则②，联立①②解得，则,故选：A  【变式4-3】已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ）A．f(x)＝x2－12x＋18        B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9              D．f(x)＝2x＋3【答案】B【解析】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，. 故选：B  题型五 求分段函数的解析式【例5】已知函数，则（    ）A．5        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为所以，故选：A  【变式5-1】设函数，则的值为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B  【变式5-2】已知函数，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为，所以，，，故选：B．  【变式5-3】已知函数，若，则___________.【答案】0【解析】若，；若，；若，.综上，.