高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步达标检测题，文件包含42指数函数-题型分类归纳2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练人教A版2019必修第一册解析版docx、42指数函数-题型分类归纳2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
4.2 指数函数 一、指数函数的概念1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果，当（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定且．二、指数函数的图象与性质    图象  性质定义域 值域 过定点 单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数三、比较指数幂的大小比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．四、简单指数不等式的解法1、形如的不等式，可借助的单调性求解；2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 题型一 指数函数的概念判断【例1】下列函数中，是指数函数的个数是（    ）①；②；③；④.A．1        B．2        C．3        D．0【答案】D【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数故选：D.  【变式1-1】下列是指数函数的是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.  【变式1-2】下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（    ）A．0个        B．1个        C．2个        D．3个【答案】B【解析】形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B.  【变式1-3】函数，，，，其中指数函数的个数为（    ）A．1        B．2        C．3        D．4【答案】B【解析】因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数，故选：B．  题型二 利用指数函数的概念求参【例2】函数是指数函数，则（    ）A．或        B．        C．        D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C  【变式2-1】若函数是指数函数，则等于（    ）A．或        B．        C．        D．【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.  【变式2-2】函数是指数函数，则有（    ）A．a＝1或a＝3        B．a＝1        C．a＝3        D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故选：C  【变式2-3】已知函数和都是指数函数，则______.【答案】【解析】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以，  题型三 求指数函数的解析式【例3】若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．【答案】【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.  【变式3-1】已知函数是指数函数，且，则________.【答案】【解析】设（且），则，得，故，因此，.  【变式3-2】已知是指数函数，若，则___________.【答案】【解析】设，因为，即，解得，所以，即．  【变式3-3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】当时，则，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以当时．  题型四 指数型函数过定点问题【例4】函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B  【变式4-1】对任意实数且关于x的函数图象必过定点(    )A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).故选：C.  【变式4-2】已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．【答案】【解析】由解析式，当，即时，所以的图像恒过定点.  【变式4-3】已知函数（，且）的图象过定点，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】函数（，且）的图象过定点，所以为，，故选：C.  题型五 指数函数的图象问题【例5】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）A．，        B．，        C．，        D．，【答案】D【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.  【变式5-1】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（       ）A．，        B．，        C．，        D．，【答案】C【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，又由，可得，可得，结合选项，只有C项适合.故选：C.  【变式5-2】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）A．，，，     B．，，，     C．，，，     D．，，，【答案】C【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.  【变式5-3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（    ）A．        B．      C．；        D．．【答案】B【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，所以，故选：B  【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ）A．     B．     C．     D．【答案】C【解析】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项；对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确；故选：C.  【变式5-5】已知函数（且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为函数（且）的图象不经过第二象限，所以，解得，即；故选：A  【变式5-6】如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则，解得，故选：B  题型六 比较指数幂的大小【例6】已知，则的大小关系为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．  【变式6-1】若，则a､b､c的大小关系是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即，故选：A  【变式6-2】已知函数，则的大小关系为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而递增，故，故选：D  【变式6-3】设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，在上单调递减所以，故.故选：B  【变式6-4】若，，，，则，，的大小关系为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】由指数函数是上的减函数，，即，幂函数，在上是增函数，，即，，故．故选：D．  【变式6-5】已知函数，，是正实数，，，，则，，的大小关系为(    )A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】因为，是正实数，所以由基本不等式可得：，又，，所以，因为函数为减函数，所以，即.故选：A.  题型七 解指数型不等式【例7】若x满足不等式，则函数的值域是（    ）A．        B．        C．        D． 【答案】B【解析由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.  【变式7-1】已知函数，则不等式的解集为(    )A.        B.        C.        D.【答案】B【解析】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.  【变式7-2】不等式的解集是______．【答案】【解析】．  【变式7-3】解不等式（且）.【答案】当时，解集为，当时，解集为.【解析】当时，由于单调递增，所以，解得：或；当时，于单调递减，所以，解得：，综上：当时，解集为，当时，解集为.  【变式7-4】已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数；又均为单调增函数，故是上的单调增函数；则，即，也即，故，，解得.故不等式的解集为.故答案为：.  【变式7-5】已知函数.若，则实数的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】令，∴，即为奇函数，又在R上均为减函数，∴为减函数，由得：，∴，即，解得.故选：D.  题型八 指数型函数的单调性问题【例8】函数的单调递减区间是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.  【变式8-1】函数的单调递减区间为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：的单调递减区间为.故选：D  【变式8-2】函数的单调递增区间为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】设，函数的单调减区间是 由于在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，故选：A  【变式8-3】函数的单调递增区间为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】依题意，，解得：，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：C  【变式8-4】函数的严格增区间为_______.【答案】【解析】令，则函数为，为减函数，所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间，又，所以的减区间为，所以函数的严格增区间为.  【变式8-5】函数的单调递增区间是_________．【答案】【解析】令， ，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减；因为单调递增，所以函数的单调递增区间为.  【变式8-6】若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为所以，即故答案为：  【变式8-7】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.  题型九 指数型函数的奇偶性问题【例9】已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.【答案】【解析】由于是定义在R上的奇函数，所以，所以，由于是奇函数，所以，所以，即，所以.  【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，求实数的值.【答案】【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得.  【变式9-2】已知函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】由题设，，所以.  【变式9-3】已知函数是偶函数，则常数的值为__．【答案】【解析】易知函数定义域为函数是偶函数对定义域内每一个都成立，，对定义域内每一个都成立，即 .  【变式9-4】设函数（且）是定义域为的奇函数．求实数k的值；【答案】【解析】函数（且）是定义域为的奇函数,则，所以，又时，，对任意的，都有成立，满足题意，所以；  题型十 指数型函数的值域问题【例10】函数的值域是__________.【答案】【解析】因为指数函数在上为单调递减函数，所以当x=-3时，函数有最大值为，当x=1时，函数有最小值为，所以值域为.  【变式10-1】函数，的值域是(    )A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】令，则，则，故选：A.  【变式10-2】已知函数，，则函数的值域为（    ）．A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B  【变式10-3】函数在上的值域为___________.【答案】【解析】∵则令在递增∴故答案为：．