2023届届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期期初联考文科数学试题含解析

这是一份2023届届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期期初联考文科数学试题含解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则（    ）A．     B．     C．     D．2．已知复数z满足，则（    ）A．2     B．3     C．     D．3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（    ）
A．     B．     C．     D．4．已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件     B．必要不充分条件C．充分必要条件       D．既不充分又不必要条件5．如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）A．     B．     C．     D．6．下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（    ）A．1     B．2     C．3     D．47．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则（    ）A．     B．     C．     D．8．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，对于D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S，随高度h的变化而变化，变化的关系式为，则该零件的体积为（    ）A．     B．     C．     D．9．若，则（    ）A．图像关于直线对称     B．图像关于点对称C．最小正周期为          D．在上单调递增10．已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，则a，b，c的大小关系为（    ）A．     B．     C．     D．11．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）A．向左平移个单位长度          B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度          D．向右平移个单位长度12．如图，已知椭圆和双曲线在x轴上具有相同的焦点，设椭圆与双曲线的上半部分交于A，B两点，线段与双曲线交于点C．若，则椭圆的离心率是（    ）A．     B．     C．     D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．近几年来移动支付越来越普遍，不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15-75岁的人群进行随机抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是__________．14．已知向量满足，且，则__________．15．已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围为__________．16．设函数，①若，则的最小值为__________；②若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题考生根据要求作答．17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若点D为的中点，且，求的值．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2021年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，点M在线段上，且，N为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积．20．已知函数．（1）定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值；（2）若，证明：．21．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线M的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（t为参数，)，直线，垂足为O．以O为坐标原点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别求出曲线M与直线的极坐标方程；（2）设直线分别与曲线M交于A、C与B、D，顺次连接A、B、C、D四个点构成四边形，求．23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．             2023届高三第一学期期初检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式，可得集合，由二次函数的值域可得集合，再进行交集运算即可求解.【详解】由得：，因为， 所以，由得：，所以，故选：D．2. 已知复数满足，则（    ）A. 2 B. 3 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】将已知条件表示出，在根据模长公式求解即可.【详解】设（），则由，得，由复数相等的充要条件，得，解得，，故，所以．故选: C3. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：、、、、、，其中是质数的有：、，故所求事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.4. 已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面，，直线平面，当时，或，不充分；当时，，必要.故选：B.5. 如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知，所以，故选：A.6. 下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.【详解】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.7. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由面积公式可得，由余弦定理可得：得，再由正弦定理可得答案【详解】，所以，由余弦定理可得： 得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.8. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.根据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为，随高度的变化而变化，变化的关系式为，则该零件的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一致，由祖眶原理，该零件的体积等于该半球的体积，从而可得答案.【详解】由祖眶原理，该零件在高为的水平截面的面积为.而恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一致，所以该零件的体积等于该半球的体积： 故选：C9. 若，则（    ）A. 图像关于直线对称 B. 图像关于对称C. 最小正周期为 D. 在上单调递增【答案】B【解析】【分析】分别取特值可判断ACD不正确，由可判断B正确.【详解】对于A，由于，，所以图像不关于直线对称，A错误；对于B，由于，所以图像关于对称，正确；对于C，，，所以不是函数的周期；对于D，，所以在上不是单调递增.故选：B.10. 已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，则a，b，c的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由是偶函数在上递减，故在上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果.【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上递减，所以在上递增，，，，因为，在上递增，所以，即，故选：B11. 函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【详解】 , ， , , ,解得： ，所以 ， ， ，根据平移原则，可知函数向左平移个单位，故选B.12. 如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设，可得，为则双曲线的实半轴），，又，，则，即可求椭圆的离心率．【详解】解：如图，设，则，，，，为则双曲线的实半轴），根据双曲线定义可得，， 在△中，满足，，则，则椭圆的离心率是．故选：C．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 近几年来移动支付越来越普遍，不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15—75岁的人群进行随机抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样､系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是_________.【答案】分层抽样【解析】【分析】根据简单随机抽样､系统抽样和分层抽样的特点进行判断即可.【详解】不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，故最合适的抽样方法是分层抽样.故答案为：分层抽样14. 已知向量满足，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.【详解】因为，所以，，所以，所以，.故答案为：.15. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．【详解】由不等式解集知，由根与系数的关系知，则，当且仅当，即时取等号．故答案为：．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16. 设函数①若，则的最小值为________；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．【答案】    ①. －1    ②. 【解析】【分析】①代入a＝1，根据指数函数和二次函数单调性即可求最值；②分a≤0，0＜2a＜1，0＜a＜1≤2a，a≥1四种情况讨论f(x)零点即可.【详解】①a＝1时，x＜1时，f(x)，x≥1时，f(x)≥f()＝－1，∴f(x)的最小值为－1；②a≤0时，＞0，在x≥1时也为正，f(x)无零点；故a＞0，令＝0得，x＝，令＝0得，x＝a或2a，当0＜2a＜1，即0＜时，f(x)不可能有两个零点，当0＜a＜1≤2a，即≤a＜1时，x＝2a为f(x)零点，∵，故＝0也有解，即x＝也为f(x)零点，故f(x)有两个零点满足题意；当a≥1时，x＝a或2a均为f(x)的零点，故＝0在x＜1时无解，则≤0a≥2；综上，.故答案为：－1；﹒三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题考生根据要求作答．17. 在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件 转化为 ，从而求得，结合三角形内角的取值范围，求得，第二问利用余弦定理，得到 ，将代入上式，整理得到，结合正弦定理求得.详解：（1）在中，由正弦定理得 ，，，则，，（2）在中，由余弦定理得 ，在中，由余弦定理得 ，， ，整理得，，由正弦定理得点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到，在求角的时候，必须将角的范围写上.18. 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.【答案】（1）万；（2）应着重提高30-50这个年龄段的签约率，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段的居民人数，再求和，即可得出结果；（2）根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以上的人数，即可确定结果.【详解】（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；在60-70岁的签约人数为：万；在70-80岁的签约人数为：万；在80岁以上的签约人数为：万；故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；（2）年龄在10-20岁的人数为：万；年龄在20-30岁的人数为：万.所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；年龄在30-50岁的人数为万，签约率为37.1%.年龄在50岁以上人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大.故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率.19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中，，点M在线段PC上，且，N为AD的中点．（1）求证：平面PNB；（2）若平面平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面PNB.（2）根据题意得到，计算，，计算得到答案.【小问1详解】∵，N为AD的中点，∴，∵底面ABCD为菱形，，∴，，，∴，则，∵，∴平面PNB.【小问2详解】∵，∴，∵平面平面ABCD，平面平面，，∴平面ABCD，平面ABCD，∴，∴，∵平面PNB，，∴平面PNB，∵，∴．20. 已知函数．（1）定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值；（2）若，证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用列举归纳法，可得的周期为4，则得，由，即可求得值；（2）分析可得要证，只需证，再利用导数分别证得，，即可证明结论成立．【小问1详解】解：由题意得：，，，，∴的周期为4，故．∵，∴．【小问2详解】证明：要证，即证，又，则，故只需证，令，，则，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，所以，令，则，所以在上，单调递增，所以，所以，所以，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以，所以，得证．21. 已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点在C上，过Q作两条互相垂直直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由．可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．【小问1详解】解：由，可得，代入．解得或（舍），所以抛物线的方程为：．【小问2详解】解:由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由，得，从而，则．所以，，∵，∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与Q点重合，不符合；若，则，过定点．综上，直线过异于Q点的定点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，，直线的参数方程为（为参数，），直线，垂足为.以为坐标原点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出曲线与直线的极坐标方程；（2）设直线､分别与曲线交于､与､，顺次连接､､､四个点构成四边形，求.【答案】（1）曲线极坐标方程为，直线的极坐标方程且.    （2）.【解析】【分析】（1）首先将、化为普通方程，再应用公式法求曲线与直线的极坐标方程，最后由两线垂直写出的极坐标方程.（2）由题设知，令，，联立（1）中所得极坐标方程，结合韦达定理求值即可.【小问1详解】由的参数方程，可得，则，即，∴.由题设知：为，故的极坐标方程为，又，∴为且.【小问2详解】由题设知：，若，,联立与：，可得，，联立与：，可得，，∴.∴.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）分析可得知，使得或成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，．当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时．因此，当时，不等式的解集为；（2）当时，可化为，所以，或，即存在，使得或．，因为，所以，则，，因，所以，所以，因此，实数的取值范围为．