2023届辽宁省实验中学六校高三上学期期初考试数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省实验中学六校高三上学期期初考试数学试题含解析，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022—2023学年度（上）六校高三期初考试数学试题考试时间：120分钟  满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.  的否定是（    ）A.    B.   C.  ， D. ：2. 已知集合则（    ）A.  B.  C.  D. 3. 设等差数列的前项和为，若则（    ）A. 150 B. 120 C. 75 D. 604. 在的展开式中，的系数为（    ）A. 10 B.  C. 30 D. 5. 已知函数，若，则（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 26 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）A. 当，时，二氧化碳处于液态B. 当，时，二氧化碳处于气态C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态8. 已知函数满足：，，则（    ）A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.9. 已知复数，则下列说法正确的是（    ）A. 复数在复平面内对应的点在第四象限B. 复数的虚部为C. 复数的共轭复数D. 复数的模10. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（    ）A. 的最小正周期为B. 在上单调递增C. 当时，的取值范围为D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11. 已知正方体 的棱长为2，则（    ）A. 直线与所成的角为B. 直线与 所成的角为C. 点到平面的距离为D. 直线与平面所成角为12. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ）A  B.  C.  D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.13. 已知，则______14. 圆的过点的切线方程为_____________.15. 过抛物线C：的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则的最小值为_____.16. 已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.四、解答题：本题共6小题，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列首项，，.（1）证明：为等比数列；（2）证明：．18. ①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小；（2）若，求周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；20. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.21. 已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率.22. 已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．    2022—2023学年度（上）六校高三期初考试数学试题考试时间：120分钟  满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.  的否定是（    ）A.    B.   C.  ， D. ：【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为：“，”.故选：C.2. 已知集合则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可.【详解】解不等式得，所以，因为，所以.故选：A.3. 设等差数列的前项和为，若则（    ）A. 150 B. 120 C. 75 D. 60【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知，所以，.故选：D4. 在的展开式中，的系数为（    ）A. 10 B.  C. 30 D. 【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，从而求出的系数.【详解】解：，其中展开式的通项为，所以展开式中含的项为，所以的系数为；故选：D5. 已知函数，若，则（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由，即可求值.【详解】由题设，即，而，所以.故选：B6. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正切公式求得，将化简为，根据齐次式的计算求得，即可求得答案.【详解】由可得 ，故，而，故，即，故选：C7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）A. 当，时，二氧化碳处于液态B. 当，时，二氧化碳处于气态C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据与的关系图可得正确的选项.【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D 8. 已知函数满足：，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.【详解】，令得：，因为，所以，令，得：，即，则，上面两式子联立得：，所以，故，故是以6为周期的函数，且，所以故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.9. 已知复数，则下列说法正确的是（    ）A. 复数在复平面内对应的点在第四象限B. 复数的虚部为C. 复数的共轭复数D. 复数的模【答案】BD【解析】【分析】根据复数除法运算化简求解，根据复数对应的点、复数的模、共轭复数、复数的虚部概念逐项分析即可求解.【详解】，故复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；所以复数的虚部为，故B正确；故复数的共轭复数，故C错误；所以复数的模，故D正确.故选：BD10. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（    ）A. 的最小正周期为B. 在上单调递增C. 当时，取值范围为D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【解析】【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可；【详解】解：对于，它的最小正周期，故A正确；在，，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；当时，，所以，则的取值范围为，故C正确；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故D错误；故选：ABC．11. 已知正方体 的棱长为2，则（    ）A. 直线与所成的角为B. 直线与 所成的角为C. 点到平面的距离为D. 直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】利用正方体的性质，根据异面直线所成角的概念可判断A，利用线面垂直的判定定理及性质定理可判断B，根据点到平面的距离可判断C，根据线面所成角可判断D.【详解】连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，故A正确；连接，因平面，平面，则，因为，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；因为平面，平面，则，又，平面，平面，∴平面，设，则为点到平面的距离，由题可得，即点到平面的距离为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD.12. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率  若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.13. 已知，则______【答案】20【解析】【分析】先求出，再化简即可.【详解】因为，所以，因为，所以，故答案为：2014. 圆的过点的切线方程为_____________.【答案】【解析】【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则,则切线的斜率,则切线的方程为,变形可得;故答案:15. 过抛物线C：的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则的最小值为_____.【答案】9【解析】【分析】先证明，再结合基本不等式即可得解.【详解】当的斜率不存在的时候，为通径且，故.当的斜率存在的时候，设，，由 可得，所以.又.又当且仅当时取等号.故答案为：9.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题以及利用基本不等式求最值，前者需要联立直线方程和抛物线方程，利用焦半径公式把目标关系式转化为关于的关系式，利用韦达定理化简后可得定值，后者需要代数变形以产生能使用基本不等式的结构形式，本题属于较难题.16. 已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.【答案】【解析】【分析】易知圆台的轴截面是球的大圆的内接等腰梯形，且球心在梯形上下底边的中点连线上，，取球心为，利用与用半径表示出梯形的高，得到的方程，求解即可．【详解】解：如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为．在直角三角形中，，在直角三角形中，，故，所以，两边平方整理得，再平方可得，所以（负值舍去）．故球的体积．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的首项，，.（1）证明：为等比数列；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由,变形为,即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得于是，因此，再利用裂项求和即可证明．【小问1详解】证明 ：因为，所以．又，所以数列是公比为3的等比数列．【小问2详解】因为数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以，所以，所以．18. 在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小；（2）若，求周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【小问1详解】解：若选①，因为，所以， 所以，所以，因为，所以  若选②，因为，由正弦定理得， 所以，即，，，，又，.【小问2详解】解：由余弦定理得， 因此，，当且仅当时等号成立， 所以的周长因此的周长的最大值为.19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由条件先证明底面，从而可证明.（2）取的中,则可得面，过作,垂足为，连结,所以为D﹣CA1﹣A的平面角，然后在直角三角形中求解即可【小问1详解】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面,底面,则又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则,所以 又,所以面 面,所以【小问2详解】点D是线段BC的中点．取的中，则,且 由（1）可知面，则面过作,垂足为，连结,所以为D﹣CA1﹣A的平面角由AA1＝AC＝4，则,则为等腰三角形，且,所以, 直角三角形中, 在直角三角形中, 20. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.【答案】（1）    （2）（分），(分)，甲同学的方案更优.【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；（2）根据相互独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解判断即可.【小问1详解】因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；【小问2详解】甲同学的两题得分的可能取值为所以，，，所以的分布列为：因此（分），乙同学第11题可能得分为：，，，乙同学第12题可能得分为：，，，乙同学的两题得分的可能取值为，所以，，，，所以的分布列为：因此(分)，因为，所以甲同学的方案更优.21. 已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解；（2）设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以代替求出Q点坐标，由两点坐标求直线斜率即可得解.【小问1详解】由题意知，故可设椭圆方程为，  由在上可得，，解得或（舍去），故所求椭圆的方程为.【小问2详解】设直线，，把代入椭圆方程整理可得：，设，则，，从而得点，在上式中以代替，得，即直线的斜率为.22. 已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分为和两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；（2）函数有两个零点即有两个零点，根据（1）中的单调性结合零点存在定理即可得结果.【小问1详解】由题意知，，的定义域为，．若，则，所以在上单调递减；若，令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】因为，所以有两个零点，即有两个零点．若，由（1）知，至多有一个零点．若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．①当时，由于，故只有一个零点：②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即．又，故在上有一个零点．存在，则．又，因此在上有一个零点．综上，实数a取值范围为．