2023届四川省蓉城名校联盟高三上学期入学联考试题数学（理）含答案

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则（）．

A．1    B．2    C．    D．

2．已知集合，，且，则a＝（）．

A．0或   B．0或1   C．1或   D．0

3．若角的终边与单位圆的交点为，则（）．

A．    B．    C．    D．

4．设向量，，则“与同向”的充要条件是（）．

A．   B．   C．   D．

5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（）．

A．8    B．6    C．5    D．3

6．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）．

A．    B．    C．    D．3

7．将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（）．

A．90种    B．540种   C．1620种   D．3240种

8．折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（）．

A．     B．

B．C．    D．

9．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（）．

A．0    B．1    C．    D．3

10．的展开式中的常数项为（）．

A．240    B．   C．400    D．80

11．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（）．

A．

B．平面平面OBC

C．OB与平面ABC所成角的正弦值为

D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为

12．对于三个不等式：①；②；③（；）．其中正确不等式的个数为（）．

A．0    B．1    C．2    D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．四川省将于2022年秋季启动实施新高考综合改革，某校开展“新高考”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新高考”的认可程度，现采用分层抽样调查，抽取了一个容量为n的样本，其中教师与家长共抽取了55名，则n＝______．

14．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．

15．如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．

16．已知点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，若使的点P的轨迹长度为a；使直线平面的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”符号连接）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（12分）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．

（1）求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；

（2）若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．

19．（12分）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，点E为棱的中点，点M为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．

（1）当时，求的大小；

（2）试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；

（3）分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）当时，已知，是两个不相等的正数且，求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

（1）当时，求B，C两点的极坐标；

（2）当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

蓉城名校联盟2022～2023学年度上期高中2020级入学联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．130

14．1

15．

16．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）

解：（1）∵，

可得，∴是公差为2的等差数列，

∴，．

（2），

∴，

∴

．

18．（12分）

解：（1），解得，

成绩不及格的频率为，

∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，

∵21％＞20％，

∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．

（2）法一：由（1）可知样本中成绩优秀有20人，其中男生5人，故女生15人，

记事件A＝“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生”，

则，

∴所求概率为．

法二：由（1）可知样本中成绩优秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，

记事件A＝“从优秀答卷中随机选取3份，其中至少有1份是男生”，

则“从优秀答卷中随机选取3份，全是女生”，

则，

∴，∴所求概率为．

19．（12分）

解：（1）法一：由已知在四棱柱中，侧棱底面ABCD，

得底面，∴， ①

又易求，，，

由勾股定理的逆定理得：，  ②

由①②，且，

∴平面，∴平面．

法二：如图，建立空间直角坐标系，

根据题意得，，，，，

∴，即，且，

而，∴，，

∴平面．

法三：∵，∴与确定一平面，

∵点E为棱的中点，点M为线段的中点，

∴平面与平面是同一平面，

易得，，

∴平面，即平面；

（2）同（1）法二，建立空间直角坐标系，

∵平面CAM与平面是同一平面，

∴平面CAM的法向量，

又，而，

可求得平面的法向量，

∴，

∴二面角的正弦值为．

20．（12分）

解：（1）设直线l的方程为，

联立，得，

设，，则，，

当时，，，

∵，∴，

∴．

（2）显然，当轴时，由对称性可知直线AD与直线BC交于原点，

下面证明当AB斜率存在时，AD，BC也恒交于原点，

由（1）知，，且此时，，

，，

∴，故O、A、D三点共线，

同理O、B、C三点共线，∴直线AD与直线BC交于原点，

综上，直线AD与直线BC的交点恒为原点．

（3）由（1）知，，

抛物线在A，B两点的切线方程分别为，，

两式相除消去y得，

解得，

∵，∴，

∴两条切线的交点的轨迹方程为．

21．（12分）

解：（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递增，

当时，，∴在上单调递减，

根据题意不妨设，

①先证明，即证，

∵在上单调递增，∴只需证，

设，

则，

∵，，∴，，

∴，在上单调递减，

∴由得，

即得证，∴．

②再证明，

构造过函数的切线，

过与两点函数的割线，

不妨设，

设，，

∴，，

∴，∴单调递增，

∵得，单调递增，

∴得，

∴得．

设，，

由（当地取等），得，

则，

∴得，

∴得．

由得，得，

∴，

∴．综上得．

22．（10分）

解：（1）由题意知在中，，，

∴，∴点B的极坐标为，

在正方形OBCD中，，

∴点C的极坐标为．

（2）设，，且，

由题可知曲线M的极坐标方程为，

当时，O，B两点重合，不合题意，

∴点B的极坐标方程为，

将上式带入得点D的极坐标方程为．

（注：未说明范围不扣分）

23．（10分）

解：（1）∵函数，

∴当时，；

即，解得，∴；

当时，；

即，解得，∴无解；

当时，，

即，解得，∴．

综上，的解集为．

（2）由（1）得的最小值3，

原不等式有解等价于的最小值，

∴，

即，解得或，

∴实数a的取值范围为