初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试学案设计

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知识网络图
1等式与方程
知识概述
等式
等式的概念：含有等号的式子叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果，那么
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
如果，那么；
如果，那么.
注意： = 1 \* GB3 ①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
= 2 \* GB3 ②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
= 3 \* GB3 ③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
= 4 \* GB3 ④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
等式的对称性，即：如果，那么．
等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．
它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．
小试牛刀
【例】（2018•安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
再接再厉
【例】（2017秋•太原期末）设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【练习】（2017秋•山亭区期末）设x，y，c表示有理数，下列结论始终成立的是（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣cB．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则D．若，则2x=3y
【巩固】（2017秋•农安县期末）新学期开学，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题．
（1）一本数学课本的高度是多少厘米？
（2）讲台的高度是多少厘米？
（3）请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度的代数式（用含有x的代数式表示）
（4）若桌面上有56本同样的数学课本，整齐叠放成一摞，从中取走18本后，求余下的数学课本距离地面的高度．
总述
等式的变形问题
考点：等式的两个基本性质，一定要牢记成立的条件．
易错点：两边同时乘或除以一个字母（式子）时，一定要保证该字母（式子）不为零．
做题方法：牢记“”这个特殊情况，用赋值法检验．
2方程的解
知识概述
知识网络图
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
求解的过程就是解方程．
关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
小试牛刀
【例】（2017秋•灵石县期末）方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x=2，那么▲处的数字是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【例】（2017秋•港闸区期末）已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1=0无解，则ab的值为（ ）
A．正数B．非正数C．负数D．非负数
再接再厉
【例】（2017秋•沾化区期末）若y=4是方程﹣m=5（y﹣m）的解，则关于x的方程（3m﹣2）x+m﹣5=0的解是多少？
【练习】（2017秋•吉州区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解比方程5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
总述
解题方法总结：
（1）若已知解，求字母的值时，则直接代入方程。
（2）判断是否是方程的解时，代入方程验证。
（3）同解问题，先解出其中一个方程，代入另一个含有字母的方程即可。
3一元一次方程
知识概述
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的形式：
最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
注意：
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．
如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．
小试牛刀
【例】（2018春•浦东新区期中）下列方程=10，3x﹣2y=35，x2﹣14=0，4z﹣3（z+2）=1中是一元一次方程的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例】（2017秋•海曙区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
再接再厉
【练习】（2017秋•上杭县期中）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：
（1）m的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【例】（2016秋•余杭区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．

【练习】（2017秋•西城区校级期中）已知（m2﹣4）x2﹣（m+2）x+8=0是关于未知数x的一元一次方程，求代数式﹣199（m+x）（m﹣2x）+m的值．
【巩固】（2017秋•武昌区期中）若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1的值．
总述
判断是否是一元一次方程，要看是否满足下面的条件：
观察给出的式子，若含有、、，则不是一元一次方程；
若不含上述式子，则进行化简整理，整理后只含有一个未知数，且次数为1，则是一元一次方程；
化简后不能含有、、、、等形式；
4一元一次方程的解法
知识概述
解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
解一元一次方程的一般步骤：
小试牛刀
【例】（2018春•浦东新区期中）当取什么整数时，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数？
【例】（2018春•普陀区期中）若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【巩固】（2018春•唐河县期中）若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
再接再厉
【例】（2018春•普陀区期中）若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【例】（2018春•唐河县期中）若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
总述
解方程时容易犯下面的错误，要特别注意：
变形名称
依据
注意事项
去分母
等式性质2
不含分母的项不要漏乘
② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号
分配律，去括号法则
运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项
等式性质1
移项必须变号
一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项
合并同类项法则
合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1
等式性质2
分子、分母不要颠倒
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解方程+＝0时，去分母正确的是（ ）
A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12
C．8x﹣1+9x+12＝0D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共2小题）
3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为 ．
4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝ ．
三．解答题（共4小题）
5．解方程：
（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；
（2）x；
（3）；
（4）x﹣+2．
6．解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
7．解方程：
（1）x﹣9＝4x+27
（2）1﹣x＝3x+
（3）12（2﹣3x）＝4x+4
（4）＝
（5）﹣＝1
（6）﹣＝12
8．化简或解方程：
（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
（2）解方程：+1＝
中考内容
中考要求
A
B
C
方程
了解方程是描述现实世界数量关系的有效模型；了解方程的解的意义；会由方程的解求方程中待定系数的值；了解估计方程解的过程
掌握等式的基本性质；能根据具体问题中的数量关系列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理
运用方程与不等式的有关内容解决有关问题
一元一次
方程
了解一元一次方程的有关概念
能解一元一次方程
变形名称
依据
注意事项
去分母
等式性质2
不含分母的项不要漏乘
② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号
分配律，去括号法则
运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项
等式性质1
移项必须变号
一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项
合并同类项法则
合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1
等式性质2
分子、分母不要颠倒