初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试导学案

第5讲 一元一次方程

1等式与方程

一．   等式

1. 等式的概念：含有等号的式子叫做等式．

在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．

等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．

2. 等式的性质：

（1）  等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．

如果，那么

（2）  等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．

如果，那么；

如果，那么.

注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．

②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．

③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．

④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：

3. 等式的对称性，即：如果，那么．
4. 等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
5. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

二．   方程

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．

它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．

【例】（2018•枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）

A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b

【例】（2018•繁昌县二模）某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长了（　　）

A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%

【练习】（2018•禹会区二模）某企业今年3月份产值为m万元，4月份比3月份减少了8%，预测5月份比4月份增加9%，则5月份的产值是（　　）

A．（m﹣8%）（m+9%）万元 B．（1﹣8%）（1+9%）m万元

C．（m﹣8%+9%）万元 D．（m﹣8%+9%）m万元

【练习】（2017秋•金堂县期末）某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可任选其一：A．记时制：3元/时；B．包月制：50元/月（限一部个人住宅电话入网）．此外，每一种上网方式都得加收通讯费1.2元/时．

（1）某用户某月的上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；

（2）若某用户估计一个月的上网时间为25小时，你认为选择哪种方式较合算．

2方程的解

一．  方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

1. 只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
2. 求解的过程就是解方程．

二．  关于方程中的未知数和已知数：

1. 已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
2. 未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．

【例】（2017秋•大安市期末）关于x的方程2﹣（1﹣x）=0与方程mx﹣3（5﹣x）=﹣3的解互为相反数，求m的值．

【例】（2017秋•平谷区期末）阅读材料：规定一种新的运算：=ad﹣bc．例如：=1×4﹣2×3=﹣2．

（1）按照这个规定，请你计算的值．

（2）按照这个规定，当=5时求x的值．

【练习】（2017秋•凌海市期末）解方程：﹣（3x+4）=﹣．

3一元一次方程

一．  一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．

注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．

二．  一元一次方程的形式：

1. 最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
2. 标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．

注意：

（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．

如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．

（2）方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．

【例】（2017秋•南充期末）若（m﹣1）x|m|+5=0是一元一次方程，则m的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定

【练习】（2017秋•凉州区期末）当m为何值时，关于x的方程5m+12x=6+x的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．

【例】（2017秋•顺义区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x=﹣4的解为x=﹣2，而﹣2=﹣4+2，则方程2x=﹣4为“和解方程”．

请根据上述规定解答下列问题：

（1）已知关于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”，求m的值；

（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，求m，n的值．

【例】（2017秋•鄂城区期末）已知当x=﹣1时，代数式2mx3﹣3mx+6的值为7．

（1）若关于y的方程2my+n=11﹣ny﹣m的解为y=2，求n的值；

（2）若规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[4.3]=4，请在此规定下求[m﹣n]的值．（n为（1）中求出的数值）

4一元一次方程的解法

一．  解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

二．  解一元一次方程的一般步骤：

【例】（2017秋•延边州期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|﹣3=0是一元一次方程，则m的值是（　　）

A．2 B．0 C．1 D．0 或2

【练习】（2017秋•桐梓县期末）若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（　　）

A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x=2

【例】解方程：．

【例】（2017秋•苍溪县期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x﹣4是差解方程．

（1）判断3x=4.5是否是差解方程；

（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．

综合练习

一．选择题（共2小题）

1．解方程+＝0时，去分母正确的是（　　）

A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12 B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12 

C．8x﹣1+9x+12＝0 D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0

2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二．填空题（共2小题）

3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为　   　．

4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　   　．

三．解答题（共4小题）

5．解方程：

（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；

（2）x；

（3）；

（4）x﹣+2．

6．解方程：

（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x

（2）y﹣＝3+

7．解方程：

（1）x﹣9＝4x+27

（2）1﹣x＝3x+

（3）12（2﹣3x）＝4x+4

（4）＝

（5）﹣＝1

（6）﹣＝12

8．化简或解方程：

（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]

（2）解方程：+1＝