人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念达标测试

6.1平面向量的概念 (精讲）

6.1.1向量的实际背景与概念

6.1.2向量的几何表示

6.1.3相等向量与共线向量

一、必备知识分层透析

知识点1：向量的概念

（1）向量

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).

知识点2：向量的几何表示

(1)有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母,,,…表示

（3）向量的模

向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.

单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.

知识点3：相等向量与共线向量

(1)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.

(2)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

二、重点题型分类研究

题型1：向量的有关概念

1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．

其中不是向量的有（       ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．（2022·上海·高一课时练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（       ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

3．（2022·上海·高一课时练习）下列命题中，正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．（2022·全国·高一课时练习）对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________

题型2：向量的几何表示

1．（2022·全国·高一课时练习）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.

（1）画出所有的向量；（2）求的最大值与最小值．

2．（2022·全国·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．

（1）试作出向量；

（2）求．

3．（2022·全国·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．

题型3：相等向量与共线向量

1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）以下关于平面向量的说法中，正确的是（       ）

A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等

C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.

4．（2022·全国·高一单元测试）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．

(1)共线向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？

5．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.

（1）写出与相等的向量；

（2）写出与共线的向量；

（3）向量与是否相等？