第1讲 实数的概念及数的开方（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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第1讲 实数的概念及数的开方

模块一实数的概念和分类
知识精讲
知识点1：实数的概念
1、无限不循环的小数叫做无理数．
注意：
1)整数和分数统称为有理数；
2)圆周率π是一个无理数．
2、无理数也有正、负之分．
如、、等这样的数叫做正无理数；
、、这样的数叫做负无理数；
只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．
3、有理数和无理数统称为实数．
（1）按定义分类

（2）按性质符号分类

例题解析
例1.写出下列各数中的无理数：
3.1415926，，，，0，，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．
【难度】★
【答案】、0.1313313331…．
【解析】无限不循环小数都是无理数．
【总结】考查无理数的概念．
例2.判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．
（1）无限小数都是无理数． （ ）
（2）无理数都是无限小数． （ ）
（3）带根号的数都是无理数． （ ）
（4）不带根号的数一定不是无理数． （ ）
【难度】★
【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．
【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；
（3）开方开不尽的数是无理数；（4）没带根号但是无理数．
【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．
例3.a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．
【难度】★
【答案】一样．
【解析】a是非负无理数实质上就是说a是正无理数，因为0不是无理数．
【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．
例4.若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，
亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．
【难度】★★
【解析】移项得：， 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，
而是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤，从而，
于是有：，当时，等式成立．
【总结】考查有理数、无理数的运算性质．
例5.为什么是无理数?请说明理由．
【难度】★★★
【解析】假设是有理数，则能写成两个整数之比的形式：，
又因为p、q没有公因数可以约去，所以是最简分数．
把两边平方，得，即．
由于是3的倍数，则p必定是3的倍数．
设， 则， 同理q必然也是3的倍数，设，
既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设是最简分数矛盾，
故是无理数．
【总结】考查对无理数的理解及证明．
模块二：数的开方
知识精讲
一、 开平方：
1、 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
2、 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．
如，，的平方根是．
说明：
1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根；
2) 平方和开平方互为逆运算．
3、 算术平方根：
正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．
★注意：
1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；
2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；
3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．
二、开立方：
1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．
2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．
★注意：
1） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；
2） 零的立方根是0；
3） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．
三、开次方：
1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．
2、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．
3、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．
★注意：
1） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；
2） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；
3） 负数的偶次方根不存在；
4） 零的次方根等于零，表示为．
例题解析
例1.写出下列各数的平方根：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）．
【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．
【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．
例2.写出下列各数的正平方根：
（1）225； （2）．
【难度】★
【答案】（1）15；（2）．
【解析】（1）15； （2），3的正平方根是．
【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．
例3.下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．
（1）1的平方根是1； （2）9是的算术平方根；
（3）是的平方根； （4）的平方根是．
【难度】★
【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．
【解析】（1）错误：1的平方根是；（2）正确；（3）错误：是负数，没有平方根；
（4）错：，9的平方根是．
【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．
例4.写出下列各数的立方根：
（1）216； （2）0； （3）； （4）； （5）27．
【难度】★
【解析】（1）6； （2）0； （3）； （4） ； （5）3．
【总结】本题主要考查立方根的概念．
例5.判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：
（1） 一个数的偶次方根总有两个； （ ）
（2） 1的奇次方根是； （ ）
（3） ； （ ）
（4） 是16的四次方根； （ ）
（5） a的n次方根的个数只与a的正负有关． （ ）
【难度】★★
【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）√； （5）×．
【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根
是1；（3）错误：根号下某个数表示的是算术平方根，一定为正，所以；
（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．
【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．
例6.写出下列各数的整数部分和小数部分：
（1）； （2） （3）
【难度】★★
【解析】（1）因为，所以的整数部分为8，小数部分为；
（2） 因为，所以的整数部分为7，小数部分为；
（3） 因为，所以，
所以的整数部分为5，小数部分为．
【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．

例7.求值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【解析】（1）12； （2） ； （3）4； （4）11．
【总结】考查对平方根的理解及运用．
例8.求值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【解析】（1）4； （2）； （3）原式=； （4）原式=．
【总结】考查实数的立方根的运用．
例9.求值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【解析】（1）6 ； （2）3 ； （3） ； （4）2．
【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．
例10.求值：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【解析】（1）0.5 ； （2）原式= ； （3）原式=．
【总结】考查实数的立方根运算．
例11.小明的房间面积为17.6，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少?
【难度】★★
【答案】0.4m．
【解析】设每块地砖的边长是米，则有：，化简得，解得：
即每块地砖的边长是0.4m．
【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．
例12.已知2a-1的平方根是，3a+b-1的算术平方根是4，求的值．
【难度】★★
【答案】3．
【解析】由题意知：，，即，
解得：，，所以，那么．
【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．
例13.若a的平方根恰好是方程3x+2y=2的一组解，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意，因为a的两个平方根是相反数，那么，则有：
，即，．那么由题意可得：，
所以．
【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．
例14.若，，求的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由题意可得：， 解得：，
所以．
【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．
例15.用“>”把下列各式连接起来：
，，，．
【难度】★★
【答案】>>>．
【解析】因为；；；，
所以得到：>>>．
【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．
例16.已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．
（1）_______； （2）____________；
（3）_________； （4）______________；
（5）___________； （6）_____________．
【难度】★★★
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．
例17.填写下表，并回答问题：
a
…
0.000001
0.001
1
1000
1000000
…….

…





…
（1） 数a与它的立方根的小数点的移动有何规律?
（2） 根据这个规律，若已知，求a的值．
【难度】★★★
【解析】（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点
相应地向右或向左移动一位；
（2）由（1）总结的规律可知：．
【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．
例18.阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.
（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 ______21 ；②23______32 ；③34______43；④45______54； ⑤56______65；
⑥67______76； ⑦78______87．
（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系: ______
（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．
【难度】★★★
【答案】（1）①；⑤>；⑥>；⑦>：
（2）当n =1或2时，nn＋12的整数时，nn＋1>（n＋1）n；
（3）>．
【解析】（1）①12 < 21 ；②2343；④45>54； ⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；
（2）当n=1或2时，nn＋12的整数时，nn＋1>（n＋1）n；
（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．
【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。
例19（2020·山西吕梁市·七年级期中）（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．
【答案】（1）48；（2）28
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）第一步：，，，
，能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：，，，
，能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
而，则，可得，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
即，故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
例20．（2019·厦门市湖滨中学七年级期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　 　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　 　，验证得19683的立方根是　 　
（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .
请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
【答案】（1）7；2；27；（2）见解析.
【分析】(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.
【详解】(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，
故答案为：7，2，27；
(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；
验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；
先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.
【点睛】本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.
模块三：数的方根的非负性
知识精讲
数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；
应用：与整式、分式的综合应用．
例题解析
例1.当x取何值时，下列各式有意义：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★★
【解析】（1）；（2）为任意实数；（3）；（4）；
（5）；（6）为奇数时，a取一切实数；为偶数时，．
【总结】本题考查实数的方根有意义的条件．
例2.若有意义，则=__________．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由题意知：，所以．
【总结】本题考查实数的方根有意义的条件及运算．
例3，互为相反数，求2x-5y的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：与互为相反数，
所以+=0， 所以．
【总结】本题考查实数的奇次方根互为相反数的条件．
例4.已知，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：， 解得：， 所以．
【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．
例5.已知y=，求xy的平方根．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：，所以，所以xy的平方根是．
【总结】本题考查实数的平方根的有意义的条件及求实数的平方根．
例6.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】移项得：，即，
所以， 解得：， 所以．
【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．
例7.当时，求的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】原式=．
【总结】本题考查实数的计算．
例8.设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是
两两不相等的实数，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，
又因为，．
所以，把a=0代入已知条件得：，
所以原式=．
【总结】本题考查平方根有意义的条件及实数的运算．
例9.已知，求x的个位数字．
【难度】★★★
【答案】6．
【解析】由题意，得：， 解得：，代入原式得：，
因为，发现个位数字都是6，故x的个位数字为6．
【总结】本题综合性较强，主要考查绝对值与实数的混合计算，注意总结规律．
随堂检测
1．（2020·上海浦东新区·七年级期末）下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐一判断即可得．
【详解】解：在所列实数中，无理数有这2个，故选：A．
【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．任意一个数算术平方根是正数 B．只有正数才有算术平方根
C．因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D．-1是1的平方根
【答案】D
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】解：A.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故A选项错误；
B.0也有算术平方根，是0，故B选项错误；
C.应为3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C选项错误；
D.-1是1的平方根，故D选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及平方根的定义，是基础题，需要熟练掌握．
3．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）己知面积为的正方形的边长为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式与算术平方根的定义，即可求解．
【详解】∵面积为的正方形的边长为，∴，∵x＞0，
∴，∵36＜37＜49，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
4．（2020·上海市中国中学七年级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是2 B．负数没有立方根
C．零没有平方根 D．任意一个实数都有立方根
【答案】D
【分析】分别根据平方根及立方根的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、的平方根是2，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项错误；
C、0的平方根是0，故本选项错误；
D、符合立方根的性质，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键．
5.若是有理数，则下列说法中正确的是（ ）
A. x一定是0 B. x是任意一个负数
C. x是一个有理数的平方 D. 是一个有理数的平方
【难度】★
【答案】D
【解析】A．x可能等于； B．x等于不行； C．x是9时，原式无意义．
【总结】本题考查平方根有意义的条件和有理数的概念．
6.填空：
（1）的算术平方根是 ，的平方根是 ；
（2）的立方根是 ，的立方是 ；
（3）的四次方根是___________．
【难度】★
【答案】（1）3、； （2）、； （3）．
【解析】（1），9的算术平方根是3；，6的平方根是；
（2） ，2的立方根是；，的立方是；
（3） ，16的四次方根是．
【总结】本题考查实数的开方的相关运算，注意非负数的偶次方根有两个．
7．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 _____________________。
【答案】2个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】解：=1，=1，=2，
所以无理数有：、0.1010010001…，共2个．故答案为：2个．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
8．（2020·上海市民办立达中学七年级月考），，，则_______________；
【答案】
【分析】将根号下的小数转化为分数，再计算立方根，结合题目给的关系式即可得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的性质，比较简单．
9．（2019·上海崇明区·）计算：__________．
【答案】
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
【详解】解：∵，∴，故答案为：-2
【点睛】本题主要考查乘方运算和开方运算的互逆关系，常常借助乘方运算求数的开方运算.
10.判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．
（1）无理数都是无限小数 ( )
（2）无理数的平方是有理数 ( )
（3）有理数都是有限小数 ( )
（4）实数可分为正实数和负实数 ( )
（5）是分数 ( )
【难度】★
【答案】（1）√； （2）×； （3）×； （4）×； （5）×．
【解析】（1）无理数是无限不循环小数，无限不循环小数属于无限小数；
（2）如还是无理数，×； （3）有理数还可能是整数，×；
（4）实数可分为正实数、负实数和零，×；
（5）分数的分子、分母必须都是有理数，而是无理数，所以×．
【总结】本题考查无理数的基本概念，注意仔细辨析．
11.求值：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=2．
【总结】本题考查实数的开方运算．
12.求值：
（1）； （2）； （3）
【难度】★★
【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
【总结】本题考查实数的开方运算．
13.比较下列各式的大小：
（1）和； （2）和．
【难度】★★
【答案】（1）>； （2）