第2讲 用数轴表示实数及运算(讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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模块一：用数轴上的点表示实数
知识精讲
实数的绝对值、相反数
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数的绝对值记作．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数的相反数是．
2、两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
负数小于零；零小于正数．
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：
1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；
2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；
3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．
4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．
5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则．
3、数轴上两点之间的距离
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为
．
例题解析
1.下列各组数中互为相反数的是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确．
【总结】本题考查了实数的性质及相反数的概念．
2.如图，在数轴上表示实数的点可能是（）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【难度】★
【答案】C
【解析】，即，所以对应的点是M．
【总结】本题考察实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
3.下列说法正确的是（）
A．一个有理数的绝对值一定大于它本身
B．只有正数的绝对值等于它本身
C．负数的绝对值是它的相反数
D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．
【难度】★
【答案】C
【解析】A中若这个有理数是0，则它们相等，错误；B中0的绝对值也等于本身；
C正确；D中0的相反数也是本身．
【总结】本题考查绝对值的性质及其应用，利用举反例进行求解．
4.下列四个结论，中正确的是（）
A.B.C.D.
【难度】★
【答案】D
【解析】四个选项都是正数，乘以最简公分母，即可比较．
【总结】本题考查无理数和有理数的大小判断．
5.填空：
（1）若m，n互为相反数，则5m+5n-5=_________；
（2）已知|x|=5，y=3，则x-y=_______________．
【难度】★★
【答案】（1）-5 （2）2或-8
【解析】（1）m，n互为相反数，m+n=0，所以5m+5n-5= -5；
（2）x=5或-5，所以或．
【总结】本题考查相反数和绝对值的知识，注意绝对值的分类讨论．
6.实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．
A．n＜mB．n2＜m2
C．n0＜m0D．| n |＜| m |．
【难度】★★
【答案】A
【解析】因为-2＜n＜-1＜m＜0，所以B中n2＞m2，C中n0=1，m0=1，相等．
【总结】本题考查了实数与数轴上的点之间的一一对应关系及实数的大小比较，比较简单．
7.已知数轴上A、B、C、D四点所对应的实数分别为－2.5、、、．
（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A与D，B与C两点间的距离．
【难度】★★
【答案】（1）略； （2），．
【解析】（2），．
【总结】本题考查了在数轴上描出实数以及求数轴上两个店的距离方法，首先根据数轴三要素画出数轴，然后在数轴上描出各点，A、D两点的距离就是A点表示的数减去D点表示的数，然后求它们差的绝对值，同样可求BC的距离．
8.填空：
（1）已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是-2，2，3，则A与B，A与C两点之间的距
离分别是__________；
（2）A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为________．
【难度】★★
【答案】（1）4，5； （2）或5．
【解析】（1） ，；
（2）分两种讨论，一种是A向左移动3个单位长度，B为5，另一种是A向右移动3个
单位，B为．
【总结】本题考查数轴上两点之间距离，及分类讨论．
9.比较下列各式的大小：
；②；
________；④_______．
【难度】★★
【答案】（1）= ； （2）= ； （3）< ； （4）＞．
【解析】（1）因为，所以； （2）；
（3）因为，，，
所以＜；
（4）因为，，
所以 ＞．
【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法是作差法和取倒数法．
10.（1）已知实数n