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第6讲 同位角、内错角、同旁内角及平行线的判定（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）
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知识精讲
同位角、内错角、同旁内角(三线八角)
若直线a，b被直线所截：
（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做
同位角．（如）
（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角
叫做内错角．（如）
（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的
一对角互为同旁内角．（如）
注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．
例题解析
例1．（2020·上海静安区·七年级期中）如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】根据同位角、同旁内角．内错角的定义进行判断．
【详解】A．与不是同位角，故选项A错误；
B．与是内错角，故该选项错误；
C．与是同旁内角，故选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义．熟记同位角、同旁内角、内错角的定义是解答此题的关键．
例2．（2020·上海闵行区·七年级期末）如图中∠1、∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，依此即可求解．
【详解】A、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意
B、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
D、∠1与∠2的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
例3．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，与构成内错角的角是______；
【答案】∠DEA和∠BCD．
【分析】根据内错角的定义解答即可．
【详解】解：∠CDE与∠DEA可以看成直线AC与直线CD被直线DE所截的内错角;
∠CDE与∠BCD可以看成直线DE与直线BC被直线CD所截的内错角．
故答案为：∠DEA和∠BCD．
【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角的识别，掌握内错角的定义是解答本题的关键．
例4．（2019·上海兰田中学七年级期中）如图，∠B的同位角是__________.
【答案】∠ECD和∠ACD
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，进行分析可得答案．
【详解】∠B的同位角是∠ECD，∠ACD，
故答案是：∠ECD和∠ACD．
【点睛】考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．
例5．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，∠的内错角是_______________.
【答案】；
【分析】根据内错角的概念，在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．
【详解】解：由图知，∠B和∠DAB是直线CB和DC被BE所截形成的，在截线两侧，且在两被截线之间，所以∠B的内错角是∠DAB．
故答案为：∠DAB．
【点睛】本题考查了内错角的概念，记准在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．注意分清截线和被截线．
例6.在直线AB、CD被直线EF所截的八个角中∠1和∠5是一对________角，∠3和∠5是一对________角，∠4和∠5是一对________角．
【难度】★
【答案】同位角；内错角；同旁内角．
【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
例7.（1）如图∠1和∠2是直线________与________被直线_______所截，所形成的______角；
（2）∠3和∠4是直线_____与_______被直线______所截，所形成的_______角；
（3）∠C的同旁内角是_________．
【难度】★
【答案】（1）DC、AB、DB、内错角；
（2）AD、CB、DB、内错角；
（3）．
【解析】两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做
内错角，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查内错角、同旁内角的概念及特征．
例8.如图，下列说法错误的是（）
A．∠5和∠3是同位角B．∠1和∠4是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
【难度】★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角，
故∠1和∠4不是同位角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
例9.如图，与∠C是同旁内角的有（）
A．5个 B．4个C．3个D．2个
【难度】★
【答案】B
【解析】∠C的同旁内角有：∠CED、∠B、∠EDC、∠ADC共四个．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
例10.如图，同旁内角的对数是（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【难度】★★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互
为同旁内角．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
例11.如图，∠1和∠2是同位角的是（）
A．（1）(2)B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）（2）（4）中∠1与∠2都在截线的同旁，并且都在被截直线的同侧，是同位角；
（3）中∠1与∠2两边不在同一直线上，不是同位角，故选C．
【总结】本题考查同位角的概念及特征，注意很多学生会容易误以为（2）中的两个角不是
同位角，老师们要注意纠错哦．
例12.指出下图中：
（1）∠C与∠D的关系；
（2）∠B与∠GEF的关系；
（3）∠A与∠D的关系；
（4）∠AGE与∠BGE的关系；
（5）∠CFD与∠AFB的关系．
【难度】★★
【答案】（1）同旁内角；（2）同位角；（3）内错角；（4）邻补角；（5）对顶角．
【解析】 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做
同位角．两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角
叫做内错角．两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的
一对角互为同旁内角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角、对顶角的概念及特征．
例13.如图（1）直线DE、BC被直线AB所截，射线DF在∠ADE内部，指出∠1的同位角；
（2）如果∠1和∠2相等，那么∠1和∠4相等吗? ∠1和∠ADE相等吗?为什么?
【难度】★★
【答案】（1）∠ADF、∠ADE；（2）．
【解析】（2）因为∠1=∠2（已知）
所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行）
所以∠1=∠ADE（两直线平行，同位角相等）
所以∠1不等于∠4
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．
例14.三条直线两两相交，且不交于同一点，则在所成的图形中，共有多少对同位角?多少对内错角?多少对同旁内角．
【难度】★★
【答案】12；6；6．
【解析】同位角：∠1与∠12、∠1与∠6、∠4与∠11、∠4与∠5、∠3与∠8、∠3与∠10、
∠2与∠7、∠2与∠9、∠9与∠6、∠12与∠5、∠11与∠8、∠10与∠7；
内错角：∠2与∠5、∠4与∠9、∠3与∠6、∠3与∠12、∠10与∠5、∠9与∠8；
同旁内角：∠2与∠6、∠8与∠10、∠4与∠12、∠3与∠5、∠3与∠9、∠5与∠9．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
模块二：平行线的意义及基本性质
知识精讲
1、平行线的定义
同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
2、平行线的基本性质
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行线之间的距离处处相等；
（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．
例题解析
例1.（1）在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系_______和________；
（2）如果两条直线都_______于同一条直线，那么这两条直线平行．
【难度】★
【答案】（1）相交、平行； （2）平行．
【解析】（1）同一平面内，不重合的直线要么相交要么平行；（2）平行于同一条直线的两直线平行．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系及平行线的传递性．
例2.在同一平面内，和已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条B．有无数条C．一条也没有 D．条数不确定
【难度】★
【答案】B
【解析】同一平面内和已知直线平行的直线有无数条．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例3.已知两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线（ ）
A．垂直B．平行C．相交 D．可能垂直，也可能平行
【难度】★
【答案】D
【解析】同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，否则可能产生异面垂直．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例4.判断题：
（1）同位角一定相等（）
（2）不相交的两条直线叫平行线（）
（3）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（）
（4）和已知直线平行的直线有无数条（）
【难度】★
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√．
【解析】（1）只有两直线平行，同位角才相等；（2）前提是在同一平面内，×；
（3）√；（4）√．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例5.下列各图中，不能判断直线a∥b的是（）
【难度】★★
【答案】C
【解析】A可通过内错角相等判断出平行；B可以通过同一平面内，垂直于同一条直线的两
直线平行；D可以通过同位角相等两直线平行来判断．
【总结】本题考查平行线的判定．
例6.判断题：
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（）
（2）两条直线不相交则必平行（）
（3）与已知直线平行的直线有且只有一条（）
（4）与已知直线垂直的直线有且只有一条（）
【难度】★★
【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）×．
【解析】（1）错，线段有一定长度可以不相交，但其延长线确可能相交，只有两线段的延
长线也不会相交才叫平行线；（2）前提是在同一平面内，错；（3）有无数条，×；
（4）有无数条，×．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例7.直线AB、CD、a、b在同一平面内，且AB∥CD，若直线a与AB、CD都相交，直线b与AB、CD也都相交，则直线a、b的位置关系是（）．
A．垂直B．平行C．相交 D．相交或平行
【难度】★★
【答案】D
【解析】可能相交也可能平行．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例8.下列四个说法中，正确的个数是（）．
在同一平面内不相交的两条线段必平行；
在同一平面内不相交的两条直线必平行；
在同一平面内不平行的两条线段必相交；
在同一平面内不平行的两条直线必相交
A．1B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】A
【解析】①错：线段有一定长度可以不相交，但其延长线却可能相交，只有两线段的延长线
也不会相交才叫平行；②错：可能重合；③错：注意题中说的是“线段”；④正确．
【总结】本题考查同一平面内直线的位置关系．
例9.如图，经过点P画直线PE∥OA，交OB于点E；画直线PF∥OB，交OA于点F．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线OA重合，将其中一条
直角边紧靠直尺，并固定直尺；
将三角尺与直线AB重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
沿着三角尺的直角边画出过点P的直线PE，则直线PE即为所求的平行线．
同理，画出直线PF即可．
【总结】本题考查平行线的作法．
例10.如图，直线AB、CD相交于点O，P是直线AB、CD外的一点，经过点P画出直线EF，与直线CD相交于点E，与直线AB平行．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线AB重合，
将其中一条直角边紧靠直尺，并固定直尺；
（2）将三角尺与直线AB重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
（3）沿着三角尺的直角边画出过点P的直线EF，则直线EF即为所求的平行线．
【总结】本题考查平行线的作法，需要三角尺、直尺两个作图工具．
例11.在同一平面内有互不重合的五条直线a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，
a3∥a4，a4⊥a5，那么a1与a5的位置关系是什么．
【难度】★★★
【答案】平行，见解析．
【解析】因为a3∥a4，a4⊥a5，所以a3⊥a5，又因为a2⊥a3，所以 a2 ∥a5．又因为a1∥a2，
所以a1∥a5（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
【总结】本题考查同一平面内，两直线的位置关系．
模块三：平行线的判定
平行线的三种判定方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，同位角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，内错角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
一、单选题
例1．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，不能推断的是（ ）
A．∠1=∠5 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4+∠5 D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【详解】A．∠1=∠5可根据内错角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
B．∠2=∠4可根据内错角相等两直线平行得AB∥DC，不能得到AD∥BC，故此选项符合题意；
C．∠3=∠4+∠5可根据同位角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
D．∠B+∠1+∠2=180°可根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
例2．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图：，，，下列条件能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据内错角相等，两直线平行，得到的度数，即可判断．
【详解】∵，，
∴要使，则或即可
故选B．
【点睛】掌握平行线的判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补均可．
例3.看图填空，并在括号里写出适当的理由．
如图；因为∠1=__________（已知）
所以AD∥BC（）
因为∠1=∠A（已知）
所以_________∥_________（）
【难度】★★
【答案】（1）∠2、同位角相等，两直线平行；
（2）AE、CD、同位角相等，两直线平行．
【解析】同位角相等两直线平行．
【总结】本题考查平行线的判定．
例4.如图，如果∠1等于它的余角，∠2的补角是它的3倍，那么AB与CD的关系是（ ）．
A．垂直B．平行C．相交 D．不能确定
【难度】★★
【答案】B
【解析】因为∠1=它的余角，所以∠1=45°，
又因为∠2的补角是它的3倍，所以∠2=45°
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
例5.（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，，试说明．
解：∵∠1=∠2（已知）
∴（______）
即=∠______
∵∠3=∠4，（已知）
∴∠3=∠______（______）
∴∠3=∠______
∴（______）
【分析】由∠1=∠2易得=，由等量代换可得∠3=∠DAC，再根据内错角相等判定．
【详解】∵∠1=∠2（已知）
∴（等式的性质）
即=∠ DAC
∵∠3=∠4，（已知）
∴∠3=∠BAE（等量代换）
∴∠3=∠DAC
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的判定，灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键．
例6．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，AC⊥AB,EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2,试问AC⊥DG吗?
【答案】AC⊥DG，证明见解析.
【分析】由垂线的定义和平行线的判定可得EF∥AD,根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3,结合已知由等量代换可得∠1=∠3,从而根据内错角相等得出AB∥DG, 从而得出DG⊥AC.
【详解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD,∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥DG,
∵AC⊥AB,∴DG⊥AC.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定以及垂线的性质.根据已知条件找出平行线是解题的关键.
例7．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知，如图，DE//BC，∠ADE=∠EFC,将说明∠1=∠2成立的理由填写完。
解:DE//BC （ ）
∠ADE=_________ （ ）
∠ADE=∠EFC （ ）
_____________=_____________ （ ）
DB//EF（ ）
∠1= ∠2 （ ）
【分析】根据DE//BC可得∠ADE=∠ABC，然后再证明∠ABC=∠EFC，可得DB//EF，进而得到∠1= ∠2.
【详解】DE//BC （已知）
∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∠ADE=∠EFC （已知）
∠ABC=∠EFC（等量代换）
DB//EF（同位角相等，两直线平行）
∠1= ∠2 （两直线平行，内错角相等）
故答案为：已知；∠ABC，两直线平行，同位角相等；已知；∠ABC=∠EFC，等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
例8．（2019·上海市光明中学七年级期中）如图,已知AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+15)°,求∠C的度数
【答案】∠C的度数为45°.
【分析】由EC∥FB，可得∠B=∠BGC，再由AB∥CD，∠C+∠BGC=180°，代数条件数据，解方程即可.
【详解】解：∵EC∥FB，∴∠B=∠BGC=(3x+15)°（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，∴∠C+∠BGC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
代入条件得(85-x)°+ (3x+15)°=180°，解得x=40；则∠C=45°.
【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，同旁内角互补，熟练根据相等的角进行转换是解题关键.
例9．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．
【分析】由条件可分别得到∠1+∠2=180°，可证明a∥b；可求得∠4=∠3，可证明d∥e；由∠5+∠6=180°可求得∠4=∠5，可证明b∥c，由平行的传递性可得a∥c．
【详解】因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，
所以∠1+∠2＝180°．
所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝50°(已知)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．
所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．
因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，
所以∠5＝50°(等式的性质)．
所以∠4＝∠5(等量代换)．
所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．
因为a∥b，b∥c(已知)，
所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
例10．（2019·上海七年级单元测试）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？
【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．
【详解】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于得到∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2.
例11．（2019·上海兰田中学七年级期中）看图填空，并在括号里填上理由.
如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2.说明BE∥CF的理由.
理由：
∵ AB⊥BC(已知)，
∴∠1+∠3=90°（ ）.
同理∠2+∠4=90°.
∵ ∠1=∠2 ( ).
∴ ∠3=∠4（ ）.
∴ BE∥CF（ ）.
【答案】垂直的定义, 已知, 等角的余角相等, 内错角相等两直线平行
【分析】先根据垂直的定义得出∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再由∠1=∠2可得出∠3=∠4，由此可得出结论．
【详解】∵ AB⊥BC(已知)，
∴∠1+∠3=90°（垂直的定义）.
同理∠2+∠4=90°.
∵ ∠1=∠2 ( 已知 ).
∴ ∠3=∠4（等角的余角相等 ）.
∴ BE∥CF（内错角相等两直线平行）.
故答案是：垂直的定义, 已知, 等角的余角相等, 内错角相等两直线平行.
【点睛】考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
例12.直线a、b被直线l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b吗？为什么．
【难度】★★★
【答案】平行，见解析．
【解析】因为∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等）
所以∠1=∠3（等量代换）
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
例13.直线AB、CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，如果∠1=60°，∠2=30°，
GH⊥CD，垂足为H，说明AB∥CD．
【难度】★★★
【解析】因为GH⊥CD（已知），所以∠DHG=90°（垂直的意义）
又因为∠2=30°（已知），所以∠DHF=60°（等式性质）
所以∠EHC=60°（对顶角相等）
因为∠1=60°（已知）， 所以∠EHC=∠1=60°（等量代换）
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理及垂直意义的综合运用．
例14.已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，说明DF∥AE的理由．
【难度】★★★
【解析】因为CD⊥DA，DA⊥AB（已知）， 所以∠CDA=∠DAB=90°（垂直的意义）
又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠FDA=∠DAE（角的和差）
所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的运用．
例15.根据图中已知条件说明AB∥CD的理由．
【难度】★★★
【解析】（1）因为，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
（2）60°的对顶角还是60°，30°的余角是60°，60°=60°，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
因为，所以，
所以∠DCA+∠CAB=180°，所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．
例16.已知，BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，∠E=90°，判断AB、CD是否平行，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】平行．
【解析】因为∠E=90°（已知）
所以∠EBD+∠EDB=90°（三角形的内角和等于180°）
又因为BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB(已知）
所以∠ABD+∠CDB=2∠EBD+2∠EDB=180°（角平分线意义）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的运用．
随堂检测
1.下列说法中，错误的有（）
∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截的内错角；
∠1与∠B是直线AC、BC被直线AB所截得的同旁内角；
∠3与∠4是直线AC、CD被直线AD所截得的内错角；
∠2与∠4是直线AD、AC被直线CD所截得的同位角．
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】A
【解析】（1）错误：应是直线AB、DC被直线AC所截得的内错角；
正确；（3）正确；（4）正确．
【总结】本题考查内错角、同位角、同旁内角的概念．
2.两条直线被第三条直线所截，在形成的八个角中，如果∠1与∠2是同位角，∠1与∠3是内错角，那么∠3与∠2是（）．
A．同位角B．同旁内角C．邻补角D．对顶角
【难度】★
【答案】D
【解析】作图即可得出．
【总结】本题考查三线八角中各个角之间的关系．
3.如图，点P在∠AOB的内部，过P点分别作a∥AO，b∥OB．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线OA重合，将其中
一条直角边紧靠直尺，并固定直尺；
（2）将三角尺与直线OA重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
（3）沿着三角尺的直角边画出过点P的直线a，则直线a即为所求的平行线．
同理画出直线b即可．
【总结】本题考查平行线的的作法．
4.如图，已知∠C=∠B，AE平分∠DAC，说明AE∥BC的理由．
【难度】★★
【解析】因为∠DAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
又∠DAC=∠DAE+∠EAC（角的和差）
所以∠B+∠C=∠DAE+∠EAC（等量代换）
因为AE平分∠DAC（已知）
所以∠DAE=∠EAC（角平分线的意义）
因为∠C=∠B（已知）
所以∠DAE=∠B（等量代换）
所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定与角平分线意义的综合运用．
5.如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，说明AB∥CE．
【难度】★★
【解析】因为CE平分∠ACD（已知）
所以∠1=∠2（角平分线的定义）
又因为∠1=∠B（已知）
所以∠B=∠2（等量代换）
所以AB∥CE（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定与角平分线的意义的综合运用．
6.如图，完成下列填空：
因为∠1=∠4（已知）
所以AB∥______（ ）
因为∠2=∠3（已知）
所以_______∥______（ ）
因为AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
所以________∥______（ ）
【难度】★★
【答案】CD；内错角相等，两直线平行；AD；BC；内错角相等，两直线平行；AE；CF；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
【解析】考查平行线的判定．
【总结】本题考查平行线的判定．
7.如图，∠2的同位角，内错角各有几个，请用数字标出．
【难度】★★
【解析】同位角的形状如F，图中共有3个；内错角的形状如Z，图中共有2个．.
【总结】本题考查同位角的概念，老师可以让学生自己先试着标一下．
8.如图，∠1+∠2=180°，说明BE∥DF的理由．
【难度】★★
【解析】因为∠1+∠3=180°（平角的定义）
又因为∠1+∠2=180°（已知）
所以∠2=∠3（等量代换）
所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
9.如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，试说明DG∥BA．
【难度】★★★
【解析】因为AD⊥BC，EF⊥BC （已知）
所以EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
所以∠BEF=∠BAD（等量代换）
又因为∠BEF=∠ADG（已知）
所以∠BAD=∠ADG（等量代换）
所以DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的性质定理与判定定理的综合运用．
10.∠AOE +∠BEF=180°，∠AOE+∠CDE=180°，那么可以判断哪几组直线平行?
并说明理由．
【难度】★★★
【解析】因为∠BEF=∠OED （对顶角相等）
又因为∠AOE+∠BEF=180°（已知）
所以∠AOE+∠OED =180°（等量代换）
所以AO∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠AOE=∠DEB（两直线平行，同位角相等）
又因为∠AOE+∠CDE=180°（已知）
所以∠CDE+∠DEB=180°（等量代换）
所以CD∥OB（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的性质定理与判定定理的综合运用，注意认真分析题目中条件．
知识精讲
同位角、内错角、同旁内角(三线八角)
若直线a，b被直线所截：
（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做
同位角．（如）
（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角
叫做内错角．（如）
（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的
一对角互为同旁内角．（如）
注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．
例题解析
例1．（2020·上海静安区·七年级期中）如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】根据同位角、同旁内角．内错角的定义进行判断．
【详解】A．与不是同位角，故选项A错误；
B．与是内错角，故该选项错误；
C．与是同旁内角，故选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义．熟记同位角、同旁内角、内错角的定义是解答此题的关键．
例2．（2020·上海闵行区·七年级期末）如图中∠1、∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，依此即可求解．
【详解】A、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意
B、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
D、∠1与∠2的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
例3．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，与构成内错角的角是______；
【答案】∠DEA和∠BCD．
【分析】根据内错角的定义解答即可．
【详解】解：∠CDE与∠DEA可以看成直线AC与直线CD被直线DE所截的内错角;
∠CDE与∠BCD可以看成直线DE与直线BC被直线CD所截的内错角．
故答案为：∠DEA和∠BCD．
【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角的识别，掌握内错角的定义是解答本题的关键．
例4．（2019·上海兰田中学七年级期中）如图，∠B的同位角是__________.
【答案】∠ECD和∠ACD
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，进行分析可得答案．
【详解】∠B的同位角是∠ECD，∠ACD，
故答案是：∠ECD和∠ACD．
【点睛】考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．
例5．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，∠的内错角是_______________.
【答案】；
【分析】根据内错角的概念，在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．
【详解】解：由图知，∠B和∠DAB是直线CB和DC被BE所截形成的，在截线两侧，且在两被截线之间，所以∠B的内错角是∠DAB．
故答案为：∠DAB．
【点睛】本题考查了内错角的概念，记准在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．注意分清截线和被截线．
例6.在直线AB、CD被直线EF所截的八个角中∠1和∠5是一对________角，∠3和∠5是一对________角，∠4和∠5是一对________角．
【难度】★
【答案】同位角；内错角；同旁内角．
【解析】同位角像字母F，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
例7.（1）如图∠1和∠2是直线________与________被直线_______所截，所形成的______角；
（2）∠3和∠4是直线_____与_______被直线______所截，所形成的_______角；
（3）∠C的同旁内角是_________．
【难度】★
【答案】（1）DC、AB、DB、内错角；
（2）AD、CB、DB、内错角；
（3）．
【解析】两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做
内错角，内错角像字母Z，同旁内角像字母U．
【总结】本题考查内错角、同旁内角的概念及特征．
例8.如图，下列说法错误的是（）
A．∠5和∠3是同位角B．∠1和∠4是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角
【难度】★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角，
故∠1和∠4不是同位角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
例9.如图，与∠C是同旁内角的有（）
A．5个 B．4个C．3个D．2个
【难度】★
【答案】B
【解析】∠C的同旁内角有：∠CED、∠B、∠EDC、∠ADC共四个．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
例10.如图，同旁内角的对数是（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【难度】★★
【答案】B
【解析】两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互
为同旁内角．
【总结】本题考查同旁内角的概念及特征．
例11.如图，∠1和∠2是同位角的是（）
A．（1）(2)B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）（2）（4）中∠1与∠2都在截线的同旁，并且都在被截直线的同侧，是同位角；
（3）中∠1与∠2两边不在同一直线上，不是同位角，故选C．
【总结】本题考查同位角的概念及特征，注意很多学生会容易误以为（2）中的两个角不是
同位角，老师们要注意纠错哦．
例12.指出下图中：
（1）∠C与∠D的关系；
（2）∠B与∠GEF的关系；
（3）∠A与∠D的关系；
（4）∠AGE与∠BGE的关系；
（5）∠CFD与∠AFB的关系．
【难度】★★
【答案】（1）同旁内角；（2）同位角；（3）内错角；（4）邻补角；（5）对顶角．
【解析】 两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做
同位角．两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角
叫做内错角．两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的
一对角互为同旁内角．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角、对顶角的概念及特征．
例13.如图（1）直线DE、BC被直线AB所截，射线DF在∠ADE内部，指出∠1的同位角；
（2）如果∠1和∠2相等，那么∠1和∠4相等吗? ∠1和∠ADE相等吗?为什么?
【难度】★★
【答案】（1）∠ADF、∠ADE；（2）．
【解析】（2）因为∠1=∠2（已知）
所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行）
所以∠1=∠ADE（两直线平行，同位角相等）
所以∠1不等于∠4
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．
例14.三条直线两两相交，且不交于同一点，则在所成的图形中，共有多少对同位角?多少对内错角?多少对同旁内角．
【难度】★★
【答案】12；6；6．
【解析】同位角：∠1与∠12、∠1与∠6、∠4与∠11、∠4与∠5、∠3与∠8、∠3与∠10、
∠2与∠7、∠2与∠9、∠9与∠6、∠12与∠5、∠11与∠8、∠10与∠7；
内错角：∠2与∠5、∠4与∠9、∠3与∠6、∠3与∠12、∠10与∠5、∠9与∠8；
同旁内角：∠2与∠6、∠8与∠10、∠4与∠12、∠3与∠5、∠3与∠9、∠5与∠9．
【总结】本题考查同位角、内错角、同旁内角的概念及特征．
模块二：平行线的意义及基本性质
知识精讲
1、平行线的定义
同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
2、平行线的基本性质
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行线之间的距离处处相等；
（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．
例题解析
例1.（1）在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系_______和________；
（2）如果两条直线都_______于同一条直线，那么这两条直线平行．
【难度】★
【答案】（1）相交、平行； （2）平行．
【解析】（1）同一平面内，不重合的直线要么相交要么平行；（2）平行于同一条直线的两直线平行．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系及平行线的传递性．
例2.在同一平面内，和已知直线平行的直线（ ）
A．有且只有一条B．有无数条C．一条也没有 D．条数不确定
【难度】★
【答案】B
【解析】同一平面内和已知直线平行的直线有无数条．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例3.已知两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线（ ）
A．垂直B．平行C．相交 D．可能垂直，也可能平行
【难度】★
【答案】D
【解析】同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，否则可能产生异面垂直．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例4.判断题：
（1）同位角一定相等（）
（2）不相交的两条直线叫平行线（）
（3）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（）
（4）和已知直线平行的直线有无数条（）
【难度】★
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√．
【解析】（1）只有两直线平行，同位角才相等；（2）前提是在同一平面内，×；
（3）√；（4）√．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例5.下列各图中，不能判断直线a∥b的是（）
【难度】★★
【答案】C
【解析】A可通过内错角相等判断出平行；B可以通过同一平面内，垂直于同一条直线的两
直线平行；D可以通过同位角相等两直线平行来判断．
【总结】本题考查平行线的判定．
例6.判断题：
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（）
（2）两条直线不相交则必平行（）
（3）与已知直线平行的直线有且只有一条（）
（4）与已知直线垂直的直线有且只有一条（）
【难度】★★
【答案】（1）×； （2）×； （3）×； （4）×．
【解析】（1）错，线段有一定长度可以不相交，但其延长线确可能相交，只有两线段的延
长线也不会相交才叫平行线；（2）前提是在同一平面内，错；（3）有无数条，×；
（4）有无数条，×．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例7.直线AB、CD、a、b在同一平面内，且AB∥CD，若直线a与AB、CD都相交，直线b与AB、CD也都相交，则直线a、b的位置关系是（）．
A．垂直B．平行C．相交 D．相交或平行
【难度】★★
【答案】D
【解析】可能相交也可能平行．
【总结】本题考查平面上直线间的位置关系．
例8.下列四个说法中，正确的个数是（）．
在同一平面内不相交的两条线段必平行；
在同一平面内不相交的两条直线必平行；
在同一平面内不平行的两条线段必相交；
在同一平面内不平行的两条直线必相交
A．1B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】A
【解析】①错：线段有一定长度可以不相交，但其延长线却可能相交，只有两线段的延长线
也不会相交才叫平行；②错：可能重合；③错：注意题中说的是“线段”；④正确．
【总结】本题考查同一平面内直线的位置关系．
例9.如图，经过点P画直线PE∥OA，交OB于点E；画直线PF∥OB，交OA于点F．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线OA重合，将其中一条
直角边紧靠直尺，并固定直尺；
将三角尺与直线AB重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
沿着三角尺的直角边画出过点P的直线PE，则直线PE即为所求的平行线．
同理，画出直线PF即可．
【总结】本题考查平行线的作法．
例10.如图，直线AB、CD相交于点O，P是直线AB、CD外的一点，经过点P画出直线EF，与直线CD相交于点E，与直线AB平行．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线AB重合，
将其中一条直角边紧靠直尺，并固定直尺；
（2）将三角尺与直线AB重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
（3）沿着三角尺的直角边画出过点P的直线EF，则直线EF即为所求的平行线．
【总结】本题考查平行线的作法，需要三角尺、直尺两个作图工具．
例11.在同一平面内有互不重合的五条直线a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，
a3∥a4，a4⊥a5，那么a1与a5的位置关系是什么．
【难度】★★★
【答案】平行，见解析．
【解析】因为a3∥a4，a4⊥a5，所以a3⊥a5，又因为a2⊥a3，所以 a2 ∥a5．又因为a1∥a2，
所以a1∥a5（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
【总结】本题考查同一平面内，两直线的位置关系．
模块三：平行线的判定
平行线的三种判定方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，同位角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单地说，内错角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
一、单选题
例1．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，不能推断的是（ ）
A．∠1=∠5 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4+∠5 D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【详解】A．∠1=∠5可根据内错角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
B．∠2=∠4可根据内错角相等两直线平行得AB∥DC，不能得到AD∥BC，故此选项符合题意；
C．∠3=∠4+∠5可根据同位角相等两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
D．∠B+∠1+∠2=180°可根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
例2．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图：，，，下列条件能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据内错角相等，两直线平行，得到的度数，即可判断．
【详解】∵，，
∴要使，则或即可
故选B．
【点睛】掌握平行线的判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补均可．
例3.看图填空，并在括号里写出适当的理由．
如图；因为∠1=__________（已知）
所以AD∥BC（）
因为∠1=∠A（已知）
所以_________∥_________（）
【难度】★★
【答案】（1）∠2、同位角相等，两直线平行；
（2）AE、CD、同位角相等，两直线平行．
【解析】同位角相等两直线平行．
【总结】本题考查平行线的判定．
例4.如图，如果∠1等于它的余角，∠2的补角是它的3倍，那么AB与CD的关系是（ ）．
A．垂直B．平行C．相交 D．不能确定
【难度】★★
【答案】B
【解析】因为∠1=它的余角，所以∠1=45°，
又因为∠2的补角是它的3倍，所以∠2=45°
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
例5.（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，，试说明．
解：∵∠1=∠2（已知）
∴（______）
即=∠______
∵∠3=∠4，（已知）
∴∠3=∠______（______）
∴∠3=∠______
∴（______）
【分析】由∠1=∠2易得=，由等量代换可得∠3=∠DAC，再根据内错角相等判定．
【详解】∵∠1=∠2（已知）
∴（等式的性质）
即=∠ DAC
∵∠3=∠4，（已知）
∴∠3=∠BAE（等量代换）
∴∠3=∠DAC
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的判定，灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键．
例6．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，AC⊥AB,EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2,试问AC⊥DG吗?
【答案】AC⊥DG，证明见解析.
【分析】由垂线的定义和平行线的判定可得EF∥AD,根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3,结合已知由等量代换可得∠1=∠3,从而根据内错角相等得出AB∥DG, 从而得出DG⊥AC.
【详解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD,∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥DG,
∵AC⊥AB,∴DG⊥AC.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定以及垂线的性质.根据已知条件找出平行线是解题的关键.
例7．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知，如图，DE//BC，∠ADE=∠EFC,将说明∠1=∠2成立的理由填写完。
解:DE//BC （ ）
∠ADE=_________ （ ）
∠ADE=∠EFC （ ）
_____________=_____________ （ ）
DB//EF（ ）
∠1= ∠2 （ ）
【分析】根据DE//BC可得∠ADE=∠ABC，然后再证明∠ABC=∠EFC，可得DB//EF，进而得到∠1= ∠2.
【详解】DE//BC （已知）
∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∠ADE=∠EFC （已知）
∠ABC=∠EFC（等量代换）
DB//EF（同位角相等，两直线平行）
∠1= ∠2 （两直线平行，内错角相等）
故答案为：已知；∠ABC，两直线平行，同位角相等；已知；∠ABC=∠EFC，等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
例8．（2019·上海市光明中学七年级期中）如图,已知AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+15)°,求∠C的度数
【答案】∠C的度数为45°.
【分析】由EC∥FB，可得∠B=∠BGC，再由AB∥CD，∠C+∠BGC=180°，代数条件数据，解方程即可.
【详解】解：∵EC∥FB，∴∠B=∠BGC=(3x+15)°（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，∴∠C+∠BGC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
代入条件得(85-x)°+ (3x+15)°=180°，解得x=40；则∠C=45°.
【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，同旁内角互补，熟练根据相等的角进行转换是解题关键.
例9．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．
【分析】由条件可分别得到∠1+∠2=180°，可证明a∥b；可求得∠4=∠3，可证明d∥e；由∠5+∠6=180°可求得∠4=∠5，可证明b∥c，由平行的传递性可得a∥c．
【详解】因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，
所以∠1+∠2＝180°．
所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝50°(已知)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．
所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．
因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，
所以∠5＝50°(等式的性质)．
所以∠4＝∠5(等量代换)．
所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．
因为a∥b，b∥c(已知)，
所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
例10．（2019·上海七年级单元测试）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？
【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．
【详解】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于得到∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2.
例11．（2019·上海兰田中学七年级期中）看图填空，并在括号里填上理由.
如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2.说明BE∥CF的理由.
理由：
∵ AB⊥BC(已知)，
∴∠1+∠3=90°（ ）.
同理∠2+∠4=90°.
∵ ∠1=∠2 ( ).
∴ ∠3=∠4（ ）.
∴ BE∥CF（ ）.
【答案】垂直的定义, 已知, 等角的余角相等, 内错角相等两直线平行
【分析】先根据垂直的定义得出∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再由∠1=∠2可得出∠3=∠4，由此可得出结论．
【详解】∵ AB⊥BC(已知)，
∴∠1+∠3=90°（垂直的定义）.
同理∠2+∠4=90°.
∵ ∠1=∠2 ( 已知 ).
∴ ∠3=∠4（等角的余角相等 ）.
∴ BE∥CF（内错角相等两直线平行）.
故答案是：垂直的定义, 已知, 等角的余角相等, 内错角相等两直线平行.
【点睛】考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
例12.直线a、b被直线l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b吗？为什么．
【难度】★★★
【答案】平行，见解析．
【解析】因为∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等）
所以∠1=∠3（等量代换）
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
例13.直线AB、CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，如果∠1=60°，∠2=30°，
GH⊥CD，垂足为H，说明AB∥CD．
【难度】★★★
【解析】因为GH⊥CD（已知），所以∠DHG=90°（垂直的意义）
又因为∠2=30°（已知），所以∠DHF=60°（等式性质）
所以∠EHC=60°（对顶角相等）
因为∠1=60°（已知）， 所以∠EHC=∠1=60°（等量代换）
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理及垂直意义的综合运用．
例14.已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，说明DF∥AE的理由．
【难度】★★★
【解析】因为CD⊥DA，DA⊥AB（已知）， 所以∠CDA=∠DAB=90°（垂直的意义）
又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠FDA=∠DAE（角的和差）
所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的运用．
例15.根据图中已知条件说明AB∥CD的理由．
【难度】★★★
【解析】（1）因为，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
（2）60°的对顶角还是60°，30°的余角是60°，60°=60°，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
因为，所以，
所以∠DCA+∠CAB=180°，所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．
例16.已知，BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，∠E=90°，判断AB、CD是否平行，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】平行．
【解析】因为∠E=90°（已知）
所以∠EBD+∠EDB=90°（三角形的内角和等于180°）
又因为BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB(已知）
所以∠ABD+∠CDB=2∠EBD+2∠EDB=180°（角平分线意义）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定定理的运用．
随堂检测
1.下列说法中，错误的有（）
∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截的内错角；
∠1与∠B是直线AC、BC被直线AB所截得的同旁内角；
∠3与∠4是直线AC、CD被直线AD所截得的内错角；
∠2与∠4是直线AD、AC被直线CD所截得的同位角．
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】A
【解析】（1）错误：应是直线AB、DC被直线AC所截得的内错角；
正确；（3）正确；（4）正确．
【总结】本题考查内错角、同位角、同旁内角的概念．
2.两条直线被第三条直线所截，在形成的八个角中，如果∠1与∠2是同位角，∠1与∠3是内错角，那么∠3与∠2是（）．
A．同位角B．同旁内角C．邻补角D．对顶角
【难度】★
【答案】D
【解析】作图即可得出．
【总结】本题考查三线八角中各个角之间的关系．
3.如图，点P在∠AOB的内部，过P点分别作a∥AO，b∥OB．
【难度】★★
【解析】（1）首先，将三角尺的直角边与直线OA重合，将其中
一条直角边紧靠直尺，并固定直尺；
（2）将三角尺与直线OA重合的直角边沿直尺平行移动至过点P处；
（3）沿着三角尺的直角边画出过点P的直线a，则直线a即为所求的平行线．
同理画出直线b即可．
【总结】本题考查平行线的的作法．
4.如图，已知∠C=∠B，AE平分∠DAC，说明AE∥BC的理由．
【难度】★★
【解析】因为∠DAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
又∠DAC=∠DAE+∠EAC（角的和差）
所以∠B+∠C=∠DAE+∠EAC（等量代换）
因为AE平分∠DAC（已知）
所以∠DAE=∠EAC（角平分线的意义）
因为∠C=∠B（已知）
所以∠DAE=∠B（等量代换）
所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定与角平分线意义的综合运用．
5.如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，说明AB∥CE．
【难度】★★
【解析】因为CE平分∠ACD（已知）
所以∠1=∠2（角平分线的定义）
又因为∠1=∠B（已知）
所以∠B=∠2（等量代换）
所以AB∥CE（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定与角平分线的意义的综合运用．
6.如图，完成下列填空：
因为∠1=∠4（已知）
所以AB∥______（ ）
因为∠2=∠3（已知）
所以_______∥______（ ）
因为AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
所以________∥______（ ）
【难度】★★
【答案】CD；内错角相等，两直线平行；AD；BC；内错角相等，两直线平行；AE；CF；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
【解析】考查平行线的判定．
【总结】本题考查平行线的判定．
7.如图，∠2的同位角，内错角各有几个，请用数字标出．
【难度】★★
【解析】同位角的形状如F，图中共有3个；内错角的形状如Z，图中共有2个．.
【总结】本题考查同位角的概念，老师可以让学生自己先试着标一下．
8.如图，∠1+∠2=180°，说明BE∥DF的理由．
【难度】★★
【解析】因为∠1+∠3=180°（平角的定义）
又因为∠1+∠2=180°（已知）
所以∠2=∠3（等量代换）
所以BE∥DF（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定．
9.如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，试说明DG∥BA．
【难度】★★★
【解析】因为AD⊥BC，EF⊥BC （已知）
所以EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
所以∠BEF=∠BAD（等量代换）
又因为∠BEF=∠ADG（已知）
所以∠BAD=∠ADG（等量代换）
所以DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的性质定理与判定定理的综合运用．
10.∠AOE +∠BEF=180°，∠AOE+∠CDE=180°，那么可以判断哪几组直线平行?
并说明理由．
【难度】★★★
【解析】因为∠BEF=∠OED （对顶角相等）
又因为∠AOE+∠BEF=180°（已知）
所以∠AOE+∠OED =180°（等量代换）
所以AO∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠AOE=∠DEB（两直线平行，同位角相等）
又因为∠AOE+∠CDE=180°（已知）
所以∠CDE+∠DEB=180°（等量代换）
所以CD∥OB（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的性质定理与判定定理的综合运用，注意认真分析题目中条件．
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