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第7讲 平行线判定及性质（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）
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这是一份第7讲 平行线判定及性质（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第7讲平行线判定及性质讲义解析版docx、第7讲平行线判定及性质讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
模块一：平行线的性质定理
知识精讲
平行线的性质定理
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简记为：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简记为：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简记为：两直线平行，同旁内角互补．
例题解析
例1．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
例2．（2019·上海杨浦区·）如图，直线a、b被直线c所载，a//b，已知，则= ______︒
【答案】120
【分析】由a∥b，得，进而即可求解．
【详解】∵a∥b，，∴，
∴．
故答案是：120
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
例3．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知∠A与∠B的两边分别平行，如果∠A=55°,那么∠B=_________度
【答案】125°或55°
【分析】根据角的两边分别平行，可以得出∠A+∠B=180°或∠A=∠B，代入求解即可.
【详解】∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
∵∠A=55°，∴∠B=125°或55°.故答案为：125°或55°.
【点睛】本题考查了平行线性质的运用，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补.
例4．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，直线a//b,∠1=25°，∠p=75°,则∠2=________
【答案】50°
【分析】过点P作直线a的平行线，根据平行线性质可得∠1=∠4=25°，∠2=∠3，再根据已知角的度数即可求出∠3的大小，即∠2的大小求出.
【详解】
如图，过点P作PM∥直线a,∵a∥b,∴a∥PM∥b,
∴∠1=∠4=25°，∠2=∠3，∴∠3=75°-25°=50°，∴∠2=50°.故答案为：50°.
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解题的关键，同时注意两直线平行，内错角相等.
例5.如图，AC//DB，，则=__________．
【难度】★
【答案】124度．
【解析】因为AC//DB（已知），
所以（两直线平行，同旁内角互补），
因为（已知），所以（等式性质）
【总结】考察平行线的性质的运用．
例6.（1）如图，已知DE//BC，，则与相等的角（不包含）有______个；
（2）如图，若AB//FD，则=____________，若AC//ED，则=__________．
【难度】★
【答案】（1）2个；（2）；∠2．
【解析】（1）因为DE//BC（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等），
又因为（已知），所以（等量代换）；
（2）=（两直线平行，同位角相等）；（两直线平行，内错角角相等）．
【总结】考察平行线的性质的运用．
例7.如图，直线，则的值等于（）
A．20B．80C．120D．180
【难度】★
【答案】A
【解析】因为，所以
又因为，解得，故．
【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．
例8.如图，直线，点B在直线上，且，，则的度数
是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】因为（已知），所以（垂直的意义）
因为（已知），
所以 （两直线平行，同位角相等）
因为（已知）， 所以（等量代换）
因为（平角的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．
例9.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）
A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余
【难度】★★
【答案】A
【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．
【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论．
例10.如图，已知，等于（）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．
上半部分与角B互补；下半部分与角D互为内错角；
所以易知．
【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线．
例11.如图，平分，则等于（ ）
A．B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为（已知）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（角的和差），（已知）
所以（等式性质）
因为（已知）， 所以（角平分线的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．
例12.如图，，，，求及的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）
即
解得：
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的基本性质．
例13.如图，已知，，，能推断出吗？为什么？
【难度】★★
【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：
所以AB//CD，CD//EF（同旁内角互补，两直线平行）
所以AB//EF，即AB//CD//EF，即证．
【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．
例14.已若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且∠A是∠B的2倍少30°，求∠A与∠B的度数．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】由题意可知，，又因为∠A是∠B的2倍少30°，
所以，即或
【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．
例15.已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，
A=D，1=2，试说明：B=C．
【难度】★★
【解析】因为
所以，
所以
所以
因为， 所以
所以
所以
【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．
例16.如图，直线GC截两条直线AB、CD，AE是的平分线，CF是的平分线，且，那么吗？为什么？
【难度】★★
【解析】因为AE是的平分线，CF是的平分线（已知）
所以（角平分线的性质）
因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）
所以
所以
【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
例17.如图，，，那么，为什么？
【难度】★★
【解析】因为（已知），
所以， 即
因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）
即， 又因为（已知），所以（等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．
例18.如图，已知AD平分，，试说明的理由．
【难度】★★
【解析】因为AD平分（已知），
所以（角平分线的意义）
因为（已知）， 所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
所以（等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．
例19.已知：如图，，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．
【难度】★★
【解析】因为（已知）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知），所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
因为EF⊥AB（已知）， 所以CG⊥AB．
【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．
例20.已知，正方形ABCD的边长为4，求三角形EBC的面积．
【难度】★★
【答案】8平方厘米．
【解析】由题意可知：三角形EBC与正方形同底BC，且其高即是
正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：
【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．
例21.如图，AD//BC，，求三角形ABC与三角形ACD的面积之比．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为
所以三角形ABC与三角形ACD的高相等（平行线间的距离处处相等）
所以（两三角形高相等，面积比等于底之比）
【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．
例22.如图，，，BE=EF=FC，三角形AEG的面积等于7，求四边形AEFD的面积．
【难度】★★★
【答案】21
【解析】联结BG、CG．
因为（已知）
所以（同底等高的两个三角形面积相等）
因为BE=EF（已知）， 所以（等底等高的两个三角形面积相等）
所以=7（等量代换）， 同理．
所以．
【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．
例23.已知E是平行四边形ABCD边BC上一点，DE延长线交AB延长线于F，试说明相等的理由．
【难度】★★★
【解析】因为，所以，
所以
所以
【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征．
模块二：辅助线的添加
例题解析
例1.如图，已知AB∥ED，试说明：∠B+∠D＝∠C．
【难度】★★
【解析】过点C作AB的平行线CF，
因为AB∥ED（已知）
所以（平行的传递性）
所以
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．
例2.如图所示，已知，，试说明AE∥CD．
【难度】★★
【解析】过点B向右作BF//AE，
所以
因为（已知）
所以（等式性质）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（平行的传递性）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．
例3.如图，已知：AB//CD，试说明：B+D+BED=（至少用三种方法）．
【难度】★★
【解析】方法一：连接BD
则∠EBD+∠EDB+∠E=180°（三角形内角和等于180°）
因为AB//CD（已知），所以∠ABD+∠BDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠ABD+∠EBD+∠EDB+∠BDC+∠E=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°
方法二：过点E作EF//CD，
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°（等式性质）
即∠B+∠D+∠BED=360°；
方法三：过点E作
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以（两直线平行，同旁内角互补）
所以B+D+BED=（等式性质）；
方法四：过点E作EF⊥CD的延长线与F，EG垂直于AB的延长线于G，
则有：∠B=∠BGE+∠GEB，∠D=∠EDF+∠DFE，
所以∠B+∠D+∠BED=∠BGE+∠DFE+∠GED=180+180=360°．
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．
例4.如图所示，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，试说明BC∥EF的理由．
【难度】★★★
【解析】连接AD、BE
因为AF∥CD（已知）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
所以AB∥DE（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
所以BC∥EF（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
例5.如图已知，AB//CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，求∠E和∠F的关系．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】过点E、点F分别作AB的平行线EG、FH．
因为
所以
所以
所以
所以
同理：
因为∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE
所以
所以
【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．
例6.如图，已知：AC//BD，联结AB，则AC、BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P落在某个部分时，联结PA、PB，构成PAC、APB、PBD三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
当点P落在第①部分时，试说明：PAC+PBD=APB；
当点P落在第②部分时，试说明：PAC+PBD=APB是否成立?
（3）当点P落在第③部分时，全面探究PAC、APB、PBD之间的关系是__________，
并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．
【难度】★★★
【解析】（1）过点P作PE // AC．
（平行的传递性）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（角的和差）
所以（等量代换）
不成立，过点P作AC的平行线即可证明．
分类讨论如下：
①当动点P在射线BA的右侧时，结论是；
②当动点P在射线BA上时，结论是
③当动点P在射线BA的左侧时，结论是．
【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．
随堂检测
1.填空：
如图（1），AB//CD，CE平分，，则________；
如图（2），已知AB//CD，，EF平分，，
则__________．
【难度】★
【答案】（1）30°； （2）50°．
【解析】（1）因为AB∥CD（已知），所以（两直线平行，同旁内角互补）
因为（已知）， 所以（等式性质）
又因为CE平分∠ACD（已知）， 所以∠ECD=30°（角平分线的意义）
（2）因为AB∥CD（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）
因为（已知）， 所以（等式性质）
又因为EF平分（已知）， 所以∠BEF=40°（角平分线的意义）
因为EG⊥EF（已知）， 所以（垂直的意义）
因为（平角的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质的运用．
2.填空：
（1）如图，直线，三角形ABC的面积是42，AB=6，则、间的距离为_________；
（2）如图，在三角形ABC中，点D是AB的中点，则三角形ACD和三角形ABC 的面积之比为____________．
【难度】★
【答案】（1）14厘米 ；（2）．
【解析】（1）三角形ABC的高为：，所以a、b间的距离为14厘米；
（2）因为三角形ACD和三角形ABC高相等，所以面积之比等于底之比，
．
【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．
3.如图，已知FC//AB//DE，,则、、的度数分别为______________．
【难度】★
【答案】，，．
【解析】因为FC//AB//DE（已知），
所以
设，则可列方程：，解得：
则，，．
4.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是
()．
A．42°和138° B．都是10°C．42°和138°或都是10° D．以上都不对
【难度】★★
【答案】A
【解析】由题意假设这两个角分别为A、B，则有：，
又因为∠A是∠B的3倍多12°，则有：，
即．
【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．
5.如图，已知QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，∠1+∠2=90°，那么直线PQ、MN的位置关系．
【难度】★★
【解析】因为QR平分∠PQN，NR平分∠QNM（已知）
所以，（角平分线的意义）
因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN+∠MNQ=180°（等式性质）
所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．
6.如图，已知：AB∥CD，EF和AB、CD相交于G、H两点，MG平分∠BGH，NH平分∠DHF，试说明：GM∥NH．
【难度】★★
【解析】（已知）
（两直线平行，同位角相等）
MG平分∠BGH，NH平分∠DHF
【总结】本题考查平行线的判定
7.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，三角形内一点O到各边的距离相等，求这个距离是多少．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】设这个距离是x，则有：
解得：．
【总结】本题可以用面积法求解比较简单．
8.如图，已知AB，CD分别垂直EF于B，D，且∠DCF=60°，∠1=30°．试说明：．
【难度】★★
【解析】因为CD⊥EF， 所以（垂直的意义）
因为∠DCF=60°（已知）， 所以∠F=30°（三角形的内角和等于180°）
因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F（等量代换）
所以BM∥AF（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．
9.如图，已知直线；
（1）若，， 求，，的度数；
（2）若，，，求、的值．
【难度】★★
【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以，即x+y=90°
因为 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）
即x = y+30， 解得：x=60°，y=30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；
（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x+y=180°，
因为 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）
即， 解得：x=72°，y=108°．
【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．
10.如图，ADC=∠ABC，1+FDB=180°，AD是∠FDB的平分线，试说明BC为∠DBE的平分线．
【难度】★★★
【解析】因为1+FDB=180°（已知），
又因为
所以（等量代换）
所以
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
因为（已证）， 所以（两直线平行，内错角相等）
即（角的和差）
因为， 所以（角平分线的意义）
即BC为∠DBE的平分线
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．
11.如图，已知∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线，问：△ABC与△EBC的面积是否相等?为什么?
【难度】★★★
【答案】相等，证明见解析．
【解析】因为（平角的意义）
又（三角形内角和等于180°）
所以（等式性质）
因为∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线（已知）
所以
所以
所以AE与BC间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）
所以△ABC与△EBC的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．
模块一：平行线的性质定理
知识精讲
平行线的性质定理
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
简记为：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
简记为：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
简记为：两直线平行，同旁内角互补．
例题解析
例1．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
例2．（2019·上海杨浦区·）如图，直线a、b被直线c所载，a//b，已知，则= ______︒
【答案】120
【分析】由a∥b，得，进而即可求解．
【详解】∵a∥b，，∴，
∴．
故答案是：120
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
例3．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知∠A与∠B的两边分别平行，如果∠A=55°,那么∠B=_________度
【答案】125°或55°
【分析】根据角的两边分别平行，可以得出∠A+∠B=180°或∠A=∠B，代入求解即可.
【详解】∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
∵∠A=55°，∴∠B=125°或55°.故答案为：125°或55°.
【点睛】本题考查了平行线性质的运用，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补.
例4．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，直线a//b,∠1=25°，∠p=75°,则∠2=________
【答案】50°
【分析】过点P作直线a的平行线，根据平行线性质可得∠1=∠4=25°，∠2=∠3，再根据已知角的度数即可求出∠3的大小，即∠2的大小求出.
【详解】
如图，过点P作PM∥直线a,∵a∥b,∴a∥PM∥b,
∴∠1=∠4=25°，∠2=∠3，∴∠3=75°-25°=50°，∴∠2=50°.故答案为：50°.
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解题的关键，同时注意两直线平行，内错角相等.
例5.如图，AC//DB，，则=__________．
【难度】★
【答案】124度．
【解析】因为AC//DB（已知），
所以（两直线平行，同旁内角互补），
因为（已知），所以（等式性质）
【总结】考察平行线的性质的运用．
例6.（1）如图，已知DE//BC，，则与相等的角（不包含）有______个；
（2）如图，若AB//FD，则=____________，若AC//ED，则=__________．
【难度】★
【答案】（1）2个；（2）；∠2．
【解析】（1）因为DE//BC（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等），
又因为（已知），所以（等量代换）；
（2）=（两直线平行，同位角相等）；（两直线平行，内错角角相等）．
【总结】考察平行线的性质的运用．
例7.如图，直线，则的值等于（）
A．20B．80C．120D．180
【难度】★
【答案】A
【解析】因为，所以
又因为，解得，故．
【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．
例8.如图，直线，点B在直线上，且，，则的度数
是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】因为（已知），所以（垂直的意义）
因为（已知），
所以 （两直线平行，同位角相等）
因为（已知）， 所以（等量代换）
因为（平角的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．
例9.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）
A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余
【难度】★★
【答案】A
【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．
【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论．
例10.如图，已知，等于（）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．
上半部分与角B互补；下半部分与角D互为内错角；
所以易知．
【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线．
例11.如图，平分，则等于（ ）
A．B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为（已知）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（角的和差），（已知）
所以（等式性质）
因为（已知）， 所以（角平分线的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．
例12.如图，，，，求及的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）
即
解得：
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的基本性质．
例13.如图，已知，，，能推断出吗？为什么？
【难度】★★
【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：
所以AB//CD，CD//EF（同旁内角互补，两直线平行）
所以AB//EF，即AB//CD//EF，即证．
【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．
例14.已若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且∠A是∠B的2倍少30°，求∠A与∠B的度数．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】由题意可知，，又因为∠A是∠B的2倍少30°，
所以，即或
【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．
例15.已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，
A=D，1=2，试说明：B=C．
【难度】★★
【解析】因为
所以，
所以
所以
因为， 所以
所以
所以
【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．
例16.如图，直线GC截两条直线AB、CD，AE是的平分线，CF是的平分线，且，那么吗？为什么？
【难度】★★
【解析】因为AE是的平分线，CF是的平分线（已知）
所以（角平分线的性质）
因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）
所以
所以
【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
例17.如图，，，那么，为什么？
【难度】★★
【解析】因为（已知），
所以， 即
因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）
即， 又因为（已知），所以（等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．
例18.如图，已知AD平分，，试说明的理由．
【难度】★★
【解析】因为AD平分（已知），
所以（角平分线的意义）
因为（已知）， 所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
所以（等量代换）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．
例19.已知：如图，，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．
【难度】★★
【解析】因为（已知）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知），所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
因为EF⊥AB（已知）， 所以CG⊥AB．
【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．
例20.已知，正方形ABCD的边长为4，求三角形EBC的面积．
【难度】★★
【答案】8平方厘米．
【解析】由题意可知：三角形EBC与正方形同底BC，且其高即是
正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：
【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．
例21.如图，AD//BC，，求三角形ABC与三角形ACD的面积之比．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为
所以三角形ABC与三角形ACD的高相等（平行线间的距离处处相等）
所以（两三角形高相等，面积比等于底之比）
【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．
例22.如图，，，BE=EF=FC，三角形AEG的面积等于7，求四边形AEFD的面积．
【难度】★★★
【答案】21
【解析】联结BG、CG．
因为（已知）
所以（同底等高的两个三角形面积相等）
因为BE=EF（已知）， 所以（等底等高的两个三角形面积相等）
所以=7（等量代换）， 同理．
所以．
【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．
例23.已知E是平行四边形ABCD边BC上一点，DE延长线交AB延长线于F，试说明相等的理由．
【难度】★★★
【解析】因为，所以，
所以
所以
【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征．
模块二：辅助线的添加
例题解析
例1.如图，已知AB∥ED，试说明：∠B+∠D＝∠C．
【难度】★★
【解析】过点C作AB的平行线CF，
因为AB∥ED（已知）
所以（平行的传递性）
所以
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．
例2.如图所示，已知，，试说明AE∥CD．
【难度】★★
【解析】过点B向右作BF//AE，
所以
因为（已知）
所以（等式性质）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（平行的传递性）
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．
例3.如图，已知：AB//CD，试说明：B+D+BED=（至少用三种方法）．
【难度】★★
【解析】方法一：连接BD
则∠EBD+∠EDB+∠E=180°（三角形内角和等于180°）
因为AB//CD（已知），所以∠ABD+∠BDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠ABD+∠EBD+∠EDB+∠BDC+∠E=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°
方法二：过点E作EF//CD，
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°（等式性质）
即∠B+∠D+∠BED=360°；
方法三：过点E作
因为（已知）， 所以（平行的传递性）
所以（两直线平行，同旁内角互补）
所以B+D+BED=（等式性质）；
方法四：过点E作EF⊥CD的延长线与F，EG垂直于AB的延长线于G，
则有：∠B=∠BGE+∠GEB，∠D=∠EDF+∠DFE，
所以∠B+∠D+∠BED=∠BGE+∠DFE+∠GED=180+180=360°．
【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．
例4.如图所示，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，试说明BC∥EF的理由．
【难度】★★★
【解析】连接AD、BE
因为AF∥CD（已知）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
所以AB∥DE（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
所以BC∥EF（内错角相等，两直线平行）
【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．
例5.如图已知，AB//CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，求∠E和∠F的关系．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】过点E、点F分别作AB的平行线EG、FH．
因为
所以
所以
所以
所以
同理：
因为∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE
所以
所以
【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．
例6.如图，已知：AC//BD，联结AB，则AC、BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P落在某个部分时，联结PA、PB，构成PAC、APB、PBD三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
当点P落在第①部分时，试说明：PAC+PBD=APB；
当点P落在第②部分时，试说明：PAC+PBD=APB是否成立?
（3）当点P落在第③部分时，全面探究PAC、APB、PBD之间的关系是__________，
并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．
【难度】★★★
【解析】（1）过点P作PE // AC．
（平行的传递性）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（角的和差）
所以（等量代换）
不成立，过点P作AC的平行线即可证明．
分类讨论如下：
①当动点P在射线BA的右侧时，结论是；
②当动点P在射线BA上时，结论是
③当动点P在射线BA的左侧时，结论是．
【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．
随堂检测
1.填空：
如图（1），AB//CD，CE平分，，则________；
如图（2），已知AB//CD，，EF平分，，
则__________．
【难度】★
【答案】（1）30°； （2）50°．
【解析】（1）因为AB∥CD（已知），所以（两直线平行，同旁内角互补）
因为（已知）， 所以（等式性质）
又因为CE平分∠ACD（已知）， 所以∠ECD=30°（角平分线的意义）
（2）因为AB∥CD（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）
因为（已知）， 所以（等式性质）
又因为EF平分（已知）， 所以∠BEF=40°（角平分线的意义）
因为EG⊥EF（已知）， 所以（垂直的意义）
因为（平角的意义）
所以（等式性质）
【总结】本题考查平行线的性质的运用．
2.填空：
（1）如图，直线，三角形ABC的面积是42，AB=6，则、间的距离为_________；
（2）如图，在三角形ABC中，点D是AB的中点，则三角形ACD和三角形ABC 的面积之比为____________．
【难度】★
【答案】（1）14厘米 ；（2）．
【解析】（1）三角形ABC的高为：，所以a、b间的距离为14厘米；
（2）因为三角形ACD和三角形ABC高相等，所以面积之比等于底之比，
．
【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．
3.如图，已知FC//AB//DE，,则、、的度数分别为______________．
【难度】★
【答案】，，．
【解析】因为FC//AB//DE（已知），
所以
设，则可列方程：，解得：
则，，．
4.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是
()．
A．42°和138° B．都是10°C．42°和138°或都是10° D．以上都不对
【难度】★★
【答案】A
【解析】由题意假设这两个角分别为A、B，则有：，
又因为∠A是∠B的3倍多12°，则有：，
即．
【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．
5.如图，已知QR平分∠PQN，NR平分∠QNM，∠1+∠2=90°，那么直线PQ、MN的位置关系．
【难度】★★
【解析】因为QR平分∠PQN，NR平分∠QNM（已知）
所以，（角平分线的意义）
因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN+∠MNQ=180°（等式性质）
所以PQ∥MN（同旁内角互补，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．
6.如图，已知：AB∥CD，EF和AB、CD相交于G、H两点，MG平分∠BGH，NH平分∠DHF，试说明：GM∥NH．
【难度】★★
【解析】（已知）
（两直线平行，同位角相等）
MG平分∠BGH，NH平分∠DHF
【总结】本题考查平行线的判定
7.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，三角形内一点O到各边的距离相等，求这个距离是多少．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】设这个距离是x，则有：
解得：．
【总结】本题可以用面积法求解比较简单．
8.如图，已知AB，CD分别垂直EF于B，D，且∠DCF=60°，∠1=30°．试说明：．
【难度】★★
【解析】因为CD⊥EF， 所以（垂直的意义）
因为∠DCF=60°（已知）， 所以∠F=30°（三角形的内角和等于180°）
因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F（等量代换）
所以BM∥AF（同位角相等，两直线平行）
【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．
9.如图，已知直线；
（1）若，， 求，，的度数；
（2）若，，，求、的值．
【难度】★★
【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以，即x+y=90°
因为 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）
即x = y+30， 解得：x=60°，y=30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；
（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x+y=180°，
因为 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）
即， 解得：x=72°，y=108°．
【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．
10.如图，ADC=∠ABC，1+FDB=180°，AD是∠FDB的平分线，试说明BC为∠DBE的平分线．
【难度】★★★
【解析】因为1+FDB=180°（已知），
又因为
所以（等量代换）
所以
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）， 所以（等式性质）
因为（已证）， 所以（两直线平行，内错角相等）
即（角的和差）
因为， 所以（角平分线的意义）
即BC为∠DBE的平分线
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．
11.如图，已知∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线，问：△ABC与△EBC的面积是否相等?为什么?
【难度】★★★
【答案】相等，证明见解析．
【解析】因为（平角的意义）
又（三角形内角和等于180°）
所以（等式性质）
因为∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线（已知）
所以
所以
所以AE与BC间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）
所以△ABC与△EBC的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．
【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．
相关试卷
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第8讲平行线章节复习（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）： 这是一份第8讲平行线章节复习（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第8讲平行线章节复习练习解析版docx、第8讲平行线章节复习练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
第8讲 平行线章节复习（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）： 这是一份第8讲 平行线章节复习（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第8讲平行线章节复习讲义解析版docx、第8讲平行线章节复习讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
