第7讲 平行线判定及性质（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第7讲 平行线判定及性质（练习）

夯实基础

一、单选题

1．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，于，于，，那么与相等的角有（    ）

A．2个 B．1个 C．4个 D．3个

【答案】A

【分析】由条件易得CF∥BG，CE∥AF，然后由平行线的性质即可得出与∠AGB相等的角．

【详解】∵于，于，∴CF∥BG，∴∠F=∠AGB

∵，∴CE∥AF，∴∠ECF=∠F，∴∠ECF=∠AGB

∴与相等的角有两个

故选A．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键．

2．（2019·上海市光明中学七年级期中）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度1200，那么另一侧铺设的角度大小应为（       ）

A．1200 B．1000 C．800 D．60

【答案】D

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可求出角度大小.

【详解】两侧铺设的角属于同旁内角，根据根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为180°–120°=60°，故选D.

【点睛】两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.

3．（2019·上海七年级课时练习）如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是(  )

A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2

【答案】B

【分析】观察图象利用割补法可得阴影部分的面积是10个小正方形组成的，易得阴影部分面积与正方形ABCD的面积比．

【详解】解：∵，，

∴．故选B.

【点睛】在有网格的图中，一般是利用割补法把不规则的图形整理成规则的图形，通过数方格的形式可得出阴影部分的面积，从而求出面积比．

4．（2019·上海七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖面过如图，如果第一次拐的角∠A=130°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次剂弯之前的道路平行，则∠C的大小是

A．170° B．160° C．150° D．140°

【答案】B

【分析】首先过点B作BD∥AE，又由已知AE∥CF，即可得AE∥BD∥CF，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案．

【详解】解：过点B作BD∥AE，

由已知可得：AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠1=∠A=130°，∠2+∠C=180°，

∴∠2=∠ABC-∠1=150°-130°=20°，∴∠C=180°-∠2=180°-20°=160°．

故选B．

【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解此题的关键．

5．（2018·上海普陀区·七年级期中）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　）

A．32° B．58°

C．68° D．60°

【答案】B

【解析】根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B

6．（2019·上海七年级课时练习）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（   ）

A．23° B．16° C．20° D．26°

【答案】C

【解析】分析：根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD-∠ECD求出即可．

解答：解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，

∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，

∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．故选C．

二、填空题

7．（2019·上海市光明中学七年级期中）如图，如果a平行b,,那么的度数是______.

【答案】118°

【分析】如图，由对顶角相等可得∠3=∠1，而∠3与∠2为同旁内角，利用平行线性质可求∠2.

【详解】由对顶角相等可得∠3=∠1=62°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠2=180°-∠3=118°.

【点睛】本题考查平行线的性质，熟练找出同旁内角是关键.

8．（2018·上海虹口区·七年级期末）如图，如果AB∥CD，∠1 = 30º，∠2 = 130º，那么∠BEC＝_______ 度．

【答案】80

【分析】过点E作，利用平行线的性质分别求出的度数，然后利用即可求解．

【详解】如图，过点E作

， ．

， ． ， ，

．

故答案为：80．

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．

9．（2019·上海普陀区·七年级期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为______

【答案】50°

【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得到结论．

【详解】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故答案为：50°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

10．（2018·上海浦东新区·七年级期中）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则等于________．

【答案】50°

【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．

【详解】∵AD∥BC,∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，

又∵∠DEF=∠D′EF，∴∠D′EF=65°，∴∠AED′=50°.

【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和平行线的性质，解题的关键是掌握翻折变换（折叠问题）和平行线的性质.

11．（2019·上海七年级课时练习）如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _____，直线之间的距离_____．

【答案】32°    线段AM的长；   

【分析】先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．根据平行线的距离概念， 即可得到结果.

【详解】解：因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．

∵，垂足为点，∴直线之间的距离是AM的长度.

故答案为32°，AM的长.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

三、解答题

12．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，，，说明∠3与相等．

【分析】利用平行线的判定和性质证明即可．

【详解】证明：∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

13．（2019·上海崇明区·七年级期末）如图，已知，，试说明的理由．

【分析】首先根据AB∥CD，可证出∠C=∠ABF，再根据已知条件∠A=∠C，可得∠A=∠ABF，进而得到AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F．

【详解】因为（已知），

所以（两直线平行，同位角相等）．

因为（已知），

所以（等量代换）．

所以（内错角相等，两直线平行），

所以（两直线平行，内错角相等）．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质和判定，关键是熟练掌握平行线的性质和判定．

14．（2019·上海普陀区·七年级期中）如图，已知，，说明的理由．

解：因为 （已知）

所以（____________）

所以（____________）

因为 （已知）

所以 （等式性质）

即

所以（____________）

所以（____________）

【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等。

【分析】已知∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．

【详解】因为（已知）

所以（同旁内角互补，两直线平行）

所以（两直线平行，内错角相等）

因为 （已知）

所以 （等式性质）

即

所以（内错角相等，两直线平行）

所以（两直线平行，内错角相等）

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

15．（2019·上海杨浦区·七年级期末）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，，，试说明相等的理由．

解：因为（已知）

所以DF//AC（                               ）

所以（                              ）

又因为（已知），所以．

所以      //       ；

所以；

又；所以．

【分析】根据平行线的性质和判定定理，即可得到答案．

【详解】因为（已知）

所以DF//AC（   内错角相等，两直线平行．     ）

所以（   两直线平行，内错角相等    ）

又因为（已知），所以．

所以  DB    //   CE    ；

所以；

又；所以．

【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，掌握内错角相等，两直线平行和两直线平行，内错角相等，是解题的关键．

16．（2019·上海市中国中学七年级期中）已知:如图∠AED=∠C,∠DEF=∠B,请你说明∠1与∠2相等吗?为什么?

解:因为∠AED=∠C(已知)

所以    ∥    （            ）

所以∠B+∠BDE=180°（            ）

因为∠DEF=∠B(已知)

所以∠DEF+∠BDE=180°（        ）

所以    ∥     （        ）

所以∠1=∠2（         ）

【分析】先判断出DE∥BC得出∠B＋∠BDE＝180°，再等量代换，判断出EF∥AB即可．

【详解】解:因为∠AED=∠C(已知)，

所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

所以∠B+∠BDE=180°（两直线平行，同旁内角互补），

因为∠DEF=∠B(已知)，

所以∠DEF+∠BDE=180°（等量代换），

所以EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），

所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.

【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

17．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，直线AB、CD、EF被直线GH所截，已知AB//CD，∠1+∠2=180°，请填写CD//EF的理由．

解：因为∠1=∠3（                        ）

_____________________（已知）

所以∠2+∠3=180°（                        ）

得AB//EF（                        ）

因为AB//CD（                        ）

所以CD//EF（                        ）

【答案】对顶角相等，∠1+∠2=180°，等量代换，同旁内角互补，两直线平行，已知，平行于同一条直线的两条直线互相平行

【分析】首先证明∠2+∠3=180°，可得到AB∥EF，再有条件AB∥CD 可根据平行于同一条直线的两直线平行证明CD∥EF．

【详解】解：因为∠1=∠3 （ 对顶角相等）∠1+∠2=180°（ 已知 ），

所以∠2+∠3=180°（等量代换），

所以AB∥EF  （同旁内角互补，两直线平行 ），

因为AB∥CD （已知 ），

所以CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．

【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．

能力提升

一、单选题

1．（2019·上海黄浦区·七年级期中）如图，已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】过点E作，则，根据平行线的性质可得：，，整理即可得解．

【详解】解：如图，过点E作，则，

∵，∴，∵，∴，

∴，∴，

∴，代入得：，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是过拐点构造平行线，利用平行线的性质求解．

2．（2019·上海七年级单元测试）如图，，则AEB=（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由DE∥AB得到∠CAB=∠CDE=75°,根据已知条件得到∠EAB=50°，然后由三角形的内角和即可得到结论.

【详解】∵DE∥AB，∴∠CAB=∠CDE=75°,

∵

∴∠EAB＝75°－25°＝50°，∵∠B=65°，

∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=65°.故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3．（2019·上海七年级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（    ）

A．30°，30° B．42°，138°

C．10°，10°或42°，138° D．30°，30°或42°，138°

【答案】C

【分析】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为 x 度．则另一个角为（4 x-30）度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可．

【详解】设一个角为 x 度，则另一个角为（4 x-30）度，

如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补

∴4x-30=x 或4x-30+x=180，解得：x=10或 x=42，

当x=10时，4x-30=10，当x=42时，4x-30=138，

即这两个角是10°、10°或42°、138°，故选C．

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意得出两个方程是解此题的关键，注意：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

4．（2019·上海虹口区·七年级月考）下列推理判断正确的是（    ）

A．a∥b，b∥c，c∥d，a∥d

B．∥， ，∥（在同一平面内）

C．如图，AB∥CD,

D．如图，AD∥BC,

【答案】A

【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可.

【详解】A. a∥b，b∥c，c∥d，a∥d，正确；

B. ∥， ，⊥（在同一平面内），故此选项错误；

C. 如图，AB∥CD,，故此选项错误；

D. 如图，AD∥BC,，故此选项错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解决问题的关键.

二、填空题

5．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数______．

【答案】56°

【分析】由∠ABE=3∠ECF，∠ECF=28°，即可求得∠ABE的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DFE的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠E的度数．

【详解】∵∠BAE=3∠ECF，∠ECF=28°，∴∠BAE=84°，

∵AB∥CD，∴∠DFE=∠ABE=84°，

∵∠DFE=∠ECF+∠E，∴∠E=∠DFE-∠ECF=84°-28°=56°．

【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．

6．（2019·上海奉贤区·）如图，在中，，，，则__________．

【答案】

【分析】过E作EF∥AB，由平行线的性质，几何图形中角的和差关系进行计算，即可得到答案.

【详解】解：如图，过E作EF∥AB，

，

∴∥EF，∴，，

∵，∴；故答案为：70°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，几何图形中角的和差关系，解题的关键是熟练掌握平行线的性质求角的度数.

7．（2019·上海七年级课时练习）如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：

 ①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°；③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号)

【答案】①②③④；

【分析】根据三角形的内角和定理和平行线的性质依次判断即可.

【详解】解：∵ED∥AC，    ∴∠3=∠EDF，∠A=∠1, ∠2+∠EDF=180°.

∵DF∥AB，∴∠EDF=∠1.∴∠A＝∠EDF；故①正确；

∵∠1=∠EDF，∠2+∠EDF=180°.∴∠2+∠1=180°；故②正确.

∵∠3=∠EDF，∠1=∠EDF，∴∠3=∠1故④正确

根据三角形的内角和可得：∠A+∠B+∠C＝180°；故③正确.

故答案为①②③④.

【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

8．（2019·上海市中国中学七年级期中）图1是长方形纸带,将纸带沿折叠成图2,再沿即折叠成图3,若在图1中∠DEF=a，则图3中∠CFE用含有a的式子表示=_______(0<a<60°) .

【答案】180°−3a

【分析】根据平行线的性质可得图1中∠CFE＝180°−a，∠BFE＝∠DEF＝a，然后得出图2中∠BFC＝180°−2a，再根据翻折的性质可得图3中∠CFE＋∠BFE＝∠BFC，即可得解．

【详解】解：∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，

∴图1中，∠CFE＝180°−∠DEF＝180°−a，∠BFE＝∠DEF＝a，

∴图2中，∠BFC＝180°−2a，

∴图3中，∠CFE＋∠BFE＝∠BFC，

∴图3中，∠CFE＋a＝180°−2a，

∴图3中，∠CFE＝180°−3a．

【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．

9．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．

【答案】70°

【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=110°，再根据邻补角的定义求出∠ABE的度数即可.

【详解】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70°．

故答案为：70°.

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行内错角相等．

10．（2019·上海浦东新区·七年级期末）如图，直线，，，则的度数是__________度．

【答案】65

【分析】先用对角线和平行线的性质将已知和所求角转换到一个三角形中，最后用三角形内角和即可解答

【详解】

解：如题：∵，∴∠1=∠5，由∵∠2=∠4

∴∠3=-∠4-∠5=-∠1-∠2=65°，故答案为65.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的知识，其关键是将已知和所求联系在一个三角形上.

11．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，若////，则∠，∠，∠三者之间的等量关系是________.

【答案】；

【分析】根据平行线性质得出∠α+∠γ+∠CEF =180°，∠β+∠CEF=180°，两式相减即可得出答案．

【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠α+∠γ+∠CEF =180°，∠β+∠CEF=180°，

∴∠α+∠γ+∠CEF =∠β+∠CEF，∴∠α+ ∠γ=∠β．

故答案为：∠α+ ∠γ=∠β．

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

12．（2019·上海市光明中学七年级期中）已知直线m∥n，将一块含有30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1=20°，则∠2=_____度．

【答案】50

【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，据此进行计算即可．

【详解】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故答案为：50．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

13．（2019·上海市中国中学七年级期中）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝_____．

【答案】

试题分析：如图，过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两直线互相平行，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC=44°，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE=90°-44°=46°，即可求出∠1=180°-46°=134°.

三、解答题

14．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，已知，，∠1=∠2，

求证：．

【分析】根据已知条件证明，即可得到结果；

【详解】∵，∴，又∵∠1=∠2，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，准确分析证明是解题的关键．

15．（2019·上海普陀区·七年级期末）如图 ，已知 AB ∥ CD ， CDE  ABF ，试说明 DE ∥ BF 的理由．

解：因为 AB ∥ CD (已知)，

所以CDE      (                              )．

因为CDE  ABF （已知），

得           （等量代换），

所以 DE ∥ BF （                            ）．

【分析】根据平行线的性质得出CDE = AED，等量代换求出AED = ABF，再根据同位角相等两直线平行可得结论.

【详解】因为AB∥CD (已知)，

所以CDE = AED(两直线平行，内错角相等)，

因为CDE  ABF （已知），

得AED = ABF（等量代换），

所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】此题考查平行线的性质和判定，熟记性质和判定定理即可正确解答.

16．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F的理由.

【答案】∠E与∠F相等，理由见解析.

【分析】根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠PAE=∠APF，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．

【详解】∠E与∠F相等.理由如下:

因为∠BAP和∠APD互补,

所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),

所以∠BAP=∠CPA(两直线平行,内错角相等).

因为∠1=∠2,

所以∠PAE=∠APF,

所以AE∥PF(内错角相等,两直线平行),

所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).

【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.

17．（2019·上海浦东新区·七年级期中）已知：如图，在中，FG∥EB，，那么等于多少度？为什么？

解：=_______________．

因为∥（______________________），

所以（_________________________________）．

因为（已知），

所以（_____________________）．

所以DE∥BC（_____________________）．

所以=_________（____________________）．

【分析】根据平行线性质推出∠1=∠2，推出∠1=∠3，得出DE∥BC，根据平行线的性质推出即可．

【详解】∠EDB＋∠DBC= 180º ．

因为FG∥EB（已知），

所以∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）．

因为∠2=∠3（已知），

所以∠1=∠3（等量代换）．

所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．

所以∠EDB＋∠DBC=180º（两直线平行，同旁内角互补）．

【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

18．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图，已知，，，试说明：．

完善下面的解答过程，并填写理由或数学式．

解：因为（已知）

所以__________．

所以（_________________）．

因为（已知）

所以_________．

所以，

所以（_______________．）

即：．

因为（已知）

所以（___________________．）

即：．

所以（_____________________．）

【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．

【分析】先证明，再证，根据和角度的等量关系进行代换，得到．

【详解】解：因为（已知）

所以．

所以（两直线平行，内错角相等）．

因为（已知）

所以．

所以，

所以（两直线平行，同旁内角互补．）

即：．

因为（已知）

所以（等量代换．）

即：．

所以（同旁内角互补，两直线平行．）

【点睛】掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．

19．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．

（1）当时，求；

（2）当时，求；

（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）由同旁内角互补易得AD∥BC，然后可得∠APE=∠PEC=70°，再由PQ⊥PE可得∠APE+∠DPQ=90°即可求解；

（2）由（1）可得∠APE=∠PEC，∠APE+∠DPQ=90°，再由角的比例关系可求解；

（3）由对折的性质结合已知角度求出∠DPQ，再由互余关系求∠PEC．

【详解】解：（1）∵∠D=∠C=90°，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴∠APE=∠PEC=70°

又∵PQ⊥PE，∴∠EPQ=90°，∴∠APE+∠DPQ=90°，∴∠DPQ=

（2）由（1）可知∠APE=∠PEC，∠APE+∠DPQ=90°，∵

∴4∠DPQ+∠DPQ=90°，∴∠DPQ=18°，∴∠APE=∠PEC=4∠DPQ=72°

（3）由折叠的性质可得∠D'=∠D=90°，∠DPQ=∠D'PQ，∴∠QD'C+∠PD'E=90°

∵∠QD'C=40°，∴∠PD'E=50°

由（1）可知AD∥BC，∠APE+∠DPQ=90°，∠APE=∠PEC

∴∠DPD'=∠PD'E=50°，∴∠DPQ=∠DPD'=25°

∴∠PEC=∠APE=

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，以及折叠的性质，由平行线和折叠的性质对角进行灵活的转换是解题的关键．

20．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，已知AB//CD，分别探究下列三个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系．

结论：（1）__________________________

     （2）__________________________

     （3）__________________________

【答案】（1）∠A+∠P+∠C=360°；（2）∠APC=∠A+∠C；（3）∠C=∠A+∠P

【分析】（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；

（2）过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，再根据两直线内错角相等即可解答；

（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；

【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．故填：∠A+∠APC+∠C=360°；

（2）过点P作直线PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD，

∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，∴∠APC=∠PAB+∠PCD．故填：∠APC=∠A+∠C；

（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P．故填：∠C=∠A+∠P．

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键．

21．（2019·上海浦东新区·七年级期中）(1)如图，已知直线m平行于直线n，折线ABC是夹在m与n之间的一条折线，则、、的度数之间有什么关系？为什么？

(2)如图，直线m依然平行于直线n，则此时、、、之间有什么关系？（只需写出结果）

【答案】（1），证明详见解析；（2）

【分析】（1）过点B作DE∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．

（2）过点B作BE∥m，过点C作CF∥m，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得到结论．

【详解】(1)解：过点B作

因为DEm（已知）

所以（两直线平行，内错角相等）

因为mn，且DEm（已知）

所以DEn（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

所以（两直线平行，内错角相等）

因为

所以（等量代换）

(2)同（1）可得，

【点睛】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．正确作辅助线是解题关键．（2）中将∠2、∠3拆分是解题的关键．