第15讲 等边三角形（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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 第15讲 等边三角形（练习）夯实基础 一、单选题1．（2022·上海浦东新区·七年级期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．A．6米; B．9米; C．12米; D．15米.【答案】B【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【详解】解：如图，根据题意BC=3米，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2×3=6米，∴BC+AB=3+6=9（米）．故选B【点进】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．2．（2019·上海浦东新区·七年级月考）下列语句中错误的是_______.A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形；B．连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形:C．三角形的外角和为D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线【答案】D【分析】分别利用等边三角形的判定方法对AB进行判断，利用三角形外角和对C进行判断，利用对称轴是直线对D进行判断后，即可得到结论．【详解】解：A、根据等边三角形的判定得出：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故A正确；B、顺次连接三角形三边的中点所成的线段，根据中位线的性质可知都是对应边的一半，所以所构成的三角形也是等边三角形，故B正确；、根据三角形的外角和等于360°可知，故C正确；、沿某等腰三角形的顶角平分线所在直线翻折后左右能够重合，而顶角平分线是线段不是直线，故D错误.故选：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形性质及三角形外角和定理，解题的关键是熟悉对称轴是直线而三角形角平分线是线段以及等边三角形的判定定理．二、填空题3．（2020·上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____．【答案】60°【分析】由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，而根据旋转全等模型由易证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据即可求出的度数．【详解】解：为等边三角形，，．，，．又，为等边三角形，，，．，．在和中，，，，．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明，找出是解题的关键．4．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）中，∠A=∠B=60°，AB=3，那么BC=___________________.【答案】3【分析】由△ABC中，∠A=∠B=60°，即可证得△ABC是等边三角形，又由AB=3，即可求得BC的长.【详解】解：∵△ABC中，∠A=∠B=60°∴∠A=∠B=∠C=60°∴△ABC等边三角形∴.BC=AB=3故答案为3.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，此题比较简单，解题的关键是等边三角形的判定.5．（2022·上海浦东新区·七年级期末）若把一个边长为2厘米的等边向右平移a厘米，则平移后所得三角形的周长为__________厘米．【答案】6【分析】平移不改变三角形的周长，求出原来的周长即可．【详解】解：原三角形的周长是：，平移后的三角形周长不变，还是．故答案是：6．【点睛】本题考查图形的平行，解题的关键是掌握图形平移的性质．6．（2020·上海闵行区·七年级期末）如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为___________. 【答案】【分析】由将边长为2cm的等边△ABC沿边BC向右平移1.5cm得到△DEF，根据平移的性质得到BE＝AD＝1.5cm，EF＝BC＝2cm，DF＝AC＝2cm，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．【详解】∵将边长为2cm的等边△ABC沿边BC向右平移1cm得到△DEF，∴BE＝AD＝1.5cm，EF＝BC＝2cm，DF＝AC＝2cm，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BE＋EF＋FD＝1.5＋2＋1.5＋2＋2＝9（cm）．故答案为：9cm．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平移的性质：平移不改变图象的大小和形状；平移后的线段与原线段平行（或在同一直线上）且相等；对应点的连线段等于平移的距离．7．（2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考）如图,已知△ABC是等边三角形,BC=BD,∠CBD=90°,则∠1的度数是_______.【答案】75°【分析】利用等边三角形性质先得到∠ABC=60°，BD=BC可得到△ABD是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到∠ADB，再通过三角形内角和计算出∠1的对顶角度数即可【详解】因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠ABC=60°因为BD=BC，所以AB=BD所以∠BAD=∠BDA在△ABD中，因为∠CBD=90°，∠ABC=60°所以∠ADB=（180°-90°-60°）÷2=15°所以∠1=180°-∠CBD-∠ADB=180°-90°-15°=75°故填75°【点睛】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练运用内角和定理是解题关键8．（2019·上海长宁区·七年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．【答案】：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键. 三、解答题9．（2020·上海市建平中学七年级期末）如图，点 是等边外一点，点 是 边上一点，，，联结、．试判断的形状，并说明理由．【答案】是等边三角形，理由见解析【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠ACB=60°，然后利用SAS即可证出≌，从而得出CD=CE，∠BCE=∠ACD=60°，最后利用等边三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：是等边三角形，理由如下∵为等边三角形∴AC=BC，∠ACB=60°在和中∴≌∴CD=CE，∠BCE=∠ACD=60°∴是等边三角形．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． 能力提升 一、单选题1．（2020·上海市第十中学七年级月考）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【详解】解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，正确的命题有2个，故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．2．（2019·上海长宁区·七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（   ）A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形【答案】C【分析】综合运用判定方法判断．根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．【详解】解：A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B. 腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形；C. 等边三角形的每个内角都等于60°，所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形；D. 一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．二、填空题3．（2022·上海浦东新区·七年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交边AB于点M，交BC于点N，如果BN＝2NC，那么∠ABC＝_____度．【答案】30【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠B，NA＝NB，求出∠ANC＝60°，再利用三角形的外角定理得∠2＝2∠B，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，∵将这个三角形折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，∴∠1＝∠B，NA＝NB，∵BN＝2NC，∴AN＝2NC，∵∠C＝90°，∴∠CAN＝30°，∴∠ANC＝60°，∵∠2＝2∠B，∴∠B＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即得到对应角相等，对应线段相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．4．（2019·上海浦东新区·七年级期末）已知°，点在的内部，点与点关于对称，点与点关于对称，若，则______．【答案】5【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得OP1=OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，然后求出∠P1OP2=2∠AOB=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定．【详解】解：如图，连接OP，∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OP1=OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∴OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形．∴P1P2 =OP2=OP=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握轴对称的性质求出△P1OP2的两边相等且有一个角是60°是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）在△ABC中, ∠C=60º, BC= 6, AC= 4, AD是高, 将△ACD沿着AD翻折, 点C落在点E上, 那么BE的长是_________；【答案】2【分析】先解直角△ACD，得出CD=2，再根据翻折的性质得到DE=CD=2，那么由BE=BC-CD-DE即可求解．【详解】如图，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=AC=×4=2．∵将△ACD沿着AD翻折，点C落在点E上，∴DE=CD=2，∵BC=6，∴BE=BC-CD-DE=6-2-2=2．故答案是：2．【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了直角三角形的性质．6．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(∠C＝60°，∠F＝45°)，其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝_____°．【答案】15°【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明△ADC是等边三角形,得∠EAG＝１２０°,在△AEG中求出∠AGE＝15°即可解题.【详解】解：由题得：ＡＤ是直角三角形斜边中点,∴AD＝BC＝CD＝BD∵∠C=60°,∠F=45°,∴△ADC是等边三角形,∴∠DAC＝60°,∴∠EAG＝125°,∴∠CGF＝∠AGE＝15°.【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,斜边中线的性质,属于简单题,证明△ADC是等边三角形是解题关键.7．（2018·上海金山区·七年级期末）如图，已知是等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分，，，那么AE的长度是______．【答案】7【分析】先利用等边三角形的性质得AB=AC，∠B=∠ACB=60°，再根据角平分线的定义得到∠ACE=60°，然后根据“SAS”判断△ABD≌△ACE，从而得到AE=AD=7．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACD=60°．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴AE=AD=7．故答案为7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．三、解答题8．（2019·上海七年级月考）如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，试说明: BD+DC=AD．【分析】首先证明△ABE≌△CBD,进而得到DC=AE,再由AD=AE+ED利用等量代换AD=BD+CD【详解】∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB=AC,EB=DB=ED,∠ABC=∠EBD=60°∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC即∠ABE=∠CBD在△ABE和△CBD中 ∴△ABE≌△CBD(SAS),∴DC=AE∴AD=AE+ED∴AD=BD+CD【点睛】此题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键在于证明三角形全等9．（2019·上海市东华大学附属实验学校七年级课时练习）如图，在等边∆ ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将∆ BCD绕点B逆时针旋转60°得到∆ BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求∆ AED的周长。【答案】19.【分析】先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=10，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=9，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=10，∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=10，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.故答案为：19.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于得到△BDE是等边三角形.10．（2017·上海虹口区·七年级期末）说理填空：如图，点E是DC的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF//BE，且DF平分∠CDA，若△BCE的周长为18cm，求DC的长．解： 因为DF平分∠CDA,（已知）所以∠FDC=∠_________.（____________________）因为∠CDA=120°,（已知）所以∠FDC=______°.因为DF//BE,（已知）所以∠FDC=∠_________=60°.（____________________________________）又因为EC=EB,（已知）所以△BCE为等边三角形.（________________________________________）因为△BCE的周长为18cm,（已知）  所以BE=EC=BC=6 cm.因为点E是DC的中点,（已知）   所以DC=2EC=12 cm .【答案】ADC；角平分线意义；60；BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【分析】利用角平分线的性质得出∠FDC的度数，再利用平行线的性质得出∠BEC的度数，进而得出△BCE为等边三角形．【详解】∵DF平分∠CDA，（已知）∴∠FDC=∠ADC．（角平分线意义）∵∠CDA=120°，（已知）∴∠FDC=60°．∵DF∥BE，（已知）∴∠FDC=∠BEC=60°．（两直线平行，同位角相等）又∵EC=EB，（已知）∴△BCE为等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）∵△BCE的周长为18cm，（已知）  ∴BE=EC=BC=6cm．∵点E是DC的中点，（已知）   ∴DC=2EC=12cm．【点睛】考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出∠FDC=∠BEC是解题关键．11．（2019·上海普陀区·七年级期末）如图，已知△ABC ，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外部作等边三角形ABD和等边三角形ACE联结DC 、BE 试说明DCBE的理由．【分析】由等边三角形ABD和等边三角形ACE得到BAD  CAE，AD  AB，AC  AE，证得△ADC ≌△ABE，即可得到DC=BE.【详解】∵△ABD 是等边三角形（已知），∴AD  AB，BAD  60 （等边三角形的性质），同理 AC  AE ，CAE  60 ，∴BAD  CAE （等量代换），∴BAD BAC  CAE BAC （等式性质），即DAC  BAE ．在△ ADC 和△ ABE 中，∴△ADC ≌△ABE（SAS），∴DC  BE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，依据等边三角形得到线段及角的等量关系，由此证得三角形全等，从而得到DC=BE.12．（2019·上海普陀区·七年级期末）如图 ，已知△ ABC 中，点 D 、E 是 BC 边上两点，且 ADAE ，BAECAD 90 ，（1）试说明△ABE 与△ACD 全等的理由；（2）如果 ADBD ，试判断△ADE 的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）△ ADE 是等边三角形．理由见解析.【分析】(1)由ADAE得到AED  ADE，再由BAECAD 90 即可得到△ABE ≌△ACD；(2) 由AD  BD 得到BAD  B，依据三角形内角和求得AED  60 可得到△ADE是等边三角形.【详解】（1）∵ AD  AE （已知），∴AED  ADE （等边对等角）．在△ABE 和△ACD 中,∴△ABE ≌△ACD(ASA)；（2）△ADE是等边三角形．理由：∵AD  BD ，∴BAD  B（等边对等角）．设B 的度数为 x ，则BAD 的度数为 x ．∵ADE  B  BAD（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴ADE  AED  2x ．∵B  AEB  BAE 180（三角形的内角和等于 180°），∴ x  2x  90 180，解得 x  30 ，∴AED  60 ．∵AD  AE（已知），∴△ADE 是等边三角形（有一个内角等于 60°的等腰三角形是等边三角形）．【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定，（1）中根据AD  AE证得AED  ADE，得到三角形全等；（2）中依据三角形内角和求得AED  60 可得到△ADE是等边三角形.13．（2020·上海市第十中学七年级月考）如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN 都是等边三角形，AN、MC 交于点 E，BM、CN 交于点 F（1）说明 AN=MB 的理由（2）△CEF 是什么三角形？为什么？【答案】（1）见详解；（2）△CEF是等边三角形，理由见详解．【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．【详解】（1）证明：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°．∴∠MCN＝180°－∠ACM－∠BCN ＝60°，∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即：∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN＝BM．（2）解：△CEF 是等边三角形，理由如下：∵∠ACM═60°，∠MCN＝60°，∴∠ACM＝∠MCN，∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB．在△ACE和△MCF中 ∴△ACE≌△MCF（ASA）．∴CE＝CF．又∵∠MCN＝60°，∴△CEF的形状是等边三角形．【点睛】本题考查了SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．14．（2020·上海市建平中学七年级期末）如图，将两个完全相同的三角形纸片，重合放置，其中，.（1）操作发现：如图，固定，使绕点旋转，当点 恰好落在 边上时，填空：① 线段 与的位置关系是_______；② 设的面积为，的面积为，则与的数量关系是________；（2）猜想论证：当绕点旋转到如图位置时，猜想（1）中与的数量关系是否还成立？请说明理由．【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；②根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据等边三角形的性质求出点到的距离等于点到的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．【详解】解：（1）①如图2，绕点旋转点恰好落在边上，，，是等边三角形，，又，，；故答案为：；②，，，，根据等边三角形的性质可得，的边、上的高相等，的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即，故答案为：；（2）成立，理由如下如图3，是由绕点旋转得到，，，，，，在和中，，，，的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．