专题02 与三角形有关的角重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

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专题02与三角形有关的角重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2022·安徽合肥市·）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　）

A．105° B．95° C．85° D．75°
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.
【详解】
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，
∴∠A＝85°，
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键.
2．（2022·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）

A．80° B．82° C．84° D．86°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【详解】
解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105°−25°＝80°．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．
3．（2022·湖南怀化市·八年级期末）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．三角形的内角和等于180°
C．两直线平行，同位角相等 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】
利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、三角形三个内角的和等于180°，是真命题；
C、两直线平行，同位角相等，是真命题；
D、两点之间，线段最短，是真命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内角和，难度不大．
4．（2022·山东八年级期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余 D．如果，那么
【答案】C
【分析】
根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可．
【详解】
解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题；
B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题；
C、直角三角形两锐角互余，是真命题；
D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
5．（2022·贵州八年级期末）如图，在中，， 是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①的面积是的面积的一半；②；③；④．

A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可．
【详解】
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE=CEAC，
∵△ABE的面积×AE×AB，△ABC的面积×AC×AB，
∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故③正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
6．（2022·安徽宿州市·八年级期末）如图，直线､被所截，若，，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据平行线的性质求出，再由三角形外角性质即可得解；
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．
7．（2022·浙江八年级期末）如图，的一边上有一动点E，连结，在射线上任取一点D，连结，分别作的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是( )


A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判断选项、选项，需假设选项正确，即，再根据角平分线的性质，即可证明得出，此时选项也正确，故选项、选项都不对．对于选项、选项，令与交点为，根据三角形内角和为即可证明选项正确，选项错误．
【详解】
当时，，
则，
∵、平分、，
则，
故选项、选项不对．
令与交点为，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
故，
则选项正确，选项错误．


故选：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
8．（2022·广西八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（ ）


A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】
解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，
=180°-2(∠DBC+∠BCD)
∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，
∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)
∴∠BDC=90°+ ∠A，
∴∠A=2(110°-90°)=40°．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
9．（2022·湖南八年级期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边上的点，将沿着折叠压平，与重合，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
10．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，四边形是长方形，点是长线上一点，是上一点，并且，．若，则的度数是（ ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝15°，根据三角形的外角的性质得到∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．（2022·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若和是对顶角，则
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．，则
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．
【详解】
解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意；
B. “若和是对顶角，则”，是真命题，符合题意；
C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；
D. “，则，”是假命题，a和b也可以互为相反数，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键．
12．（2022·山西）如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　）

A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵，
∴，，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，
∴，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．

【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022·山东八年级期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
14．（2022·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（ ）

A．32° B．30° C．28° D．26°
【答案】C
【分析】
根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解．
【详解】
解：如图，由翻折的性质得，
∴，
∴在△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．

【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．
15．（2022·湖南八年级期中）如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（ ）

A．18° B．22° C．30° D．38°
【答案】B
【分析】
根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】
∵AE是的高，
∴，
又∵AD是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．
16．（2022·内蒙古八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可．
【详解】
解：，
，
∵BD平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．
17．（2020·江苏赣榆实验中学八年级月考）如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
18．（2022·河南平顶山市·）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.
【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.


二、填空题
19．（2022·山东日照市·八年级期末）在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．
【答案】30°，90°或40°，80°
【分析】
根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．
【详解】
在△ABC中，不妨设∠A=60，
①若∠A=2∠C，则∠C=30，
∴∠B=；
②若∠C=2∠A，则∠C=120，
∴∠B=(不合题意，舍去)；
③若∠B=2∠C，则3∠C=120，
∴∠C0，∠B=；
综上所述，其它两个内角的度数分别是：30，90或40，80．
【点睛】
本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
20．（2022·广西钦州市·八年级期末）如图，，，则________．

【答案】.
【分析】
根据三角形外角性质计算即可.
【详解】
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵，，

∴∠ACD=.
故应填.
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质，并准确计算是解题的关键.
21．（2022·江西）若一个三角形三个内角度数的比为，则其最大内角的度数是________．
【答案】108°
【分析】
已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．
【详解】
解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，
解得x＝18．
所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．
故答案为108°
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．
22．（2022·山东八年级期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________________．

【答案】98°
【分析】
先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1．
【详解】
∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，
∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°，
∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°，
∴∠3+∠4=82°，
∴∠1=180°-82°=98°．

【点睛】
本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键．
23．（2022·福建厦门市·八年级期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于_____度．

【答案】72．
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝36°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，
∵CE是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝，
∵AB//CE，
∴∠A＝∠ACE＝72°，
故答案为：72．
【点睛】
此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出∠ACD的度数解答．
24．（2022·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____．

【答案】75°．
【分析】
利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．
【详解】
解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，
∠5=∠2+∠3=75°，
∵，
∴∠1=∠5=75°，
故答案为：75°．

【点睛】
本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．
25．（2022·上海八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝_____度．
【答案】33
【分析】
设∠A为x，则∠B=x+24°，利用三角形内角和定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
设∠A为x，
∵∠A比∠B小24°，
∴∠B=x+24°，
∵∠C=90°，
∴90°+x+x+24°＝180°，
解得：x＝33°，即∠A＝33°．
故答案为：33
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，能够用一个未知数表示其中的未知角，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．
26．（2022·广东梅州市·八年级期末）如图，已知、分别为的角平分线、高线，若，，则的度数为__________．

【答案】
【分析】
先求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高求出∠BAE和∠BAD即可．
【详解】
解：∵，，
∴∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=50°，
∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°，
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，三角形的高和角平分线，解题关键是熟练运用角平分线和高的意义求出角的度数．
27．（2022·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度为________．

【答案】93°
【分析】
根据∠1＝∠C+∠CAD，求出∠C，∠CAD即可．
【详解】
解：∵∠EAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣42°＝48°，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+48°＝93°，
故答案：93°．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
28．（2022·安徽八年级期末）如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______．

【答案】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【详解】
解：根据三角形的外角性质，可得，
平分，平分，
，，

，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
29．（2022·广东）如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________．

【答案】25°
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，
∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
30．（2022·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．

【答案】70°．
【分析】
由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，
∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，
∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，
∠DCE＝40°+∠CBD②，
由①②得∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．
31．（2022·山东八年级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．

【答案】80°
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．

故答案为：80°．
【点睛】
本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．（【新东方】【2022.4.21】【绍兴】【初二上】【数学】【00010】）已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．

【答案】90°或30°
【分析】
先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．
【详解】
解：①如图：

∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：

易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ−∠EQP＝30°．
综上所述：90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方程，是解题的关键．
33．（2022·河南八年级期末）将一副三角板如图放置，若，则________度．


【答案】75
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．
【详解】
因为，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；
因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，90°-15°=75°．
故的度数是75度．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．
34．（【新东方】初中数学20220625-002【初二上】）如图，中，，D为上任一点，过D作的垂线，分别交边的延长线于E、F两点，的平分线交于点I，交于点M，交于点N，连接．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是__________．

【答案】①②③
【分析】
先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
35．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，BE、CE分别为的内、外角平分线，BF、CF分别为的内、外角平分线，若，则_______度．

【答案】13
【分析】
根据BF，CF分别为△EBC的内、外角平分线分别设，，再根据BE，CE分别为△ABC的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可．
【详解】
BF，CF分别为的内、外角平分线，
，，
设，，
，，
又BE，CE分别为的内，外角平分线，
，，
，，
又，
，
又，
，
，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，有一定难度．
36．（【新东方】绍兴qw49）如图，在中，，，点P是的动点（不与点B，C重合），、分别是和的角平分线，的取值范围为，则_______，________．

【答案】105° 150°
【分析】
根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．
【详解】
解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（∠PAC+∠PCA）
=180°-（90°-α+60°）
=α+105°，
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105°，n=150°．
故答案为：105°，150°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
37．（2022·河南八年级期末）如图，________° ．

【答案】180
【分析】
连接AB，可知∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，进而根据三角形内角和求出的值．
【详解】
解：连接AB，∵∠C+∠D+∠DFC=∠CAB+∠DBA+∠AFB，∠DFC=∠AFB，
∴∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，
，
，
=180°
故答案为：180．

【点睛】
本题考查了三角形内角和，解题关键是恰当的连接辅助线，把所求的角转化为同一个三角形的内角．
38．（2022·河南省直辖县级行政单位·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______


【答案】或或
【分析】
根据，的角平分线交于点，可求得，延长 至，根据为的外角的角平分线，可得 是的外角的平分线， 根据平分 ，得到，则有，可得 ，可求得；再根据，分四种情况：①；② ；③；④，分别讨论求解即可．
【详解】
解：外角，的角平分线交于点 ，






∴；
如图示，延长至，


为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
∴
，即；



;
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则， ；
②，则， ，；
③，则，解得 ；
④，则，解得 ．
综上所述，的度数是或或．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．

三、解答题
39．（2022·山东济南市·八年级期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．

【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝(∠C−∠B)；（3）45°．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）设∠ACB＝，根据角平分线的定义得∠CAG＝∠EAC＝（90°−）＝45°−，∠FCG＝∠BCF＝（180°−）＝90°−，再利用三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°−60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝∠BAC−（90°−∠C）＝（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝∠C−∠B，
即∠DAE＝(∠C−∠B)．
故答案为：∠DAE＝(∠C−∠B)．
（3）设∠ACB＝，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°−，∠BCF＝180°−，
∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG＝∠EAC＝（90°−）＝45°−，
∠FCG＝∠BCF＝（180°−）＝90°−，
∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，
∴∠G＝∠FCG −∠CAG＝90°−−（45°−）＝45°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．
40．（2022·山东济南市·八年级期末）已知：如图，，求∠BCD的度数．

【答案】30°
【分析】
根据平行线的性质得到∠EGC＝∠ABC＝75°，由邻补角的定义得到∠EDC＝180°−135°＝45°，再利用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠EGC＝∠ABC＝75°．
∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°－∠CDF＝180°－135°＝45°．
又∵∠EGC＝∠BCD＋∠EDC，
∴∠BCD＝75°－45°＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线及三角形外角的性质是解答此题的关键．
41．（2022·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，平分，平分．试确定和的数量关系．

【答案】
【分析】
根据角平分线定义可得，，根据，即可求得∠D与∠A的数量关系．
【详解】
解：在中，，
在中，，
∵，，
∴
，
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质、定理是解题的关键．
42．（2022·江西）如图，在中，P是，的角平分线的交点．

（1）若，求的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出的规律，你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）130°；（2）正确，理由见解析．
【分析】
(1) 在△ABC内，由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB，在△PBC中由三角形内角和可求得∠BPC；
(2) 由(1) 的过程可证明其正确.
【详解】
解：（1），得到∠ABC+∠ACB=100° ，
BP，CP分别平分，，
，
．
（2）我认为正确．理由如下：
BP，CP分别平分，，
，

，
．
【点睛】
本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握三角形内角和为180°是解题的关键，注意整体思想的应用.
43．（2022·安徽八年级期末）如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．

（1）求证：；
（2）为上一点，当平分且时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）150°．
【分析】
（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE，进而得∠AEF=∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【详解】
解：（1）平分，



，

（2）平分，

∵




．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．
44．（2022·山西八年级期末）阅读感悟：
如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．
三角形内角和定理的证明
今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：
一、动手实践操作类
①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；
②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；
③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．

二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：
①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；
②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；
……

任务：
（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．
（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；
A．方程 B．类比 C．转化 D．分类
（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．

【答案】（1）平角为；（2）C；（3）见解析
【分析】
（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为进行证明；
（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；
（3）过点作交于交于，由角度的关系，得到，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．
【详解】
解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为进行证明；
故答案为：平角为；
（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；
故选：C；
（3）证明：如图，

过点作交于交于，
．
，
．
∴三角形的内角和为．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．
45．（2022·广东八年级期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
②
∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
46．（2022·西安市第八十六中学八年级期末）（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．

①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；
②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？
（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．
【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°
【分析】
（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；
②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数；
（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图①∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°；

②如图②过点B作BD∥a，
∵直线a∥b，
∴BD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°；

（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°-55°=35°，
∴∠2=35°．

【点睛】
本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
47．（2022·安徽八年级期末）如图，在中，平分，．若，，求的度数．

【答案】20°
【分析】
由题意，先求出，然后得到，即可求出答案．
【详解】
解：如图：

平分



于点


．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．
48．（2022·广东八年级期末）已知在中，，现将放置在上，使得的两条边，分别经过点、．
（1）如图①所示，若，且时， 度， 度， 度；
（2）如图②，改变的位置，使得点在内，且与不平行时，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变的位置，使得点在外，且与不平行时，请探究、、之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．

【答案】（1）130；70；60；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可求出的度数，根据平行线的性质可得到的度数，利用角度的和差关系即可求出的度数；
（2）同（1）分别求出，和的度数，故可求解；
（3）先求出，，再根据平角的性质即可计算求解．
【详解】
（1）∵，在△ABC中，180°-50°=130°，
∵
∴,
∴
∴（）-60°
故答案为：130；70；60；
（2）由题意，得
所以
∵
∴即
（3）由题意，得
∴
∵
∴（）-（）=
即．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．
49．（2022·云南八年级期末）在中，与的平分线相交于点．

（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）的度数是90°或60°或120°
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
又∵点是和的平分线的交点，
∴，
∴；
（2）∵外角，的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴



，
∴

；
（3）延长BC至F，

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=（∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
50．（2022·山东八年级期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】
（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【详解】
解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．

【点睛】
本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键.
51．（2022·银川市第十八中学八年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　 　（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝　 　°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝　 　°．
∴AD∥BC（　 　）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理是解题关键．
52．（2022·淮北市第二中学）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、．

（1）若，则__________．
（2）、、有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析
【分析】
（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理求得∠C的度数，再在△EFC中，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．
【详解】
（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，
∴∠C=，
∴∠F+∠FEC=；
故答案为：；
（2）∠F+∠FEC=2∠A，
理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角的性质．
53．（2022·铜川市第一中学八年级期末）如图，在中，于点， 交于点，于点，交 于点．

（1）求证：；
（2）若，，求 的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
54．（2022·太原市第三十七中学校八年级期末）综合与实践：
问题情境：如图1，在中，，，为的角平分线．作射线，，使平分且交线段于点，设．
初步分析：（1）求的度数；
特例探究：（2）当时，求证：；
拓展延伸：（3）当时，射线交射线于点．
请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择___________题．
A.当点在线段上（不与点，重合）时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）．
B.当点在线段的延长线上时，请在图2中画出符合题意的图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）．

【答案】（1）105°；（2）见解析；（3）A或B，作图见解析，
【分析】
（1）根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用三角形外角的性质求解；
（2）根据角平分线的定义求得∠ADQ的度数，从而得到∠CDQ的度数，使问题得解；
（3）A.结合角平分线的定义和三角形内角和求解；
B.结合角平分线的定义和三角形内角和求解．
【详解】
解：（1）在中，，为的角平分线
∴
∴
（2）∵平分且交线段于点，
∴
∴
即
（3）当时，射线交射线于点
A.当点在线段上（不与点，重合）时，

∵平分且交线段于点，
∴，
又∵在中，，，
∴
∴

∴
B.当点在线段的延长线上时，

∵平分且交线段于点，
∴，
又∵在中，，，
∴
∴

∴
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定义以及三角形外角的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
55．（2022·太原市第三十七中学校八年级期末）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，．
求证：_____________________．
证明：如图，在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：_____________________）．
∵，
∴．

【答案】；两直线平行，同位角相等；见解析．
【分析】
结合平行线的性质进行推理证明．
【详解】
解：已知：如图，．
求证：．
证明：在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵，
∴，．
∴
∵
∴
即三角形内角和等于180°
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．
56．（2022·山东八年级期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【详解】
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①当∠ACB＝3∠ABC时，∵∠ABO＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴∠CAB＝10°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，
∵∠ABO＝30°，
∴4∠CAB＝150°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．

【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键．
57．（2022·哈巴河中学八年级期中）如图所示．在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．

【答案】（1）30°；（2）60°
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°；
（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
58．（2022·陕西八年级期末）探究：如图①，，平分，平分，且点、、均在直线上，直线分别与、交于点、．
（1）若，，则______．
（2）若，求的度数．
拓展：如图②，和的平分线、交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）

【答案】探究：（1）120°；（2）125°；拓展：
【分析】
（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（拓展）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝(180°-∠CHF)，再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．
【详解】
（1）∵∠AFH＝80°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝40°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝40°；
∵∠CHF＝40°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝20°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；
故填：120°；
（2）∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
拓展：
∵平分，平分，
∴，，
∴
．


．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
59．（2022·大庆市庆新中学八年级期末）问题引入：
(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______（用α表示）；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝_____（用α表示）
拓展研究：
(2)如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝_____（用α表示），并说明理由．
类比研究：
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．

【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）.
【分析】
（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α；
（2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=．
【详解】
解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α；
如图②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+α；
（2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣α；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣（∠A+180°）
=．

60．（2022·山西八年级期末）问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
【答案】（1）;（2）;（3）见解析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】
（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接

由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点睛】
本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．
61．（2022·四川八年级期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．

（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）．

【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）或
【分析】
(1)利用同旁内角互补，两直线平行加以证明；
(2)利用三角形的外角性质证明即可；
(3)分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可.
【详解】
解：
理由如下：在中，




，
，
，
；
．
理由如下：在中，








在中，



；
或
如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得
∠FEG=2∠BCD-180°，
根据平行线性质，得：
∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x，
∴∠BCD=；
如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得
∠EBC=50°，
根据三角形外角性质，得：
∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.
∴∠BCD的度数为或140°.

【点睛】
本题考查了平行线的性质，光的反射定律，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键.
62．（2022·广东八年级期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．

（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30°；（3），见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C=2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由，可得∠ADE=2∠CDE，∠ABE=2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【详解】
（1）证明：∵
∴，
同理，，
又∵，
∴；

（2）如图，

由（1）得，；
同理，，，
∴
∵DE、BE分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图：

由（2）得，，；
∵，，
∴，，
∴，；
∴，；
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键．
63．（2022·辽宁阜新市·）如图，平分．


（1）如图1，求证：//；
（2）如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当时，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
(1)根据角平分线的定义得出；∠BAE=∠CAE，求出∠CEA=∠BAE；根据平行线的判定得出即可；
(2) 过F作FH/AB，求出AB//FH//CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE=180°，∠DEF+∠EFH=180°，即可求出答案，
(3)设 ∠C=x，∠CEF=y ，由∠GEF=∠C=x，得到∠GED=2，∠DEF=3x，∠CAE=y+35°再根据角平分线性质，AE平分∠BAC得到∠BAC=2y+70°，由∠CEF+∠DEF=180°， ∠BAF+∠AFE+∠DEE=360°，列二元一次方程组求出解．
【详解】
证明： （1）∵AE平分∠BAC，
（解平分线定义），
，
，
（内错角相等两直线平行），
（2）证明：如图，过F作
（两直线平行同旁内角互补），
由（1）得，
又，
（同平行于一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，

（3）解：设，
，
，
，
，
，
平分，
，
即，
为外角，
，
由（1）得，
，
，
（一平角），
，
，
解得，
，

【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.
64．（2022·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析
【分析】
（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．
（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．
【详解】
解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°．
（2）结论：，都是“梦想三角形”
理由：，，
，
，
为“梦想三角形”，
，，，
，
，
“梦想三角形”．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
65．（2022·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证．
【详解】
解：（1）在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
（2），，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
（3）根据“8字形”数量关系，，，
所以，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
整理得，．

【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
66．（2022·四川八年级期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．

（1）如图1，平分平分．若，则______．
（2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D．
①若，则_______．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或．
【分析】
（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；
（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可；
（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况分别解答即可．
【详解】
解：如图：
（1）∵，
∴
∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
∴．
（2）①∵，且平分平分，
∴．
∵，
∴．
②的大小不会发生变化．
∵




．
故的大小不会发生变化，．
（3）∵的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴，
∴，
∴．
①当时，，
∴；
②当时，，
∴（舍去）；
③当时，，
∴；
④当时，，
∴（舍去）．
综上，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的3倍．
【点睛】
本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．