专题08推理能力课之全等辅助线综合压轴题专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

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一、单选题
1．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在和中，，，，点，，分别是，，的中点．把绕点在平面自由旋转，则的面积不可能是（ ）
A．8B．6C．4D．2


二、填空题
3．如图，四边形中，，，，则的面积为______．
4．在中，，点在边上，．若，则的长为__________．
5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．

三、解答题
6．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
7．有如下一道作业题：
（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．
①求证：∠BFC＝45°．
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．
8．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．
9．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
10．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
11．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
12．如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______．
13．[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：；
[尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长；
[拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为 ．
14．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接与的数量关系是______，与的位置关系是________；
（2）当点在菱形外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，求四边形的面积．
15．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
16．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；
（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；
（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
17．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________；CE与AD的位置关系是________；
（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由、（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．
18．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．
（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；
（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．
19．综合与实践问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图，和都是等边三角形，、分别是、上的点，且，连接、．
初步探究：
（1）试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形是平行四边形；
深入探究：
（3）如图2，四边形和四边形都是正方形，、分别是、上的点，且，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：
（4）如图3，四边形和四边形都是菱形，，，是上一点，连接、，延长交于，若四边形是平行四边形，请直接写出的长．
20．如图1，已知一次函数的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点B，且的面积是24，P是线段上一动点．
（1）求k值；
（2）如图1，将沿翻折得到，当点正好落在直线上时，
①求点的坐标；
②将直线绕点P顺时针旋转得到直线，求直线的表达式；
（3）如图2，上题②中的直线与线段相交于点M，将沿着射线向上平移，平移后对应的三角形为，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
21．对于平面直角坐标系中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为，则点B的坐标为_______；
②若点B的坐标为，则点A的坐标为_______．
（2）．线段关于点G的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含a的式子表示）；
②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
22．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
（1）发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系________，位置关系________；
②线段、、之间的关系是_________；
（2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________．
如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．
求证：△BCE≌△DCF．