专题02 等腰三角形的性质-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

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1．（2020秋•东海县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣m°B．180°﹣2m°C．30°+m°D．m°
【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠ABE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEC＝∠ACE，求得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
2．（2020秋•西丰县期末）如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【思路引导】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【完整解答】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°，
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×70°．
故选：C．
3．（2020秋•重庆期末）如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C点在x轴正半轴上且OC＝OB，点D位于x轴上点C的右侧，∠BAO和∠BCD的角平分线AP、CP相交于点P，连接BC、BP，则∠PBC的度数为（ ）
A．43°B．44°C．45°D．46°
【思路引导】根据已知给出的一次函数即可得到AO＝BO＝4，再根据OC＝OB，即可得到∠ABC＝90°，∠CBG＝90°，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，即可得出BP平分∠CBG，进而得到∠CBP＝45°．
【完整解答】解：在y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，；令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴AO＝BO＝4，
又∵CO＝BO，BO⊥AC，
∴△ABO与△CBO是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，∠CBG＝90°，
如图，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，
∵∠BAO和∠BCD的角平分线AP、CP相交于点P，
∴GP＝PE＝PF，
∴BP平分∠CBG，
∴∠CBP＝45°，
故选：C．
4．（2020秋•福州期中）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，若△ABC是等腰三角形，这样点C最多可画（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
【思路引导】由△ABC是等腰三角形，分三类分别画图（1）AB＝AC；（2）BA＝BC；（3）CA＝CB即可．
【完整解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
当AB＝AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，与格点有3个交点，
当BA＝BC，以B为圆心，AB为半径画圆，与格点共有3个交点，
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线，与格点由2个交点，
∴点C共有3+3+2＝8个．
故选：D．
5．（2019秋•上城区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（ ）
A．10B．9C．D．
【思路引导】连接AO，OB，OC，根据OD：OE：OF＝1：4：4求出O在∠BAC的角平分线上，求出BD＝CD＝6，根据勾股定理求出AD，设OD＝x，则OE＝OF＝4x，
根据S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO求出OD即可．
【完整解答】解：连接AO，OB，OC，
∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，
∴O在∠BAC的角平分线上，
∵AB＝AC，
∴AO过D，且AD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，
即BD＝8，
设OD＝x，则OE＝OF＝4x，
∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴＝+，
∴＝，
解得：x＝，
即OD＝，
∴AO＝AD+OD＝8+＝，
故选：D．
6．（2019秋•利川市期末）如图，AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（ ）
A．BE＝CFB．∠BDE＝∠CDFC．∠BED＝∠CFDD．∠BDE＝∠DAE
【思路引导】首先证明△AED≌△AFE，利用等式的性质可得EB＝CF，再利用全等三角形的性质可得∠EDA＝∠FDA，根据等腰三角形三线合一可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等角的余角相等可得∠BDE＝∠CDF，根据等角的补角相等可得∠BED＝∠CFD，条件无法证明∠BDE＝∠DAE．
【完整解答】解：∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，AB＝AC，
∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA＝∠FDA，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFE（ASA），
∴AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
∴EB＝FC，故A正确；
∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△AED≌△AFE，
∴∠EDA＝∠FDA，
∴∠BDE＝∠CDF，故B正确；
∵△AED≌△AFE，
∴∠AED＝∠AFD，
∴∠BED＝∠CFD，故C正确；
假设∠A＝∠BDE，则∠A+∠EDA＝90°，
∴DE⊥AB，
∵条件中没有DE⊥AB，
∴∠A＝∠BDE错误，故D错误；
故选：D．
7．（2019秋•雨花区期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的内角度数是（ ）
A．B．
C．D．
【思路引导】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n+1个三角形中以An+1为顶点的内角度数．
【完整解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的内角度数是（） n×70°．
故选：A．
二．填空题
8．（2020春•石狮市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝BC＝10，AD＝7，则△ABD的周长为 22 ．
【思路引导】根据三角形的中线和三角形的周长的计算方法得到即可．
【完整解答】解：∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝BC＝10，AD＝7，
∴BD＝5，
∴△ABD的周长＝10+5+7＝22，
故答案为：22．
9．（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，连接AD、CD，则∠ADB的度数为 30° ．
【思路引导】如图，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，求得∠ABC＝49°，得到∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，根据全等三角形的性质得到∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，求得∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，推出△D′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，由全等三角形的性质得到∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，等量代换得到∠ADB＝30°．
【完整解答】解：如图，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝82°，
∴∠ABC＝49°，
∵∠DBC＝38°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，
∵在△ABD和△ABD′中，，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
在△AD′B和△AD′C中，
，
∴△AD′B≌△AD′C（SSS），
∴∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°，
故答案为：30°．
10．（2020春•宁德期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝ 58 °．
【思路引导】根据三线合一得到∠ADB＝90°，再根据对顶角相等得到∠BFD＝32°，从而可算出∠FBD．
【完整解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∵∠AFE＝32°，
∴∠BFD＝32°，
∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°，
故答案为：58．
11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜90），得到△DBE，其中点A、C的对应点分别为点D、E，连接AD、CD．在旋转过程中，若∠EBC＝∠BAC，则DC的长为 ．
【思路引导】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交CB的延长线于点N，根据等腰三角形的“三线合一“性质可得BM＝BC；根据旋转的性质可得∠EBC＝∠DBA，BD＝AB，可得BD＝AC，由∠EBC＝∠BAC，可得∠DBA＝∠BAC，即可证明BD∥AC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形DBCA是平行四边形；由平行线的性质可得DN＝AM，由勾股定理可得AM和BN的长，从而可得CN的长，最后用勾股定理可得DC的长．
【完整解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC，交CB的延长线于点N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AM⊥BC，
∴BM＝BC＝3，
∴AM＝＝4，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜90），得到△DBE，
∴∠EBC＝∠DBA，BD＝AB＝AC，
∴∠EBC＝∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴BD∥AC，
∴四边形DBCA是平行四边形，
∴DN＝AM＝4，
∴BN＝＝3，
∴CN＝BC+BN＝9，
∴CD＝＝．
故答案为：．
12．（2020•武汉模拟）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，过△ABC其中一个顶点的直线把△ABC分成两个等腰三角形，则α的值为 90°或108°或36°或（）° ．
【思路引导】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．
【完整解答】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB＝AC，AD＝CD＝BD，
设∠B＝x°，
则∠BAD＝∠B＝x°，∠C＝∠B＝x°，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴x+x+x+x＝180，
解得x＝45，
则α的值为90°；
②如图2，
AB＝AC＝CD，BD＝AD，
设∠C＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝x°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x°，
∴∠BAC＝3x°，
∴x+x+3x＝180，
解得x＝36°，
则α的值为108°．
③如图3，
当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB＝AC，BC＝BD＝AD，
设∠A＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠CDB＝∠ABD+∠A＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠CDB＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36°，
则α的值为36°．
④如图4，
当∠A＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，
AD＝BD，BC＝DC，
∠A＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x，
则x+3x+3x＝180°，
解得x＝（）°．
则α的值为90°或108°或36°或（）°．
故答案为：90°或108°或36°或（）°．
13．（2020•江西模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是 40°或100°或140° ．
【思路引导】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【完整解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，
∴∠EDB＝20°，
∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝70°，
∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，
∴∠EDP2＝140°，
当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，
故答案为：40°或100°或140°．
14．（2020春•成都期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC ＝25 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ α﹣90° ．（用含α的式子表示）
【思路引导】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°﹣，求得∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【完整解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，
∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
三．解答题
15．（2020春•江夏区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BE，CD垂直相交于点O，点F、G分别为OB、OC的中点．
（1）求证：四边形DFGE是正方形；
（2）当BC＝4时，求AB的长．
【思路引导】（1）根据三角形中位线的性质证得DE∥FG，DE＝FG，再证得△OFG是等腰三角形，由等腰三角形的性质证得OF＝OG＝OD＝OE，得到▱DFGE是矩形，再根据对角线互相垂直可证明结论；
（2）先根据三角形中线的性质可得O点是△ABC的重心，可得AM＝3OM，由等腰三角形的性质可得AM⊥BC，利用正方形的性质可得OM＝BM＝CM＝2，根据勾股定理可求解AB的长．
【完整解答】（1）证明：∵F、G分别为OB、OC的中点，BE，CD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC，FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴OE＝OF，OD＝OG，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AD＝AE，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵FG∥BC，
∴∠OFG＝∠OBC，∠OGF＝∠OCB，
∴∠OFG＝∠OGF，
∴OF＝OG，
∴OF＝OG＝OD＝OE，
∴▱DFGE是矩形，
∵BE⊥CD，
∴四边形DFGE是正方形；
（2）解：∵BE，CD是△ABC的中线，
∴点O为△ABC的重心，
∴AM＝3OM，
连接AO，并延长交BC于M，则M为BC的中点，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∵四边形DFGE是正方形，
∴DG⊥EF，OE＝OF＝OD＝OG，
∵BC＝4，
∴OM＝BM＝CM＝2，
∴AM＝6，
∴AB＝．
16．（2020春•海淀区校级期末）已知，如图，点A（0，4），B（3，0），点C在坐标轴上，使得△ABC是等腰三角形，计算点C的坐标．
【思路引导】分为三种情况：①AB＝AC，②AC＝BC，③AB＝BC，即可得出答案．
【完整解答】解：如图所示：
AB＝＝5，
①AB＝AC时，点C的坐标为（0，9），（0，﹣1），（﹣3，0）；
②AC＝BC时，点C的坐标为（0，0.875），（﹣，0）；
③AB＝BC时，点C的坐标为（0，﹣4），（8，0），（﹣2，0）．
综上所述，点C的坐标为（0，9），（0，﹣1），（﹣3，0）；（0，0.875），（﹣，0）；（0，﹣4），（8，0），（﹣2，0）．
17．（2020春•亭湖区校级期中）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
{计算发现}
（1）若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝ 20° ，∠CDE＝ 10° ．
{猜想验证}
（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式，并证明你的猜想．
{拓展思考}
（3）①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ 12.5° ．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝ 12.5°或102.5° ．
【思路引导】（1）根据已知等量关系求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD；
（2）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；
（3）①根据（2）的结论直接计算便可；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：点E在边AC上时，点E在CA的延长线上时，分别求解．
【完整解答】解：（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，
∴∠C＝70°，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，
故答案为：20°；10°；
（2）∠BAD＝2∠CDE．
理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD＝，
故答案为：12.5°；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，
∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．
故答案为：12.5°或102.5°．
18．（2020春•宁化县期末）已知△ABC是等腰三角形．
（1）若∠A＝100°，求∠B的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠B的度数；
（3）若∠A＝α（45°＜α＜90°），过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
【思路引导】（1）根据∠A＝100°，这个等腰三角形是钝角三角形即可求∠B的度数；
（2）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
（3）根据∠A＝α（45°＜α＜90°），分三种情况画出图形分类讨论，结合三角形内角和定理求解即可．
【完整解答】解：（1）∵∠A＝100°是钝角，
∴∠B＝（180°﹣100°）＝40°．
故∠B的度数为40°；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（3）∵∠A＝α（45°＜α＜90°），
①当∠A为顶角时，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝（180°﹣α），
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+（180°﹣α）＝135°﹣α；
②当∠A为底角，∠B为底角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
所以当∠A为底角时，最小值假设取45度，另一个底角也是45度，此时三角形ABC是直角三角形，
但是∠A 大于45°，所以两个底角的和一定大于90度，所以三角形ABC不可能是钝角三角形，
所以此种情况不存在．
当∠A为底角，∠B为底角时，∠C为顶角且为锐角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
③当∠A为底角，∠B为顶角时，如图：
∵∠BFC+∠FBE＝90°，
∠A+∠ABD＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴∠BFC＝∠A＝α．
∵∠A 大于45°，所以等腰三角形ABC一定是锐角三角形，
∴此种情况不符合题意；
当A为底角，三角形是锐角三角形时，
如图，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
根据四边形内角和定理，得
∴∠BFC＝180﹣a．
故∠BFC的度数为：135°﹣α；90°+；180°﹣α．
19．（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
【思路引导】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP＝EC，②若PC＝PE，③若CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及y＝解出x即可．
【完整解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝34°，
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠A＝x°，
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90﹣）°，
由（1）可得：∠ABP＝∠ABC＝（45﹣）°，∠BDC＝90°，
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45﹣）°＝（）°，
即y与x的关系式为y＝，
（3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，
①若EP＝EC，
则∠ECP＝∠EPC＝y°，
而∠ABC＝∠ACB＝（90﹣）°，∠ABC+∠BCD＝90°，
则有：（90﹣）°+（90﹣﹣y）°＝90°，又y＝，代入，
∴（90﹣）°+（90﹣）°﹣（）°＝90°，
解得：x＝36；
②若PC＝PE，
则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90﹣）°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90﹣）°+[（90﹣）°﹣（90﹣）°]＝90°，
又y＝，代入，
解得：x＝；
③若CP＝CE，
则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90﹣）°+（90﹣）°﹣（180﹣2y）°＝90°，又y＝，代入，
解得：x＝0，不符合，
综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A的度数为36°或（）°．
20．（2019秋•天津期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．
【思路引导】利用AB＝AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD＝BD，可求得∠CAD＝∠CDA及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．
【完整解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠DAB，
∵AC＝DC，
∴∠DAC＝∠ADC＝2∠B，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠B+2∠B＝3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
21．（2018秋•邻水县校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
【思路引导】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD＝∠ABC．
【完整解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠B．
22．（2018秋•南开区期末）如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
【思路引导】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC．
【完整解答】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED，
∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
23．（2019春•海口期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝120°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝70°﹣15°＝55°，于是得到结论；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．
【完整解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；
（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70°﹣15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α
∴，∴2α＝β，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．

24．（2019春•新城区校级期末）如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE＝40°，求∠EHD的度数．
【思路引导】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AD垂直平分CE；
（2）由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，则CD＝DE，∠DCE＝∠DEC．由EF∥BC，可得∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，则EG平分∠DEF．再证明∠EDH＝∠EHD，然后由∠BCE＝40°，得出∠DEH＝2∠BCE＝80°，进而求出∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．
【完整解答】（1）证明：∵AE＝AC，AD是∠BAC平分线，
∴AD垂直平分CE；
（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠BCE＝40°，
∴∠DEH＝2∠BCE＝80°，
∴∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．