第01讲 二次根式的运算专题复习-【专题突破】2022-2023学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第01讲 二次根式的运算专题复习

类型一  二次根式的计算

1．计算：

（1）；

解：原式＝

＝；

（2）．

解：原式＝

＝9．

（3）．

解：原式＝﹣+1

＝3﹣+1

＝2+1．

 （4）﹣|﹣2|．

解：原式＝+++﹣2

＝++4+﹣2

＝﹣2．

（5）；

解：原式＝

＝

＝36；

（6）（2﹣5）（2+5）；

解：原式＝（2）2﹣（5）2

＝12﹣50

＝﹣38；

（7）；

解：原式＝3﹣2+3

＝+3；

（8）（2﹣3）×．

解：原式＝（4﹣）×

＝3×

＝3×3

＝9．

（9）（）（）﹣（）2．

解：原式＝

＝3﹣（3+2+2）

＝3﹣3﹣2﹣2

＝﹣2﹣2．

（10）；

解：原式＝1﹣16+2

＝﹣13；

（11）．

 解：原式＝

＝3．

（12）；

  解：原式＝3﹣1﹣（÷﹣÷）

＝3﹣1﹣（﹣2）

＝3﹣1﹣+2

＝4﹣；

（13）．

  解：原式＝﹣+

＝2﹣+

＝．

（14）．

解：原式＝+4×﹣

＝3+﹣3﹣2

＝2﹣3．

（15）（3+）2﹣（2﹣3）（2+3）；

解：原式＝9+6+5﹣（4﹣45）

＝9+6+5﹣（﹣41）

＝9+6+5+41

＝55+6；

（16）（﹣2+）÷（2）．

解：原式＝（2﹣+4）÷（2）

＝÷2

＝．

（17）﹣×；

解：原式＝﹣

＝﹣2

＝4﹣2

＝2；

（18）．

解：原式＝2+2+1﹣（3﹣1）

＝2+2+1﹣2

＝2+1．

类型二  与二次根式有关的化简求值

【直接型化简求值】

1．（2022秋•雨花区校级期末）已知x＝3+，y＝3﹣，求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）．

【解答】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，

∵x＝3+，y＝3﹣，

∴x+y＝（3+）+（3﹣）＝3++3﹣＝6，

xy＝（3+）（3﹣）＝9﹣7＝2，

∴原式＝62﹣2×2

＝36﹣4

＝32；

（2）原式＝，

当xy＝2，x2+y2＝32时，

原式＝＝16．

2．（2022秋•惠安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）+x（x﹣1），其中x＝2．

【解答】解：原式＝x2﹣2+x2﹣x

＝2x2﹣2﹣x，

当x＝2时，

原式＝2×（2）2﹣2﹣2

＝2×12﹣2﹣2

＝24﹣2﹣2

＝22﹣2．

【利用其非负性化简求值】

3．（2022秋•西湖区校级期末）已知：y＝++5，化简并求的值．

【解答】解：∵x﹣4≥0且4﹣x≥0，

∴x＝4，

∴y＝5，

∴原式＝+

＝

＝

＝

＝﹣4．

4．（2022秋•永春县期中）若y＝﹣1，化简求值[（2x+y）2﹣y（x+y）﹣4xy]÷2x．

【解答】解：原式＝（4x2+4xy+y2﹣xy﹣y2﹣4xy）÷2x

＝（4x2﹣xy）÷2x

＝2x﹣y，

∵y＝，

∴x﹣2≥0且2﹣x≥0，

∴x＝2，y＝﹣1，

当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣＝．

【新定义型化简求值】

5．（2020秋•薛城区期末）对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）．

【解答】解：∵3＞2，8＜12，

∴（3※2）×（8※12）

＝（）×（）

＝（）×（）

＝2（）×（）

＝2．

6．（2019春•临渭区校级月考）对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，求★（★）的值

【解答】解：∵＜，

∴★＝，

则原式＝★

＝

＝

＝

＝2

【利用整体思想化简求值】

7．（2022秋•锦江区校级期末）已知，b＝．

求：（1）ab﹣a+b的值；

（2）求a2+b2+2的值．

【解答】解：（1）a＝＝，

b＝＝，

∴ab＝（）（）＝6﹣5＝1，

a﹣b＝（+）﹣（）＝+﹣+＝2，

∴原式＝ab﹣（a﹣b）

＝1﹣2，

即ab﹣a+b的值为1﹣2

（2）原式＝（a﹣b）2+2ab+2

＝（2）2+2×1+2

＝20+2+2

＝24，

即a2+b2+2的值为24．

8．（2022秋•尤溪县期中）已知x＝2﹣，y＝2+，求代数式x2+2xy+y2的值．

【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x2+2xy+y2

＝（x+y）2

＝（2﹣+2+）2

＝42

＝16．

9．（2022秋•鼓楼区校级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a＝＝＝2﹣，

∴a﹣2＝﹣．

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．

∴a2﹣4a＝﹣1．

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）＝　﹣　；

（2）化简+++……+；

（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．

【解答】解：（1）＝＝﹣；

故答案为﹣；

（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣

＝﹣1

＝13﹣1

＝12；

（3）∵a＝＝+2，

∴a﹣2＝，

∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．

∴a2﹣4a＝1．

∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3

＝a2×1﹣4a+3

＝a2﹣4a+3

＝1+3

＝4．

【综合应用】

10．（2022秋•大邑县期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　m2+7n2　，b＝　2mn　．

（2）若a+6，当a，m，n均为正整数时，求a的值．

（3）化简：和．

【解答】解：（1）∵a+b，

∴a+b＝m2+2mn+7n2（a，b，m，n均为整数），

∴a＝m2+7n2，b＝2mn，

故答案为：m2+7n2，2mn；

（2）∵a+6，

∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，b，m，n均为整数），

∴a＝m2+3n2，2mn＝6，

∴mn＝3，

①m＝1，n＝3，a＝28，

②m＝3，n＝1，a＝12，

综上所述：a＝28或12；

（3）∵＝4﹣2×2×+3＝7﹣4，

＝3+2+3＝5+2，

∴＝＝2﹣，

＝＝+，

∴．