专题1.2 手拉手模型（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（苏科版）

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专题1.2 手拉手模型


【典例1】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【思路点拨】
（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）法，判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．

【解题过程】
解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；
（3）AE＝BE+2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．


1．（2021春•鄄城县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）

A．55° B．50° C．45° D．60°
【思路点拨】
求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解题过程】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故选：A．
2．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（　　）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【思路点拨】
想办法证明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解题过程】
解：∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，
无法判断AB＝BC，故④错误，
故选：A．
3．（2021秋•民权县期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【解题过程】
解：在△ABC和△AEF中，
AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，
∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC＝44°，故①正确，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，
∴∠EFB＝∠FAC＝44°，故③正确，
无法证明AD＝AC，故④错误，
综上，①②③正确，
故选：B．
4．（2021秋•南平期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解题过程】
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
5．（2021秋•北海期末）如图，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为 　75°　．

【思路点拨】
首先根据∠1＝∠2，得∠CEA＝∠DEB，再利用ASA证明△AEC≌△BED，得DE＝EC，利用等腰三角形的性质可得答案．
【解题过程】
解：∵∠1＝∠2，
∴∠CEA＝∠DEB，
在△AEC与△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠C＝75°，
故答案为：75°．
6．（2021秋•铁东区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝∠ABC＝70°，∠AED＝∠ADE，则∠BDC的度数为 　40°　．

【思路点拨】
根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解题过程】
解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD （SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°，
故答案为：40°．
7．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　92°　．

【思路点拨】
根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解题过程】
解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
8．（2021春•西安期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE＝　65°　．

【思路点拨】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∴∠CAB＝∠ABC＝65°，求出∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的判定得出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠CDA＝∠CEB，再证明Rt△CHN≌Rt△CHM（HL），即可求解．
【解题过程】
解：∵CA＝CB，∠ACB＝50°，
∴∠CAB＝∠ABC=12（180°﹣∠ACB）＝65°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，
设BE、CD交于点R，
∵∠CRE＝∠HRD，
∴∠DHE＝∠DCE＝50°

过点C分别作AD、BE的高CN、CM，
∵△ACD≌△BCE，
∴CM＝CN，
∵CH＝CH，
∴Rt△CHN≌Rt△CHM（HL），
∴∠CHE＝∠CHN=12∠AHE=12（180°﹣∠DHE）=12（180°﹣50°）＝65°
故答案为：65°．
9．（2021秋•双峰县期末）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有　①②④⑤　．

【思路点拨】
易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；即可解题．
【解题过程】
解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBCB=CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
∠BDC=∠EACDC=AC∠ACD=∠DCN=60°，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
10．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．

【思路点拨】
由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解题过程】
证明：在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
11．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．

【思路点拨】
（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）欲证明AE＝DE，只要证明∠EAD＝∠ADE即可．
【解题过程】
（1）证明：在Rt△ADB和△ADC中，
AB=ACAF=ADDB=DC，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；
（2）证明：∵△ADB≌△ADC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE．
12．（2020秋•萧山区期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）求证：AC＝BD．
（2）求∠APB的度数．

【思路点拨】
（1）先∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD得到∠AOC＝∠BOD，然后得证△AOC≌△BOD，从而得到AC＝BD；
（2）先由△AOC≌△BOD得到∠OAC＝∠OBD，从而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，然后由OA＝OB，∠AOB＝60°得到△AOB是等边三角形，从而得到∠PAB+∠PBA＝120°，最后得到∠APB的度数．
【解题过程】
（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OC∠AOC=∠BODOB=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，
∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．
13．（2021秋•长沙期末）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）求∠CFB的度数．

【思路点拨】
（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，证明△DAC≌△BAE，即可得到CD＝BE；
（2）由△DAC≌△BAE，得到∠ADC＝∠ABE，再由∠CFE＝∠BDF+∠DBF＝∠BDF+∠DBA+∠ABF，即可解答．
【解题过程】
（1）证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠DBA＝∠ADB＝60°，∠CAE＝60°，
∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB，∠CAE＝∠BAE+∠CAB，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠CFE＝∠BDF+∠DBF＝∠BDF+∠DBA+∠ABF＝∠BDF+∠DBA+∠ADC＝∠BDA+∠DBA＝60°+60°＝120°，
∴∠CFB＝60°．
14．（2021秋•长沙县期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在BC上，使∠AEB＝∠ADC，连接AC，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若∠BAC＝90°，连接ED，求∠AED的度数．

【思路点拨】
（1）证出∠BAE＝∠CAD，根据AAS可证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解题过程】
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∠BAE=∠CAD∠AEB=∠ADCAB=AC，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝45°．
15．（2021秋•德江县期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC与BE的位置关系．

【思路点拨】
（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CAD；
（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝45°，根据垂直的定义证明结论．
【解题过程】
解：（1）△BAE≌△CAD，
理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD
在△BAE和△CAD中，
BA=BC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS）；
（2）DC⊥BE，
理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴DC⊥BE．
16．（2021秋•太康县期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，联接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．
②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．

【思路点拨】
（1）证明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可证明；
（2）①与（1）同理证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°；
②同理证明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，则∠BAC＝∠BCE．
【解题过程】
解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）①α+β＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，
∴α+β＝180°；
②α＝β，理由如下：

∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAE=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
∴α＝β．