专题02几何探究之等腰三角形压轴题专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

专题02几何探究之等腰三角形压轴题专练（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2022·浙江九年级期末）如图，点，，分别在等边的三边上，且，过点，，分别作，，边的垂线，得到．若要求的面积，则只需知道（ ）

A．的长 B．的长 C．的长 D．的长

2．（2022·浙江九年级一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江九年级一模）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（    ）

A． B． C． D．

4．（【新东方】【2022.6.16】【omo】【初三下】【数学00090】）拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何．他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．如图所示，以的三条边为边，分别向外作三个正三角形，顺次连结它们的中心E，F，G，得到“拿破仑”．已知三个等边三角形的面积比为，则“拿破仑”与的面积比为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2022·浙江九年级一模）如图，若，，，，则_________．

6．（2022·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．

7．（2022·浙江九年级其他模拟）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝α，D是AB边上一点，E是BC边上一点（包括端点B、C），显然命题“若DE＝AC，则DE是△ABC的中位线”是假命题，要使得上述命题为真命题___．（填序号）

①0°＜α＜30°；

②30°＜α＜90°；

③α＝90°；

④90°＜α＜120°；

⑤120°＜α＜150°．

8．（2022·浙江九年级一模）中，∠A=36°，∠B是锐角．当∠B=72°时，我们可以如图作线段BD将分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∠B的角度还可以取到的有____________．

9．（2022·浙江八年级期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．

三、解答题

10．（2022·浙江九年级一模）一款平板保护套放置在水平桌面上（如图1）．当保护套展开时，其侧面示意图如图2甲所示．当平板保护套完全合拢时，点与点重合，点与点重合（如图2乙）．已知．

（1）如图3，当点与点重合时，求的度数（精确到度）．

（2）如图4，点从点出发沿着方向滑动．

①当点滑动至时，求点的高度上升了多少厘米？

②当点滑动至点时，若，求线段扫过的面积（结果保留 ）．（参考数据：）

11．（2022·浙江九年级一模）如图，矩形中，点E为边上一点，把沿着折叠得到，点F落在边的上方，线段与边交于点G．

（1）求证：是等腰三角形

（2）试写出线段，，三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．

12．（2022·浙江杭州市·九年级一模）如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．

（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．

13．（2022·浙江九年级其他模拟）数学课中，张老师和同学们复习回顾圆与正多边形位置关系时，马伊同学向大家分享了自己设计的一个作圆内接等边三角形的方法，方法如下：

①如图，作直径；

②作半径的垂直平分线，交于两点；

③连结，那么为所求的三角形．

张老师认可马伊同学的设计，请您顺着马伊同学的设计思路完成整个过程．

（1）用尺规在原图上作出；

（2）证明是等边三角形．

14．（2022·浙江九年级一模）如图是边长为1的小正三角形组成的网格．

（1）在网格中画出一个以为边的，使的长为无理数且，均在格点（即每个小正三角形的顶点）上．

（2）针对你所画的平行四边形（不添加任何条件），请你编制一个计算题，并直接写出答案．

15．（2022·浙江）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．

（1）求的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）

16．（2022·浙江九年级三模）1）门框的尺寸如图1，一块长，宽的长方形薄板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．

（2）放在墙角的立柜（图2）上下面是一个等腰直角三角形（图3），腰长为，现要将这个立柜搬过宽为的通道，能通过吗？请通过计算进行说明．（参考数据：，）

17．（2022·浙江九年级三模）如图，已知等边，在，边分别取点，，使，连接，相交于点．

（1）求证：≌．

（2）若．

①求的值．

②设的面积为，四边形的面积为，求的值．

18．（【新东方】初中数学20220625-011【初二上】）直线与轴、轴交于两点，在轴的负半轴上，且；

（1）求的解析式；

（2）在的延长线上任取一点，作，交直线于，试探究与的数量关系，并证明你的结论．

（3）在（2）的前提下，作于，证明．

19．（【新东方】初中数学1221初二上）如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点．

（1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：；

（2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由．

（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．）

20．（【新东方】【宁波】【初二上】【数学】【00020】）若三角形一边上的高线是该边的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．

（1）下列三角形为半高三角形是（）

A．等边三角形B．等腰直角三角形C．含有角的直角三角形

（2）若一个等腰三角形是半高三角形，则它的底角为________；

（3）如图，在四边形中，，，求证：是半高三角形；

（4）如图，在的正方形网格中，为格点，若为半高三角形，则满足条件的有________个．

21．（2022·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．

（1）如图1，若，求的长．

（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．

（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

22．（2022·浙江九年级一模）如图，在四边形中，，，，E是BC边上一动点，连结AE，将AE绕点A逆时针旋转135°到AF，连结EF与AD交于点G，连结DE，DF，设BE的长为x．

（1）求证：．

（2）若的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求y的最大值．

（3）当是等腰三角形时，求x的值．

23．（2022·浙江九年级一模）在中，．将边绕点C顺时针旋转到，记，连结，取的中点F，射线，交于点A．

（1）填表：如图1，当时，根据下表中的值，分别计算的度数．

（2）猜想与的数量关系，并说明理由．

（3）应用：如图2，当时，请求出从逐渐增加到的过程中，点A所经过的路径长．

24．（2022·浙江八年级期末）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．

（1）______，______；

（2）①判断和的位置关系，并说明理由；

②若，当______时，四边形是平行四边形．

（3）如图2，若，

①当时，求的值；

②若，求值．

25．（2022·浙江八年级期末）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．

（1）尝试：如图1，在的正方形网格图形中，已知点、点是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求、是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；

（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（2）推理：如图2，已知与均为等腰直角三角形，，连结，，求证：四边形是等线四边形；

（3）拓展：如图3，已知四边形是等线四边形，对角线，交于点，若，，，．求的长．

26．（2022·浙江八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点．已知，，．平分，交于点，点是线段上一动点．

（1）求的长和的度数；

（2）若点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，求点的坐标；

（3）如图2，在线段上有一动点，点与点分别同时从点和点出发，已知当点从点匀速运动至点时，点恰好从点匀速运动至点，连结、、．问：在运动过程中，是否存在这样的点和点，使得的面积与的面积相等．若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由．