专题02数形思想课之一次函数与一元一次方程综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题02数形思想课之一次函数与一元一次方程综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象的平移即可得到答案．
【详解】
解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程的解为x=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．
2．若一次函数（为常数且）满足如表，则方程的解是（　　）















A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解．
【详解】
由表格可得：当时，，
方程的解是
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b=0的解为函数值y=0时函数y=ax+b自变量x的取值．
3．如图，一次函数与一次函数的图象交点，则下列说法正确的个数是（ ）
①是方程的一个解； ②方程组的解是；③不等式的解集是； ④不等式的解集是．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数图象上点的特征和方程及不等式的关系可以直接作出判断．
【详解】
解：①如图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，则点位于直线上，所以是方程的一个解，故①说法正确．
②如图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，则方程组的解是，故②说法错误．
③如图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是，故③说法正确．
④如图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，且直线与轴的交点是，则不等式的解集是，故④说法正确．
综上所述，说法正确的个数是3，
故选：．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．如图，直线：交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则当长度最小时，线段的长为（ ）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】
作EH⊥x轴于H，通过证明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，从而确定点点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短确定出点E的位置，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：作EH⊥x轴于H，
∵∠DBE=90°，
∴∠DBC+∠CBE=90°.
∵∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠CBE=90°，
∴∠DBC=∠BEH.
在△DBO和△BEH中，
∵∠DBC=∠BEH，
∠BOD=∠BHE，
BD=BE，
∴△DBO≌△BEH中，
∴HE=OB，
当y=0时，，
∴x=3，
∴HE=OB=3，
∴点的运动轨迹是直线，B(3，0)，
∴当⊥m时，CE最短，此时点的坐标为(-1，3)，
∵B(-1，0)，B(3，0)，
∴BC=4，
∴BE′=，
∴BD= BE′=4，
∴OD=，
∴CD=.
故选B.

【点睛】
本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，旋转变换、全等三角形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E的位置．
5．如图,在平面直角坐标系中，直线y＝－3x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，直线y＝3x－2与y轴交于点F，与线段AB交于点E，将正方形ABCD沿x轴负半轴方向平移a个单位长度，使点D落在直线EF上.有下列结论：①△ABO的面积为3；②点C的坐标是(4，1)；③点E到x轴距离是；
④a＝1．其中正确结论的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
①由直线解析式y＝－3x＋3求出AO=3，BO=1，即可求出△ABO的面积；
②证明△BAO≌△CBN即可得到结论；
③联立方程组，求出交点坐标即可得到结论；
④如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，利用三角形全等，求出点D坐标即可解决问题．
【详解】
如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，

①∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于B、A两点，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AO=3，BO=1，
∴△ABO的面积=，故①错误；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠ABC=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBN=90°，
∴∠BAO=∠CBN，
在△BAO和△CBN中，
，
∴△BAO≌△CBN，
∴BN=AO=3，CN=BO=1，
∴ON=BO+BN=1+3=4，
∴点C的坐标是(4，1)，故②正确；
③联立方程组，解得，y=，
即点E到x轴的距离是，故③正确；
④由②得DF=AM=BO=1，CF=DM=AO=3，
∴点F（4，4），D（3，4），
∵将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y=3x-2上，
∴把y=4代入y=3x-2得，x=2，
∴a=3-2=1，
∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点D恰好落在直线y=3x-2上时，a=1，
故④正确.
故选B.
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
6．如图，直线AB：y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD： y＝x＋b分别与x轴、y轴交于点C、D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD＝4，则点P的坐标是 ( )

A．(3，4) B．(8，5) C．(4，3) D．(，)
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出A，B两点的坐标，用含b的代数式表示D，C两点的坐标，根据S△ABD=4，求出BD的值，再得出OD的值，从而确定b的值，求出直线CD的函数解析式，将直线AB与直线CD的解析式联立，即可求出P的坐标．
【详解】
解：由直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，
可知A，B的坐标分别是（-2，0），（0，1），
由直线CD：y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D，
可知D的坐标是（0，b），
根据S△ABD=4，得BD•OA=8，
∵OA=2，∴BD=4，∴OD=BD-OB=3
∴D的坐标就是（0，-3），
∴b=-3
∴直线CD的解析式为：y=x-3，
P点的坐标满足方程组
解得：
即P的坐标是（8，5）．
故选：B．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，以及三角形的面积等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
7．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（    ）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【答案】A
【分析】
作点B关于直线y=x的对称点（0,1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2,0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
【详解】
解：作点B关于直线y=x的对称点（0,1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2,0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0,1），（2,0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故答案选A．

【点睛】
本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
8．已知一次函数的图象过点（98，19），它与X轴的交点为（P，0），与y轴交点为（0，q），若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数
【答案】A
【解析】
【详解】
解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19；把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-．所以19p=-98q+pq，则q=，p是质数，q是正整数，再利用整除的性质讨论即可．
解：把点（98，19）代入y=ax+b，得98a+b=19；
把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=-．
所以19p=-98q+pq，
则q=，p是质数，q是正整数，分子只有三个因数即1、19、p，则p-98只能等于1、19或p，解的p都不是质数．
所以满足条件的所有一次函数的个数为0．
故答案为A．
本题考查了一次函数的性质，点在图象上，则点的横纵坐标满足解析式．也考查了质数的概念和整数的整除性质．


二、填空题
9．如图，己知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是_________．

【答案】②③④
【分析】
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：把点，点代入得，，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，，
图象不经过点；故①不符合题意；
由图象得：关于的方程的解为，故②符合题意；
关于的方程的解为，故③符合题意；
当时，，故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10．在平面直角坐标系中，，直线与轴交于点，与轴交于点为直线上的一个动点，过作轴，交直线于点，若，则点的横坐标为__________．
【答案】2或
【分析】
先直线AB的解析式，然后设出点P和点Q的坐标，根据列方程求解即可.
【详解】
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(3，0)，B(0，3)代入得
，
解得
，
∴y=-x+3，
把x=0代入，得
，
∴D(0，1)，
设P(x，2x+1)，Q(x，-x+3)
∵，
∴，
解得
x=2或x=，
∴点的横坐标为2或.
故答案为：2或.

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标图形的性质，以及两点间的距离，根据两点间的距离列出方程是解答本题的关键.
11．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是_____．

【答案】x=2
【分析】
依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），
∴ ，
解得，
∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3，
解得x＝2，
故答案为x＝2．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
12．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为_____．
【答案】（，0）
【分析】
首先作点A关于x轴的对称点A′，利用待定系数法求出直线A′B的函数解析式，直线A′B与x轴的交点就是点M．
【详解】
解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（1，5），B（3，1）代入得：
，
解得：k=-2，b=7，
即直线AB的解析式是y=-2x+7，
把y=0代入得：-2x+7=0，
，
即M的坐标是（，0），
故答案为（，0）
考点：轴对称

三、解答题
13．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（，0）作CD交AB于D，交轴于点E.且△COE≌△BOA．

（1）求B点坐标为 ；线段OA的长为 ；
（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN.
①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；
②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积.
【答案】（1）B（0，4），OA=3；（2）CD：，D（，）；（3）①OM=ON保持不变，见解析；②当OM最小时，△OMN面积最小为，此时OM∥AB，M（，）
【分析】
（1）令x=0求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出OA的长；
（2）根据△COE≌△BOA求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）①先证明△COM≌△BON，根据全等三角形的判定和性质得出OM=ON；
②由△OMN面积=可知当OM⊥CD时，△OMN面积的面积最小，设M(x, )，利用面积法求解即可.
【详解】
解：（1）当x=0时，，
∴B（0，4）；
当y=0时，
，
∴x=3，
∴A(3，0)，
∵OA =3；
（2）∵△COE≌△BOA，
∴OE=OA=3，
∴E（0，3）.
设CD解析式为y=kx+b，
把C（，0），E（0，3）代入得
，
解得
，
∴；
解 得，
∴D（，）；
（3）①线段OM与ON数量关系不变，OM=ON，理由：
∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，
∴∠COM+∠AON=90°，
∵∠AON+∠BON=90°，
∴∠COM=∠BON，
∵△COE≌△BOA，
∴∠OCM=∠OBN，
在△COM与△BON中
，
∴△COM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；
（3）△OMN面积=，
∴当OM⊥CD时，△OMN面积的面积最小，
∵△COE≌△BOA，
∴∠OCE=∠DBE，
∵∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠BED+∠DBE=90°，
∴CD⊥AD,
∴OM∥AB,
∵,
∴,
解得，
∴M（，）.
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（，），且与正比例函数的图象交于点B（，）.

（1）求的值及一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m>0）个单
位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）a=－3；y=2x+8；（2）m=；（3）x＜－3.
【分析】
（1）将点B坐标代入正比例函数解析式求出a的值；将A、B两点的坐标代入一次函数求出解析式；（2）求出点C的坐标，然后设出平移后的解析式，将点C代入进行求解；（3）根据图象进行回答.
【详解】
解：（1）∵直线经过点B（，），∴． 解得．
∵直线经过点A（，）和点B（，），
∴解得
∴直线的解析式为．
（2）当时，，解得． ∴点C的坐标为（，）．
设平移后的直线的解析式为． ∵平移后的直线经过点C（，），
∴． 解得．
（3）
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合思想解题是关键.
15．[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．
他经历了如下思考过程：
[回顾]
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是　 　．

[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：
当x＝0时，原不等式不成立；
当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．
（2）构造函数，画出图象：
设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；
双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为　 　．
[解决]
（4）借助图象，写出解集：
结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为　 　．
【答案】（1）x＞1或﹣3＜x＜0；（2）详见解析；（3）﹣3或﹣1或1；（4）x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【分析】
（1）根据一次函数与反比例函数图像位置关系直接观察出不等式解集．

（2）找出该函数上的关键点，在图表中描点连线即可．
（3）由图像观察即可得出交点的横坐标，即为原方程的解．
（4）根据（3）小问的方法，将原式转化为x2+3x﹣1＞，作图找交点即可（注意讨论x与0的大小关系）．
【详解】
解：（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0．
故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．
（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：

（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．
经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，
满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．
故答案为﹣3或﹣1或1．
（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x＞1，
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0，
∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，把不等式问题转化为函数图象问题解决，属于中考压轴题．
16．如图，直线l：为常数，且经过第四象限．

（1）若直线l与x轴交于点，求m的值；
（2）求m的取值范围：
（3）判断点是否在直线l上，若不在，判断在直线l的上方还是下方？请说明理由．
【答案】(1)m=-1;(2);(3)见解析.
【分析】
(1)根据直线l与x轴交于点(2，0)，可以求出m的值；
(2)根据函数图象和题意，可以得到关于m的不等式组，从而可以得到m的取值范围；
(3)将x=3代入函数解析式，可以得到相应的函数值，从而可以判断点P是否在直线l上，再根据m的取值范围可以判断点P在直线l的上方还是下方．
【详解】
解：直线l：为常数，且，直线l与x轴交于点，
，
解得，；
由题意可得，
m-1<0，
解得，；
当时，，
点P不在直线l上，
，
又，
，
，
点P在直线l的下方．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17．直线l1与l2相交于点P, 点P的横坐标为-1，直线l2交y轴于点A(0,-1), 直线l1的函数表达式为y=2x+3。设直线l1与y轴交于B。
（1）求直线l2的函数表达式。
（2）求两直线与y轴围成的面积。
（3）过动点D(a,0）作x轴的垂线与直线l1，l2分别交于M,N两点，若MN≤3,求a的取值范围。
【答案】（1）直线l2的函数表达式为y=-2x-1；
（2）两直线与y轴围成的面积为2；
（3）a的取值范围是-74≤a≤-14
【解析】试题分析：（1）先求出P点坐标，根据两点确定一条直线即可求出直线l2的函数表达式；
（2）根据三角形的面积计算公式即可得出三角形的面积；
（3）分别用a表示M和N的纵坐标，求出MN的长度,根据MN≤3即可求出a的取值范围。
试题解析：（1）由点P在直线l2上，得y=1,
∴P(-1,1)
设直线l2的解析式为y=kx+b，则有：
{b=-1-k+b=1
解得：{b=-1k=-2
∴直线l2的解析式为y=-2x-1
（2）直线l1和直线l2与y轴围成的图形是ΔABP
∴SΔABP=12×1×(3+1)=2.
(3) ∵D(a,0）
∴M(a,2a+3) N(-2a-1)
∴MN=|2a+3+2a+1|≤3
解得： -74≤a≤-14
18．（温故）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时．我们也学习了绝对值的意义；
（尝试）结合上面经历的学习过程，探究函数的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
（1）列表：

···






···

···






···
请根据表格中的信息，求出的值．
（探索）（2）①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．（温馨提示：请把图画在答题卷相对应的图上．)
②若点在函数图象上，且，试比较与的大小，并说明理由．
（拓展）（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的的取值范围.

【答案】（1）-3；-5 （2）①见解析 ②；理由见解析 （3）.
【分析】
(1)分x≥2 和x＜2两种情形化简，后从列表中，选择符合题意的一对数值代入计算即可；
(2)根据题意，x＜2，选择对应的函数，根据函数的性质判断即可；
(3)画出图象，利用数形结合思想求解即可．
【详解】
当时，，
把代入，
得:，
，
当时，，即；
图象如图


当时，，
，
随的增大而减小
当时，；
（3）如图：当直线在直线之间时，关于的方程有且只有一个正根和一个负根，


令，则，
即：或，
解得：或，
当，时，代入得：，
当，时，代入得：，
∴，
∴满足条件的的取值范围是：．
【点睛】
本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．