专题1.10 认识三角形-三角形的外角（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.10 认识三角形-三角形的外角（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共13页。学案主要包含了学习目标，知识点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题1.10 认识三角形-三角形的外角（知识讲解）【学习目标】1．掌握三角形外角的定义；2．能够运用三角形内角和定理与外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.【知识点梳理】要点一、三角形外角定义1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.特别说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．要点二、三角形外角性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．要点三、三角形外角和三角形的外角和等于360°.特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°【典型例题】类型一、三角形的外角性质1．如图，已知//，若，，求的度数．【答案】【分析】延长BE，交CD于点F，根据两直线平行内错角相等的性质，得，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．解：如图，延长BE，交CD于点F∵//，，∴ ∴．【点拨】本题考查了平行线、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形外角的性质，从而完成求解．举一反三：【变式1】 已知AB//CD，，，，求．【答案】【分析】设直线交于，交于，根据三角形外角的性质求出 ，根据平行线的性质得到 ，再由外角的性质得出 ，即可求解．解：延长交于，延长EF交DC的延长线于，如图， ，，，，， ，， ．【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系(1)AB//CD．如图a，点P在AB、CD外部时，∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？请说明理由(2)如图b，将点P移到AB、CD内部，∠BPD、∠B、∠D之间又有何数量关系？请说明理由【答案】(1)；理由见分析(2)；理由见分析【分析】（1）由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，即∠B＝∠BPD＋∠D；（2）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED＝∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明∠BPD＝∠B＋∠D．(1)解：∠B＝∠BPD＋∠D，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BOD，又∵∠BOD＝∠BPD＋∠D，∴∠B＝∠BPD＋∠D；(2)∠BPD＝∠B＋∠D，理由如下：延长BP交CD于点E，如图所示：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D．【点拨】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握此类问题的辅助线的做法是解题的关键．2.如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度数；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【答案】(1)  (2)【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）设∠1的同旁内角为∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．(1)∠1＝∠A+∠D＝90°；,(2)设∠1的同旁内角为∠2，如图，∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点拨】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．【答案】105°【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ADB，再根据三角形的外角性质计算即可．解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，∴∠ADB＝40°+45°＝85°，∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，∴∠DFE＝85°+20°＝105°．【点拨】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式2】 如图，点O是内一点，连接BO，CO，CO恰好平分，延长BO交AC于点E．已知，，，求和的度数．【答案】 ；【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的知识进行求解即可．解：∵，，∴，∵CO平分，，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线知识，三角形外角的性质，正确的掌握并且应用定理以及角平分线定义是解题的关键．3. 如图，点M为△ABC的边BC的延长线上一点，CN平分∠ACM，BN平分∠ABC，且CN与BN相交于点N，求证：∠A＝2∠N．【分析】先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，，即可推出，由此即可证明．解：∵BN，CN分别平分∠ABC、∠ACM，∴，，∵，，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟知三角形外角的性质和角平分线的定义．举一反三：【变式1】 一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，李师傅量得∠DCB＝142°，就判断这个零件不合格，试用三角形的有关知识说明这种判断的理由．【答案】这个零件不合格，判断理由见分析【分析】延长BC与AD相交于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCD即可判断．解：如图，延长BC与AD相交于点E，∵∠1是△ABE的外角，∠A＝90°，∠B＝20°，∴∠1＝∠B+∠A＝20°+90°＝110°，同理，∠BCD＝∠1+∠D＝110°+30°＝140°，∵李师傅量得∠BCD＝142°，不是140°，∴这个零件不合格．【点拨】此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【变式2】如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；解：（1）结论：∠A2＝　   　度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（　   　）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠　   　，∠2＝∠1+∠　   　（　   　），（完成以下说理过程）(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）【答案】(1)34；角平分线的定义；A1；A2，过程见分析(2)17°(3)【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；（2）根据（1）的解法即可直接求解∠A3的度数；（3）利用（1）的结论找到规律，求解即可．(1)解：结论：∠A2＝34度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以∠A2＝∠A1，因为∠A1＝68°，所以∠A2＝34°，故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2．(2)解：∠A3＝17°，理由如下：由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∴∠A3＝∠A1=17°．(3)解：∠An＝，理由如下：由（1）中结论知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…，∴∠A1＝∠An，∴∠An＝．【点拨】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是解决（1）后利用其结论解答． 类型二、三角形的内角外角综合训练4.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；②若∠ABC=100°，则∠E=________．(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．【答案】(1)①30°；②30°    (2)嘉嘉说得对，理由见分析【分析】(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可；(2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E=∠A，据此即可判定．(1)解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=50°，∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=80°，∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；故答案为：①30°；②30°；(2)解：嘉嘉说得对．理由如下：∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD∵∠DCE=∠DBE+∠E∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)又∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A∴∠E的大小与∠B的度数无关．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题的关键．举一反三：【变式1】如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【答案】(1)见分析；(2)24°【分析】（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．(1)证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；(2)解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．【点拨】此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【变式2】 小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 P 为线段 AD 上的一个动点，PE⊥AD 交 BC 的延长线于点 E．猜想∠B、∠ACB、∠E 的数量关系．(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°，则∠E=     ．(2)小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），当点 P 在线段 AD 上运动时，求∠E 的大小．（用含α、β的代数式表示）【答案】(1)25°    (2)（β-α）；【分析】（1）根据三角形内角和180°，角平分线的定义，三角形外角的性质即可解答；（2）结合（1）的解答，用代数式表示角度进行角的计算，即可解答；(1)解：如图，设AC，PE交于点F，∵△ABC中，∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=180°-35°-85°=60°，∵AD平分∠BAC，则∠DAC=∠BAC=30°，∵△APF中，∠APF=90°，∠PAF=30°，∴∠PFA=60°，∴∠CFE=∠PFA=60°，∵∠ACB是△CEF的外角，∴∠ACB=∠E+∠CFE=85°，∴∠E=25°；(2)解：根据（1）可知：∠BAC=180°-α-β，∠DAC=90°-α-β，∠CFE=90°-（90°-α-β）=α+β，∠E=∠ACB-∠CFE=β-（α+β）=β-α=（β-α）；【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质；掌握相关定理和性质是解题关键．