专题1.17 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.17 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）
专题1.17 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一模型2：内角平分线+外角平分线模型如图二模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三模型四：飞镖+角平分线模型飞镖模型内角关系模型： 图四飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识．如图1，中，分别平分，且相交于点“勤奋小组”的同学发现:．证明过程如下:证明:如图2，连接并延长，则 (依据1)与分别平分又，(依据2)．依据1是 ___，依据2是 __；如图3，在图1的基础上，作的角平分线交于点试探究与之间的数量关系．【答案】（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于；（2）【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；（2）连接并延长，交于点根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得， ，然后根据、等量代换和三角形的内角和定理即可求出结论．解：（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得；由三角形的内角和等于可得故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于；（2）如图，连接并延长，交于点是的平分线，同理【点拨】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，，，分别平分和，，相交于点F，求的度数．【答案】45°【分析】根据三角形角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理即可求解．解：在中，，，分别平分和，∴∠AFE=45°．【点拨】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握三角形角平分线的定义是解题的关键．【变式2】已知△ABC中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．【答案】(1)、115°；(2)、；(3)、﹣×130°；(4)、n=13．解：试题分析：(1)、△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；(2)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C；(3)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．(4)、依据(3)的结论即可求出n的值．解：(1)、∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，∴△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115° (2)、∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，∴∠BO2C=180°﹣（）°=（）°．(3)、∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点， ∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°， ∴∠BOn﹣1C=180°﹣×130°；(4)、∵∠BOn﹣1C=60°， ∴180°﹣×130°=60°，解得n=13．考点：三角形内角和定理．类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．阅读下面内容，并解答问题．请解决以下问题：（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；（2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由．【答案】（1）三角形内角和定理；（2），见分析【分析】（1）根据题意直接进行解答即可；（2）由题意易得，，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解．解：（1）答案不唯一，如三角形内角和定理或者三角形的内角和等于180°或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）．理由如下：∵，平分和，∴，，∵是的外角，∴，∵是的外角，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，是的外角，与的角平分线交于点.（1）若，，则，；（2）探索与的数量关系，并说明理由；（3）若，，求的度数.【答案】（1）80、40；（2）；理由见分析；（3）.【分析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，然后求出∠OBC和∠OCD，再由三角形外角的性质即可求出结论；（2）由题中角平分线可得∠ABO＝∠ABC，∠ACO＝∠ACD，根据三角形内角和定理可得∠A＋∠ABO＝∠O＋∠ACO，又由∠ACD＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠ABO，进而得出∠A＋∠ABO＝∠O＋∠A＋∠ABO，即可得出结论；（3）AC与BO交于点E，由OC∥AB，证得∠ABO＝∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB＝90°，故2∠O＋∠O＝90°，进而证得∠A＝60°，由∠ABC＝2∠ABO即可证得结论．解：设与交于点解：（1），，，与的角平分线交于点，，，，故答案为80、40；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC，∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACD，∵∠AEB＝∠CEO，∴∠A＋∠ABO＝∠O＋∠ACO，∴∠A＋∠ABO＝∠O＋∠ACD，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝∠A＋2∠ABO，∴∠A＋∠ABO＝∠O＋∠A＋∠ABO，∴∠A＝∠O；（3）如图，与交于点，，，，，，，，，，.【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，平行线的性质，能够掌握并熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.【变式2】如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.（1）∠DBE的度数;（2）若∠A=70,求∠D的度数;（3）若∠A=,求∠E的度数(用含的式子表示). 【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据角平分线的定义可得 再根据平角的定义可得出结论；（2）根据角平分线的定义可得 再根据三角形外角的性质可推出则可求出∠D的度数；（3）由第（2）问的结论可知，再加上第（1）问的结论，则可表示出∠E的度数.解：（1）∵BD平分，BE平分∴∵∴（2）∵CD平分, BD平分∴∵ ∴∵∴∴∴（3）由（2）知∵∴【点拨】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.类型三、 外角平分线+外角平分线模型 3．如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．(1)求∠BDC的度数；(2)在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2)，求证：BF是∠ABC的平分线．【答案】(1)∠BDC=60°；(2)证明见分析.【分析】(1)依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，进而得出∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，再根据∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°；(2)依据DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，进而得到BF是∠ABC的平分线．解：(1)∵△ABC中，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，又∵∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，∴∠CBD＝∠CBM，∠BCD＝∠BCN，∴△BCD中，∠DBC+∠BCD＝(∠CBM+∠BCN)＝×240°＝120°，∴∠D＝180°﹣120°＝60°；(2)如图2，∵DE⊥BD，BF∥DE，∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，即∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BF是∠ABC的平分线．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A＝68°，求∠F的度数．【答案】56°【分析】利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCF=（∠A+∠ABC），∠CBF=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠F的度数．解：∵BF、CF为△ABC两外角∠CBD、∠BCE的平分线，∠A=68°，∴∠BCF=（∠A+∠ABC），∠CBF=（∠A+∠ACB）；由三角形内角和定理得：∠F=180°-∠BCF-∠CBF=180°-（∠BCF+∠CBF）=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-（∠A+180°）=90°-×68°=90°-34°=56°．【点拨】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形外角的性质是解题的关键．【变式2】如图，的两个外角的平分线交于点P，已知，求的度数．【答案】【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．解：，，，、是的外角平分线，，，，．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键．类型四、 双角平分线模型综合 4．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】解：（1）设．由的内角和为，得．①由的内角和为，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴由三角形内角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．【点拨】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．举一反三：【变式1】（1）如图（a），BD平分，CD平分．试确定和的数量关系．（2）如图（b），BE平分，CE平分外角．试确定和的数量关系．（3）如图（c），BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可确定和的数量关系；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得，进而可得和的数量关系；（3）根据三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的定义，根据即可确定和的数量关系．解：（1）在中，．在中，．∵，，∴；（2）在中，．在中，．∵，，∴．（3）在中，．在中，．∵，．，，∴．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式2】如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+　 　＝180°（　 　）．∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．∴∠DBC+∠ACB＝（　 　）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝　 　°．∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（　 　），∴∠BOC＝　 　°（等式性质）．【答案】∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90【分析】根据题意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性质得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），进而由三角形内角和为180°得∠BOC=90°．解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠BOC＝90°（等式性质），故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．【点拨】本题考查平行线的性质，等式的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关性质的应用．【变式3】如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点，求∠AEC的度数．【答案】∠AEC的度数为15.5°．【分析】根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC，∠ECF=∠BCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BCF=∠ABC+∠BAC，∠ECF=∠AEC+∠EAC，然后整理即可得到∠AEC=∠ABC．解：∵AE、CE分别是∠BAC和∠BCF的平分线，∴∠EAC=∠BAC，∠ECF=∠BCF，由三角形的外角性质得，∠BCF=∠ABC+∠BAC，∠ECF=∠AEC+∠EAC，∴∠AEC+∠EAC=（∠ABC+∠BAC），∴∠AEC=∠ABC，∵∠ABC=31°，∴∠AEC=×31=15.5°．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定理并求出∠AEC=∠ABC是解题的关键．类型五、飞镖内角平分线+内角平分线模型 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见分析；(3)70°【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解．(1)解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）(2)证明：连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；(3)解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°．【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．举一反三：【变式1】如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见分析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB, ∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．【变式2】直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．(3)在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．【答案】(1) ∠AEB的度数为120°；(2) ∠CED的大小不发生变化，其值为60°；(3) ∠DCE的度数为40°或80°．【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义以及三角形内角和可得∠F =90°-∠AOB，∠CED =90°-∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可．解：（1）∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，∴∠ABO=50°．∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠EAB=∠OAB=35°，∠EBA=∠OBA=25°，∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；（2）不发生变化，理由如下：如图，延长BC、AD交于点F，∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，∴∠FAB=∠PAB=(180°-∠OAB)，∠FBA=∠MBA=(180°-∠OBA)，∴∠FAB+∠FBA=(180°-∠OAB)+(180°-∠OBA)=(180°+∠AOB)=90°+∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-∠AOB=60°，同理可求∠CED =90°-∠F=60°；（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE==80°；③当∠DCE=∠CDE时，∠DCE==40°，综上可知，∠DCE的度数40°或80°．【点拨】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和的定理．探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，．证明：规律1，∵，是的角平分线，∴，．∴．∴．∴．规律2，∵，，∴．∴．